李煜, 劉小雄, 明瑞晨, 孫紹山, 章衛(wèi)國(guó)

(1.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,陜西西安 710072;2.陜西省飛行控制與仿真技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710129 3.中國(guó)航空工業(yè)成都飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所， 四川成都 610091)

非線性動(dòng)態(tài)逆(nonlinear dynamic inversion,NDI)是一種經(jīng)典的非線性控制方法，該方法通過“反演求逆”的策略消除模型的非線性以及各通道之間的耦合，進(jìn)而保證系統(tǒng)達(dá)到期望動(dòng)態(tài)。得益于解耦能力強(qiáng)、快速性好的特點(diǎn)，該方法已經(jīng)成功應(yīng)用在戰(zhàn)斗機(jī)[1-3]、無人機(jī)[4]等飛行器的控制律設(shè)計(jì)中。飛行器復(fù)雜的結(jié)構(gòu)決定了實(shí)際中很難獲取精確的氣動(dòng)參數(shù)，并且面對(duì)模型不確定性、外界擾動(dòng)等因素的影響，該方法都暴露出魯棒性不足的問題。部分學(xué)者采用增量式的動(dòng)態(tài)逆(incremental NDI,INDI)的方法來提高飛控系統(tǒng)的魯棒性[5-6]。但I(xiàn)NDI中需要反饋角加速度信號(hào)，并且該信號(hào)的準(zhǔn)確性直接關(guān)系到INDI控制的魯棒性。然而實(shí)際飛機(jī)中并未配備角加速測(cè)量相關(guān)的傳感器，取而代之的是采用對(duì)角速度差分濾波的方式獲取角加速[7]，這一過程中差分會(huì)放大殘余噪聲并且濾波產(chǎn)生的時(shí)延會(huì)不同程度破壞加速度的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，進(jìn)而降低INDI的魯棒性。因此，如何獲取準(zhǔn)確的角加速度信號(hào)這一實(shí)際難題阻礙了INDI方法在實(shí)際飛控系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

將自適應(yīng)控制策略加入到NDI控制系統(tǒng)同樣能提高NDI控制的魯棒性，此種類型的改進(jìn)稱之為自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆。自適應(yīng)算法根據(jù)動(dòng)態(tài)誤差估計(jì)出不確定性和擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，進(jìn)而，控制器根據(jù)估計(jì)出的影響參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行修正糾偏。例如文獻(xiàn)[8-9]通過在NDI控制中加入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提高系統(tǒng)的魯棒性。因此，在NDI控制中加入自適應(yīng)結(jié)構(gòu)可以增強(qiáng)NDI控制系統(tǒng)對(duì)干擾的魯棒性。

L1自適應(yīng)控制最早是由Cao等在2006年美國(guó)控制會(huì)議上提出的一種強(qiáng)魯棒自適應(yīng)控制方法[10]。該方法由模型參考自適應(yīng)控制發(fā)展而來，在控制器中加入低通濾波器解決了傳統(tǒng)自適應(yīng)控制中高增益容易導(dǎo)致系統(tǒng)高頻振蕩的問題。L1自適應(yīng)控制方法兼顧了響應(yīng)的快速性和系統(tǒng)對(duì)模型不確定性、外界擾動(dòng)等干擾影響的魯棒性。因而該方法在提出后受到了國(guó)內(nèi)外控制學(xué)者的廣泛關(guān)注，并在諸多應(yīng)用領(lǐng)域都獲得了豐碩的研究成果[11-14]。Li等研究了基于分段常數(shù)的L1自適應(yīng)多輸入多輸出控制方法，并且對(duì)分段常數(shù)算法進(jìn)行了改進(jìn)，提高了該算法的估計(jì)精度[11]。周艷等則是采用L1自適應(yīng)控制解決了執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障下飛行器的容錯(cuò)控制問題[12]。針對(duì)著艦中艦尾流干擾問題，L1自適應(yīng)控制同樣被應(yīng)用于艦載機(jī)縱向和側(cè)向自動(dòng)著艦控制律設(shè)計(jì)中，抑制艦尾流等不確定性干擾，最終實(shí)現(xiàn)著艦軌跡的精確跟蹤[13-14]。從所公開的研究成果來看，L1自適應(yīng)控制方法能夠有效克服擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的干擾影響，并且適合解決包含不確定因素和存在未建模動(dòng)態(tài)等復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題，因此該方法適合于飛行容錯(cuò)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

