楊 龍，夏良瓊，張 緊，胡鵬浩

(合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

球鉸鏈?zhǔn)窃诓⒙?lián)機(jī)構(gòu)和工業(yè)機(jī)器人上常用的主要運(yùn)動(dòng)部件，其間隙的客觀存在制約了所在裝備的工作精度[1]。球鉸鏈間隙是由零件的制造誤差、裝配誤差、零件彈性與載荷工況共同作用形成的。例如在某款并聯(lián)機(jī)床上，球鉸鏈間隙減弱了機(jī)床工作穩(wěn)定性，甚至造成間隙關(guān)節(jié)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，極大地影響了該機(jī)床的加工精度[2]。因此深入研究球鉸鏈的間隙變化規(guī)律，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)檢測(cè)與補(bǔ)償具有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

近年來，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)球鉸鏈間隙問題開展了較豐富的研究。多數(shù)研究主要建立基于間隙的動(dòng)態(tài)模型[3-6]。然而，對(duì)曲面間微小間隙的直接測(cè)量研究較少。梁輝等[7]分析了一種帶有球鉸間隙的驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過研究4個(gè)驅(qū)動(dòng)軸各自作球面運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)空間的交集，計(jì)算了在正態(tài)分布規(guī)律下間隙引起的并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的誤差并進(jìn)行了補(bǔ)償。王文等[8-10]采用電容式傳感器測(cè)量球鉸鏈間隙，提出一種球形電容傳感器的新結(jié)構(gòu)，構(gòu)建了6個(gè)微分電容與偏心微位移之間的數(shù)學(xué)模型，通過測(cè)量微分電容從而得到球頭間隙，但傳感器的制造和安裝誤差會(huì)對(duì)測(cè)量精度造成影響。本團(tuán)隊(duì)[11-13]曾基于電感傳感器測(cè)量設(shè)計(jì)和研制了專用的實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置，但該測(cè)量方法不能嵌入在球鉸鏈中，無法實(shí)現(xiàn)球鉸鏈間隙的實(shí)時(shí)測(cè)量，也無助于球鉸鏈的智能化。為了更好地實(shí)現(xiàn)球鉸鏈間隙的實(shí)時(shí)檢測(cè)和誤差補(bǔ)償，本文進(jìn)一步研發(fā)間隙的實(shí)時(shí)測(cè)量方法，并探究球鉸鏈間隙的特性和規(guī)律。

1 球鉸鏈間隙測(cè)量原理

如圖1所示，在自研的球鉸鏈球座上對(duì)稱嵌入3個(gè)電渦流傳感器，傳感器軸線穿過球心，用于檢測(cè)球頭運(yùn)動(dòng)中的偏離。在此，球頭運(yùn)動(dòng)中的球心相對(duì)于球窩球心的偏離量定義為球鉸鏈間隙，為一矢量從球窩中心指向球頭中心。

圖1 小型球鉸鏈裝置

以單個(gè)電渦流傳感器為例，其測(cè)量間隙的理論模型如圖2所示，嵌入于球鉸鏈球窩的電渦流探頭位于N點(diǎn)延長(zhǎng)線上，由于采用差值計(jì)算，可將其視為位于球窩面上的N點(diǎn)，其探測(cè)的傳感器到球頭的間距值d即為MN連線的長(zhǎng)度值。其中R為球窩半徑，r為球頭半徑，θ為電渦流探頭測(cè)量方向與Z軸正向的夾角，φ為在Z軸正半空間俯視坐標(biāo)系時(shí)X軸正向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至探頭方向時(shí)旋轉(zhuǎn)角大小，Δx、Δy、Δz分別為球鉸鏈間隙沿X軸、Y軸、Z軸的分量。

圖2 球鉸鏈間隙理論模型

取三維矢量描述球鉸鏈間隙，該矢量起點(diǎn)位于球窩中心O，矢量方向指向球心O′。已知在空間直角坐標(biāo)系中，間隙矢量OO′在單位矢量ON上的投影距離為

則間距d與球鉸鏈空間回轉(zhuǎn)角呈關(guān)系如下：

式（2）是以假定間距d遠(yuǎn)小于球頭和球窩半徑為條件下的近似等式。傳感器所在位置N點(diǎn)與球窩的中心O相連，交于球頭表面M點(diǎn)；與球頭球心O′相連，交于球頭球面的M′點(diǎn)。由相似三角形的原理，MM′/OO′=d/R，則上式的偏移誤差量MM′=d·OO′/R，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被測(cè)量，可以忽略不計(jì)。

