劉護(hù)靈

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過： “數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性. 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的.

一般而言，“形”有形象、直觀的優(yōu)點，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算，特別是對于較復(fù)雜的“形”，不但要正確的把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計算.

2021年全國新高考Ⅰ卷第16題以民間剪紙藝術(shù)為背景，考查了考生的歸納與推理能力，及復(fù)雜數(shù)列求和運算能力，是難度較高的綜合題目.

原題如下：

16. 某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______;如果對折n次，那么Sk=______dm2.

【審題和分析】：首先要理解題目，在考場中一般會發(fā)1-2張草稿紙，可以用草稿紙按照題意對折1-3次，或者繪制草圖，得到如下圖形：（當(dāng)然考場中只需畫前3次即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

還可以在每次標(biāo)上數(shù)值，以探索對折后面積（邊長）變化的規(guī)律，如下：

【解法1】：（1）對折4次可得到如下規(guī)格：dm×12dm，dm×6dm，5dm×3dm，10dm×dm，20dm×dm，共5種;

（2）由題意可得S1=2×120，S2=3×60，S3=4×30，S4=5×15，…，Sn=，

設(shè)S=+++L+，

觀察這個式子的特征，屬于{anbn}結(jié)構(gòu)，其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，所以下面用錯位相減法求和，即：

S=++…++，

兩式作差得：

S=240+120（++…+）-=240+-=360--=360-，

因此，S=720-=720-.

故答案為：5;720-.

【點評1】此題表面上以“形”的方式呈現(xiàn)，即民間剪紙藝術(shù)——考生常見、可考場上進(jìn)行操作的“對折紙張”活動，實質(zhì)上在解決這個問題的時候，要求學(xué)生以“數(shù)”——即轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和的方法進(jìn)行計算，所以，看懂題意和理解數(shù)列求和的方法，是解決這個問題的關(guān)鍵.

【點評2】對于數(shù)列求和常用方法：

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解;

（2）對于{anbn}結(jié)構(gòu)，其中{an}是等差數(shù)列，是{bn}等比數(shù)列，用錯位相減法求和;

（3）對于{an+bn}結(jié)構(gòu)，利用分組求和法;

（4）對于{}結(jié)構(gòu)，其中{an}是等差數(shù)列，公差為d（d≠0），則=（-），利用裂項相消法求和.

【解法2】（由新疆昌吉州一中張潤平老師提供）：如果把“形”坐標(biāo)化，能得到更加“精細(xì)”的代數(shù)表示，即解法2如下，

記此規(guī)格的長方形長為xndm×yndm，它對應(yīng)于坐標(biāo)平面內(nèi)的點P（xn，yn），

其中xn=20，yn=12，（n∈N），則對折過程如下圖：

P（x0，y0）;

P1（x0，y0），P1（x0，y0）;…………（1）

P2（x0，（）2y0），P2（x0，y0），P2（（）2x0，y0）;…………（2）

P3（x0，（）3y0），P3（x0，（）2y0），P3（（）2x0，y0），P3（（）3x0，y0）;…………（3）

仔細(xì)審讀，發(fā)現(xiàn)規(guī)律很有意思！

【排列規(guī)則規(guī)律解讀：

（1）對于每一“點”，首先按“y”軸對折，其次按“x”軸對折（下同）;

（2）從第二行開始，將上行的第2個以后的點“對折”時，按“y”軸對折所得的點與前面得到的點重合，按“x”對折得到的點是“新”點】

綜上，對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5.

如果對折n次，得到下列n+1個點：

Pn，k（（）2x0，（）n-ky0），其中，k=0，1，2，…，（n+1），所以

Sk=[（）ix0·（）k-iy0]=[（）kx0y0]=x0y0（k+1）（）k

Sk=[x0y0（k+1）（）k]=x0y0[（k+1）（）k]，

其中Tn=[（k+1）（）k]，

這是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積形式，屬于錯位相減法的典型結(jié)構(gòu)，下面利用錯位相減法進(jìn)行求和，和解法1類似，此處從略.

【點評3】本題是一道數(shù)列題，其背景是民間折紙藝術(shù)，即數(shù)學(xué)上的對稱關(guān)系. 解法2通過以“數(shù)”解“形”，即把“形”利用坐標(biāo)表示，正是笛卡爾坐標(biāo)的思想！十分巧妙！

【點評4】一般而言，以“數(shù)”解“形”解題的基本思路： 明確題中所給條件和所求的目標(biāo)，分析已給出的條件和所求目標(biāo)的特點和性質(zhì)，理解條件或目標(biāo)在圖形中的重要幾何意義，用已學(xué)過的知識正確的將題中用到的圖形的用代數(shù)式表達(dá)出來（如果能建立坐標(biāo)表示出來更好），再根據(jù)條件和結(jié)論的聯(lián)系，利用相應(yīng)的公式或定理等.【本文系廣州市海珠區(qū)“十三·五”教育規(guī)劃課題“GeoGebra和初中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的研究”（立項號：2020C028）研究成果】

責(zé)任編輯 徐國堅