從增強(qiáng)NDI控制魯棒性的角度出發(fā)，本文將L1自適應(yīng)結(jié)構(gòu)引入到NDI控制中，提出一種基于L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆的控制方法，通過L1自適應(yīng)結(jié)構(gòu)消除不確定因素和干擾的影響。此外，基于此方法設(shè)計(jì)飛行控制律提高飛機(jī)的魯棒性。研究成果對(duì)保證飛機(jī)安全飛行具有重要意義。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有以下2個(gè)方面：

1) 在NDI控制中引入L1自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)，提出基于L1自適應(yīng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)逆控制方法。該控制方法既保留了NDI快速解耦能力，又具有L1自適應(yīng)控制優(yōu)異的魯棒性和快速自適應(yīng)能力，因而能夠削弱干擾等因素對(duì)系統(tǒng)的影響，實(shí)現(xiàn)提升NDI控制系統(tǒng)的魯棒性的目標(biāo)。

2) 理論分析了干擾影響下L1結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制方法在Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，證明了該方法對(duì)擾動(dòng)的魯棒性。此外，還討論了該控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)的邊界特性。

1 動(dòng)態(tài)逆系統(tǒng)分析

被控對(duì)象模型可以描述為

(1)

式中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài);f(x)∈Rn表示與控制無關(guān)的系統(tǒng)非線性矩陣;G(x)∈Rn×m,(m>n)表示系統(tǒng)的控制矩陣;ω∈Rm×m為符號(hào)已知大小未知且非奇異的對(duì)角矩陣,表示不確定系的統(tǒng)控制效能矩陣;u(t)∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入;C∈Rm×n和y(t)∈Rm為系統(tǒng)輸出矩陣和輸出量。ξ(x,t)∈Rn表示未知的非線性干擾,包括外部擾動(dòng)、參數(shù)不確定以及未建模動(dòng)態(tài)等所有干擾影響的綜合。

由于受到實(shí)際因素的限制,系統(tǒng)模型并不完全已知或者與真實(shí)值存在一定偏差。因此系統(tǒng)非線性項(xiàng)f(x)和G(x)可拆分為兩部分

(2)

(3)

擾動(dòng)滿足以下假設(shè):

假設(shè)1擾動(dòng)δ(x,t)全局有界并且零狀態(tài)有界。即存在正常數(shù)B>0,擾動(dòng)滿足

‖δ(0,t)‖∞≤B, ?t>0

此外,存在常數(shù)D>0和X>0,使得擾動(dòng)在任意時(shí)刻t>0且狀態(tài)量有界‖x(t)‖∞≤X的范圍內(nèi),擾動(dòng)滿足‖δ(x,t)‖∞≤D。

假設(shè)2擾動(dòng)δ(x,t)偏導(dǎo)數(shù)存在且有界。存在常數(shù)dδ,t>0和dδ,t>0,則擾動(dòng)偏導(dǎo)數(shù)滿足

假設(shè)3擾動(dòng)δ(x,t)滿足半全局Lipschitz條件。即對(duì)于任意ρ>0,存在正常數(shù)Lρ>0,使得

‖δ(x1,t)-δ(x2,t)‖∞≤

Lρ‖x1(t)-x2(t)‖∞, ?t>0

仿照參考文獻(xiàn)[10],結(jié)合以上假設(shè),可將非線性擾動(dòng)δ(x,t)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

δ(x,t)=?(t)‖x(t)‖L∞+σ(t)

(4)

式中,?(t)∈Rm×n表示與狀態(tài)量相關(guān)的干擾。而σ(t)∈Rm則表示時(shí)變干擾。此時(shí)被控對(duì)象變?yōu)?/p>

(5)

由假設(shè)1和2可以知,?(t)和σ(t)必然滿足以下邊界條件

‖?(t)‖∞≤?b, ‖σ(t)‖∞≤σb

(6)

在不考慮擾動(dòng)影響且被控對(duì)象模型完全已知的情況下,即δ(x,t)=0和ω=In。根據(jù)反饋線性化求逆的思想得到NDI控制律(7)。

(7)

若考慮未建模、參數(shù)不確定等諸多干擾的影響,系統(tǒng)的響應(yīng)則變?yōu)?/p>

(8)

式中

(9)

在參數(shù)不確定以及擾動(dòng)的影響下,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)不再滿足期望要求。擾動(dòng)下NDI控制魯棒性的缺失阻礙了該方法在實(shí)際中的應(yīng)用。在提高NDI控制魯棒性需求的牽引下,本文提出一種魯棒性強(qiáng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆的控制方法,稱之為L(zhǎng)1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制。