本實(shí)驗(yàn)通過均勻分布在球窩中的3個(gè)電渦流傳感器測(cè)量同一載荷下球鉸鏈的6個(gè)空間位置間距，其中下半球面間距在拉伸狀態(tài)下可由電渦流傳感器直接測(cè)得，上半球面間距值由球頭壓縮狀態(tài)下電渦流傳感器測(cè)得，空間位置等效于傳感器位置相對(duì)于球窩中心的中心對(duì)稱位置，所測(cè)間距d在6個(gè)空間位置處的極坐標(biāo)d:(θ,φ)如下：

將6個(gè)空間位置的極坐標(biāo)值代入公式（2）中，消元得沿三軸間隙分量Δx、Δy、Δz與3個(gè)電渦流傳感器測(cè)得值的關(guān)系如下：

通過實(shí)驗(yàn)可計(jì)算得到球鉸鏈間隙在空間任意位姿下沿X、Y、Z三軸的間隙分量。球鉸鏈各位姿下間隙矢量合成值 ?總：

2 實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)處理

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

所研制的實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置如圖3所示，被測(cè)精密球鉸鏈安裝在自研的雙軸標(biāo)定臺(tái)上，球鉸鏈的球桿與固定在內(nèi)U形框上的氣缸桿相連，兩只機(jī)械式分度頭通過內(nèi)框和外框分別帶動(dòng)球鉸鏈在空間回轉(zhuǎn)，并提供繞X、Y軸的回轉(zhuǎn)角分量α和β。實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，α 和 β 的步距為 4°，轉(zhuǎn)角范圍為–20°～20°。

圖3 間隙測(cè)量裝置

實(shí)驗(yàn)中雙向氣缸實(shí)現(xiàn)對(duì)球頭的拉、壓，模擬球鉸鏈的實(shí)際工作負(fù)荷，通過穩(wěn)壓閥調(diào)節(jié)作用在球鉸鏈上的載荷大小，施加壓力時(shí)，壓強(qiáng)調(diào)整范圍為：30～50 kPa，考慮到球頭自重，施加拉力時(shí)，壓強(qiáng)調(diào)整范圍為：42～62 kPa。實(shí)驗(yàn)所用3個(gè)電渦流傳感器型號(hào)為CWY-DO-TR-81，其標(biāo)準(zhǔn)靈敏度為20.00 V/mm，靈敏度偏差為0.1%，分辨力為0.05 μm，非線性度為0.4%，量程范圍為0～18 mm。

2.2 數(shù)據(jù)處理

分別根據(jù)式（4）、式（5）處理電渦流傳感器所測(cè)間距值。表1是球頭加載30 kPa壓縮壓強(qiáng)和42 kPa拉伸壓強(qiáng)時(shí)所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果，該結(jié)果是根據(jù)測(cè)量模型計(jì)算出來的球鉸鏈在不同方位和角度下沿球鉸桿軸線方向的總間隙值。

表1 球鉸鏈總間隙值μm

根據(jù)表1可得球鉸鏈總間隙在不同位姿下的分布情況，如圖4所示。

圖4 球鉸鏈總間隙分布

由分布情況可知球鉸鏈總間隙在二維平面內(nèi)具有單峰的分布圖，峰值點(diǎn)位置為 (–8°,4°)，間隙值為59.95 μm，隨著距離峰值點(diǎn)轉(zhuǎn)角差越大，間隙值越小，由此可以推斷，隨著球鉸桿偏移豎直方向的角度的增大，球鉸鏈總間隙總體上呈減小趨勢(shì)，總體上精密球鉸鏈間隙大小和分布與雙軸回轉(zhuǎn)角α和β相關(guān)。

3 間隙評(píng)定

3.1 間隙值分布檢驗(yàn)

為了進(jìn)一步探求球鉸鏈間隙值分布的規(guī)律，本文采用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)法分別從正態(tài)分布、伽馬分布、泊松分布、瑞利分布和指數(shù)分布5種分布方式進(jìn)行對(duì)比擬合度分析。

