段留旺

排列組合問題是屬于一類綜合性較強的問題，常與生活實際相聯(lián)系.在解答排列組合問題時，同學們不僅要熟練運用排列組合中的基礎知識，還要掌握一些解題的基本方法和技巧，這樣才能更快地解答問題.本文重點談一談解答排列組合問題的三個技巧，以供同學們參考.

一、合理運用分類、分步計數(shù)原理

解答排列組合問題常需運用到兩個基本原理：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理.分類計數(shù)原理是指，完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Ⅳ=m+n種不同的方法.分步計數(shù)原理是指，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Ⅳ=mxn種不同的方法，有些排列組合題目較為復雜，需同時用到兩個計數(shù)原理.在解題時應根據(jù)實際情況進行分析，一般是先分類再分步處理，即先分為若干個“既不重復也不遺漏”的類，再將每類中的計數(shù)問題分成若干個“完整的步驟”，求出完成每個步驟的方法數(shù)，按照分步計數(shù)原理計算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類計數(shù)原理得出總數(shù).例1.如圖所示，用4種不同的顏色涂人圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有____，

解析：按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，由分步計數(shù)原理可得共有4x3x2xl-24種涂法;二是用3種顏色，由分步計數(shù)原理可得這時A，B，C的涂法有4x 3x2-24種，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，所以由分類計數(shù)原理可得不同的涂法共有24+ 24x2-72種.

在分類時，需注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復.在利用分步乘法計數(shù)原理解題時要注意按事件發(fā)生的順序分步進行.

二、優(yōu)先處理特殊位置或元素

有些題目對元素或者位置有特殊要求，如部分元素相鄰或不相鄰、有些位置必須空著等.在解題時，我們首先要根據(jù)題目的要求，將有特殊要求的位置或者元素優(yōu)先排列出來，再排沒有要求的元素，如將要求相鄰的元素捆綁在一起當作一個“大元素”與其他元素一起排列，將不相鄰的元素插入沒有要求的元素之間的空隙中;將有特殊要求的位置先排上，再排其他沒有要求的元素，等等.

例2.某學校周二安排有語文、數(shù)學、英語、物理、化學、體育六節(jié)課，要求數(shù)學不排在第一節(jié)課，體育不排在第四節(jié)課，則這天課程表的不同排法種數(shù)為（ ）.

A.720

B.504

C.384

D.120

本題中數(shù)學課和體育課為特殊元素，第一節(jié)課和第四節(jié)課為特殊位置，所以我們需優(yōu)先處理這些特殊位置、特殊元素，于是以數(shù)學課的排法進行分類：數(shù)學課排在第四節(jié)與不排在第四節(jié)，然后再考慮其他元素或者位置.

三、先分組后分配

我們會遇到一些分組分配問題，而解答這類問題的基本思路是先分組后分配，在分組時，只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象，此時不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A：（n為均分的組數(shù)），避免重復計數(shù).在分組后再將各組按照題目要求進行分配.

例3.將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（ ）.

A.12種 B.10種 C.9種 D.8種

排列和組合問題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，雖然一般難度不大，但在解題時，同學們一定要合理運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理、優(yōu)先處理特殊位置或元素、學會先分組后分配，這樣才能陜速、正確地解題.

（作者單位：河南省中牟縣職業(yè)高中）