2 L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制方法

L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制方法兼顧了L1自適應(yīng)控制和NDI控制的特點(diǎn)。其中,NDI控制部分用于消除系統(tǒng)已知的非線性部分,而L1自適應(yīng)控制則用于消除未建模動(dòng)態(tài)、模型不確定性以及外部擾動(dòng)的影響。本小節(jié)主要研究L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制方法,旨在減小NDI控制方法對(duì)模型依賴的同時(shí),提高控制器對(duì)擾動(dòng)影響的魯棒性。

2.1 帶有低通濾波器的控制律設(shè)計(jì)

L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制器由狀態(tài)預(yù)測(cè)器、自適應(yīng)律和帶有低通濾波器的動(dòng)態(tài)逆控制律三部分組成。狀態(tài)預(yù)測(cè)器輸出具有系統(tǒng)狀態(tài)期望動(dòng)態(tài),自適應(yīng)律則是根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)與狀態(tài)預(yù)測(cè)器之間的誤差估計(jì)相關(guān)的擾動(dòng)影響,低通濾波器的控制律則在已知模型信息的基礎(chǔ)上根據(jù)自適應(yīng)律反饋的擾動(dòng)估計(jì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行修正,保證系統(tǒng)輸出與狀態(tài)預(yù)測(cè)器一致,并且消除自適應(yīng)估計(jì)的高頻動(dòng)態(tài)。

L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制信號(hào)u(t)包括兩部分,即動(dòng)態(tài)逆控制uNDI(t)和L1自適應(yīng)控制uL1(t)。

u(t)=uNDI(t)+uL1(t)

(10)

NDI控制部分uNDI(t)用于消除被控對(duì)象中已知非線性的部分,具體設(shè)計(jì)如下

(11)

式中虛擬控制量νd(t)設(shè)計(jì)為

νd(t)=Am(t)(x(t)-xcmd(t))

(12)

式中：xcmd(t)為系統(tǒng)的輸入指令;Am(t)∈Rn×n表示系統(tǒng)期望動(dòng)態(tài)特性的Hurwize矩陣。

L1自適應(yīng)控制部分uL1(t)則是用于消除各種擾動(dòng)造成的影響,進(jìn)而補(bǔ)償NDI控制魯棒性的不足。具體設(shè)計(jì)如下

(13)

式中,s表示Laplace算子。增益矩陣KD∈Rm×m和傳遞函數(shù)D(s)都是濾波器組成參數(shù),對(duì)應(yīng)低通濾波器具體形式為

(14)

2.2 狀態(tài)預(yù)測(cè)器設(shè)計(jì)

在控制律的作用下,狀態(tài)預(yù)測(cè)器具有系統(tǒng)所期望的動(dòng)態(tài),實(shí)時(shí)為系統(tǒng)提供參考。具體設(shè)計(jì)如下

(15)

2.3 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

(16)

(17)

由于該方法在NDI方法的基礎(chǔ)上引入L1自適應(yīng)結(jié)構(gòu),因而解決了NDI控制方法依賴于模型參數(shù)信息以及在干擾影響下系統(tǒng)魯棒性差的問題。

相比于傳統(tǒng)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制方法,L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制在保證擾動(dòng)影響下系統(tǒng)的魯棒性的同時(shí),通過引入低通濾波器解決了常規(guī)自適應(yīng)因自適應(yīng)增益過大而導(dǎo)致控制信號(hào)高頻振蕩的問題。進(jìn)而緩和了常規(guī)自適應(yīng)控制中魯棒性和快速性之間的矛盾。

3 L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)性能分析

本小節(jié)主要對(duì)L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和邊界特性進(jìn)行證明和分析。

3.1 穩(wěn)定性證明

在對(duì)L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制性能分析之前,定義在分析過程中用到的一些誤差參數(shù)

(18)

其次,結(jié)合(6)來定義邊界Θ(ρ)

(19)

根據(jù)(5)式、(10)式和(15)式,可推導(dǎo)出跟蹤誤差的動(dòng)態(tài)方程

(20)

選取Lyapunov函數(shù)

(21)

初始時(shí)刻該函數(shù)滿足

(22)

結(jié)合誤差動(dòng)態(tài)方程(20),可得到Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù),具體過程如下

(23)