KS（Kolmogorov-Smirnov）檢驗(yàn)法，是一個(gè)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，用以檢驗(yàn)一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布是否符合某種理論分布或比較兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布是否有顯著性差異。KS檢驗(yàn)是將樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布與特定的理論分布相比較，若兩者之間的差距很小，則可推論該樣本取值于特定的分布[13]。

本文運(yùn)用Matlab中的kstest函數(shù)進(jìn)行球鉸鏈間隙分布檢驗(yàn)。kstest函數(shù)輸出結(jié)果指標(biāo)常量H=0代表服從分布，H=1代表不服從分布。kstest函數(shù)輸出指標(biāo)常量P表示待測(cè)分布與理想分布函數(shù)的相似性指數(shù)，介于0～1區(qū)間，數(shù)值越小代表越難以服從該概率分布，置信水平均設(shè)定為0.05，其檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 球鉸鏈間隙總誤差分布檢驗(yàn)

本文另設(shè)一組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，在其他條件不變的情況下，改變球頭加載的壓強(qiáng)大小。在球頭加載50 kPa壓縮壓強(qiáng)和 62 kPa拉伸壓強(qiáng)，依據(jù)式（3）和式（4）計(jì)算出球鉸鏈在不同方位和角度下的總間隙值。利用KS檢驗(yàn)法得到總間隙值只服從正態(tài)分布，且正態(tài)分布相似性指數(shù)P=0.178。故兩次實(shí)驗(yàn)可得出同一結(jié)論，即球鉸鏈間隙在0.05的置信水平上服從正態(tài)分布。

3.2 系統(tǒng)誤差檢驗(yàn)

在兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布的條件下，利用t檢驗(yàn)法可判斷兩組數(shù)據(jù)間是否存在系統(tǒng)誤差。

令檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

nx與ny——兩組數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量；

σx與 σy——兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

取顯著度水平α=0.05查t檢驗(yàn)臨界值分布表，得tα=1.984。計(jì)算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t?tα,可確定兩組數(shù)據(jù)間無系統(tǒng)誤差。

3.3 二維正態(tài)分布檢驗(yàn)

為研究球鉸鏈間隙與空間回轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，考慮到二維正態(tài)分布的邊緣分布都是一維正態(tài)分布，根據(jù)KS檢驗(yàn)法得知球鉸鏈間隙在單個(gè)轉(zhuǎn)角方向上均服從一維正態(tài)分布，故假設(shè)球鉸鏈間隙與空間回轉(zhuǎn)角度呈二維正態(tài)分布，并采用Doornik-Hansen檢驗(yàn)法檢驗(yàn)球鉸鏈間隙在空間中的分布情況。

在R語(yǔ)言中利用mvn函數(shù)編寫多變量正態(tài)分布檢測(cè)程序，mvn函數(shù)輸出結(jié)果YES，Doornik-Hansen檢驗(yàn)法輸出P=0.9975，P值是指在假設(shè)為真的前提下，樣本結(jié)果出現(xiàn)的概率。故說明球鉸鏈間隙在空間中呈二維正態(tài)分布。為更直觀地顯示球鉸鏈間隙在空間中的二維正態(tài)分布狀態(tài)，可以畫出其Q-Q圖（quantile-quantile plot），由于二維正態(tài)分布是馬氏平方距離的函數(shù)，因此橫坐標(biāo)以馬氏平方距離作為樣本分位數(shù)表示樣本與正態(tài)分布的相似度，縱坐標(biāo)以二維正態(tài)分布求得累積分布函數(shù)表示理論分位數(shù)，如圖5所示。

圖5 球鉸鏈間隙Q-Q圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在理論建模的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了精密球鉸鏈間隙的實(shí)時(shí)檢測(cè)，并完成精密球鉸鏈間隙誤分布實(shí)驗(yàn)研究?；谡`差理論和數(shù)據(jù)檢驗(yàn)技術(shù)，完成了間隙分布的分析、評(píng)估和總結(jié)。實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)及分析表明球鉸鏈間隙在0.05置信水平上服從關(guān)于回轉(zhuǎn)角α和β的二維正態(tài)分布，這對(duì)于實(shí)現(xiàn)球鉸鏈運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償和修正，提高裝備的運(yùn)動(dòng)控制精度是良好的技術(shù)支撐。