對(duì)于?t∈[0,τ1),τ1表示參數(shù)不連續(xù)的時(shí)刻。將投影算子自適應(yīng)律(16)式代入(23)式可推出

(24)

由參數(shù)邊界限制(6)能得到

(25)

(26)

根據(jù)矩陣特征值與范數(shù)之間的關(guān)系,可得

(27)

因此

(28)

(29)

所以,Lyapunov方程在所有時(shí)刻都滿足

(30)

(31)

綜上所述,系統(tǒng)跟蹤誤差的界為

(32)

3.2 邊界特性分析

同樣,在分析邊界特性之前,首先定義以下幾個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣

(33)

引入非L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制的閉環(huán)參考系統(tǒng)來分析系統(tǒng)的邊界特性,具體如下

(34)

與之對(duì)應(yīng)的控制律如下

(35)

式中,ηref(s)?(s)‖xref(s)‖L∞+σ(s)。

在參考模型控制律(35)式的作用下,閉環(huán)參考系統(tǒng)狀態(tài)的頻域形式可表達(dá)為

xref(s)=Fc(s)ηref(s)-F(s)xcmd(s)

(36)

結(jié)合擾動(dòng)誤差的定義(18),L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制器(10)可的頻域形式為

(37)

式中

η(s)?(s)‖x(s)‖L∞+σ(s)

(38)

此時(shí),實(shí)際系統(tǒng)(5)狀態(tài)的頻域形式為

(39)

則實(shí)際系統(tǒng)與參考系統(tǒng)狀態(tài)誤差為

(40)

根據(jù)系統(tǒng)誤差方程(20)可推導(dǎo)出

(41)

因此,(40)式變?yōu)?/p>

(42)

那么

(43)

根據(jù)假設(shè)3,可以將(43)式進(jìn)一步變型為

(44)

結(jié)合系統(tǒng)跟蹤誤差的界(32)式、(44)式可最終化為

(45)

進(jìn)一步,系統(tǒng)輸出的邊界特性為

(46)

(32)式、(45)式和(46)式為系統(tǒng)的性能邊界。從中能看出增加自適應(yīng)增益Γ能夠縮小實(shí)際系統(tǒng)與理想系統(tǒng)之間的界,使得L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制控制作用下系統(tǒng)趨近于期望動(dòng)態(tài)性能。而增大自適應(yīng)增益Γ引起的振蕩由控制律中低通濾波器來消除。

4 L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆角速度控制律設(shè)計(jì)

4.1 飛行器建模

飛機(jī)角速度運(yùn)動(dòng)和側(cè)滑角方程可寫為

(47)

式中

4.2 L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制器設(shè)計(jì)

通常駕駛桿的縱軸和橫軸指令對(duì)應(yīng)飛機(jī)穩(wěn)定坐標(biāo)系下的俯仰角速度qs和滾轉(zhuǎn)角速度ps,腳蹬直接對(duì)應(yīng)飛機(jī)側(cè)滑角指令,油門桿則用于控制速度。為了提高飛控系統(tǒng)的魯棒性,采用L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆方法設(shè)計(jì)角速度控制律、積分式NDI方法設(shè)計(jì)側(cè)滑角控制律以及PI方法的自動(dòng)油門控制律。整個(gè)控制結(jié)構(gòu)框架如圖1所示:

圖1 F-16飛行控制整體結(jié)構(gòu)

穩(wěn)定系中角速度ps,qs,rs與機(jī)體系中角速度pb,qb,rb之間的關(guān)系如下

(48)

根據(jù)(10),(15)和(16)式來設(shè)計(jì)L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆角速度控制器。其中控制器和低通濾波器相關(guān)參數(shù)具體如下

(49)

基于積分式NDI的側(cè)滑角控制律設(shè)計(jì)如下

(50)

式中

(51)

采用簡(jiǎn)單的PI控制器設(shè)計(jì)自動(dòng)油門控制器。該控制律據(jù)速度響應(yīng)誤差調(diào)整油門開度δth完成對(duì)飛機(jī)的速度控制,具體設(shè)計(jì)為

(52)

在控制律中,δth-trim為配平的油門位置,油門位置限制在0≤δth≤1。

前緣襟翼不作為直接操縱面對(duì)控制飛機(jī),其控制律根據(jù)狀態(tài)自動(dòng)生成,具體如下

(53)

式中:Ps為靜壓;α表示迎角。

用一階慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)來模擬執(zhí)行機(jī)構(gòu),不同執(zhí)行機(jī)構(gòu)的幅度和速率的限制如表1所示。

表1 操縱面限制

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆方法的魯棒性,因此在故障干擾下對(duì)基于此方法設(shè)計(jì)的飛行控制器進(jìn)行仿真,并與NDI方法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

以下仿真都是在2 000 m高度,150 m/s速度的巡航條件下完成,飛機(jī)的巡航狀態(tài)如表2所示。

平飛過程中,假設(shè)12秒飛機(jī)突發(fā)損傷故障,損傷致使氣動(dòng)參數(shù)以及氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生偏差,具體變化詳見表3。這些由故障產(chǎn)生參數(shù)的偏差被控制器視為干擾。在損傷故障干擾下對(duì)基于L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆飛行控制器的魯棒性進(jìn)行驗(yàn)證,仿真結(jié)果如圖2～5所示。

表3 故障造成參數(shù)變化

圖2 穩(wěn)定系下的滾轉(zhuǎn)俯仰和俯仰角速度響應(yīng)曲線 圖3 側(cè)滑角和穩(wěn)定系下偏航角速度響應(yīng)曲線

圖4 側(cè)滑角和舵面偏轉(zhuǎn)對(duì)比曲線

正常狀況下，飛機(jī)能快速準(zhǔn)確跟蹤上所給指令信號(hào)。在12 s損傷發(fā)生后，飛機(jī)的狀態(tài)出現(xiàn)突變，但在L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制器作用下，飛機(jī)迅速恢復(fù)平衡狀態(tài)，并且在夠保證飛機(jī)穩(wěn)定性的同時(shí)，能克服故障造成的影響，后續(xù)的角速度響應(yīng)依舊能達(dá)到故障前預(yù)期的動(dòng)態(tài)。整個(gè)響應(yīng)過程中側(cè)滑角響應(yīng)很小，可認(rèn)為側(cè)滑角基本保持在零，達(dá)到預(yù)期要求。仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論推導(dǎo)，表明L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制器具有出色的魯棒性。

圖5 自適應(yīng)律估計(jì)出擾動(dòng)影響曲線

為了進(jìn)一步突出魯棒性，在相同的指令信號(hào)下對(duì)比驗(yàn)證常規(guī)NDI控制和L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆的控制效果。對(duì)比結(jié)果如圖6至8所示。

圖6 參數(shù)不確定擾動(dòng)下，滾轉(zhuǎn)角速度對(duì)比 圖7 參數(shù)不確定擾動(dòng)下，俯仰角速度對(duì)比

從對(duì)比結(jié)果能明顯看出：由于正常情況下飛機(jī)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)完全已知，因此2種控制器都能達(dá)到期望的控制效果。故障的發(fā)生對(duì)飛機(jī)產(chǎn)生未知干擾并且造成模型參數(shù)的不確定變化，然而L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制結(jié)構(gòu)中能感知、估計(jì)以及消除擾動(dòng)和不確定性造成的影響，因此基于L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆飛行控制器對(duì)干擾具有魯棒性。相反，NDI控制器過于依賴模型，并且沒有補(bǔ)償機(jī)制來克服不確定性影響，所以NDI控制器的控制性能在故障影響下出現(xiàn)降級(jí)，不再滿足預(yù)期控制要求。

圖8 側(cè)滑角和舵面偏轉(zhuǎn)對(duì)比曲線

6 結(jié) 論

本文在常規(guī)NDI控制的基礎(chǔ)上結(jié)合L1自適應(yīng)結(jié)構(gòu)，提出一種基于L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆的魯棒控制方法來解決NDI方法在干擾情況下缺乏魯棒性的問題。該方法能夠快速地估計(jì)并消除擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)造成的影響,進(jìn)而保證了干擾影響下系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。此外，該方法繼承NDI控制快速解耦的能力，由于控制結(jié)構(gòu)中含有低通濾波器，因而該方法避免系統(tǒng)因快速自適應(yīng)而振蕩，進(jìn)而解決了系統(tǒng)響應(yīng)快速性和魯棒性之間不匹配的問題。最后，設(shè)計(jì)了基于L1自適應(yīng)動(dòng)態(tài)逆控制的飛行控制律并對(duì)其進(jìn)行仿真，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的飛行控制器能夠克服損傷故障造成的影響，并在損傷故障下依舊能夠達(dá)到令人滿意的控制性能。本文為提高飛行控制系統(tǒng)的魯棒性做出一定的貢獻(xiàn)。