方偉
如果對近幾年高考試卷中的數(shù)列求和問題進行分析,我們不難發(fā)現(xiàn)此類問題的難度一般不大,側(cè)重于考查考生的邏輯思維能力和運算能力.同學們只要熟練掌握常見的題目以及求和的思路,就能順利解答此類問題.筆者通過總結(jié),歸納出了求數(shù)列和的三種常規(guī)思路.
一、并項求和
有時數(shù)列中的部分項具有相同的特征,我們可通過并項求和來解題,即把一些具有相同特征的項分在同一組內(nèi),先將小組內(nèi)的項合并并求和,再綜合所得的結(jié)果即可求出數(shù)列的和.
在解答本題時,我們首先要對問題中所給的條件進行分析,找到數(shù)列通項中蘊含的規(guī)律:數(shù)列{bn}為周期函數(shù),其最小周期為3.然后將數(shù)列中的每3項作為一組,并項進行求和.
二、錯位相減
錯位相減主要用于解答通項形如 (其中 an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和問題.運用錯位相減法解答數(shù)列求和問題的主要思路是,在數(shù)列的前 n 項和式 的左右同乘以公比 q ,得到 后,再將兩式錯開一位相減得到 ,只要對其稍作變形,即可得到數(shù)列的和.
該通項公式由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積構(gòu)成,因此,可采用錯位相減的思路來解題.在①式的左右同乘以3,得到②式,然后將兩式錯開一位相減,再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列的和.
三、裂項相消
采用裂項相消的思路求和,需首先將數(shù)列的通項變形為兩項之差的形式,如? 等,這樣,和式中的一些項的絕對值就會相等,通過正負抵消便可轉(zhuǎn)化為0,達到了快速求和的目的.
并項求和、錯位相減、裂項相消都是求數(shù)列和的常規(guī)思路.在求數(shù)列的和時,我們需首先仔細觀察數(shù)列的通項或者各項的特征,然后將某些具有相同特征的項合并,在和式的左右同乘以公比,將通項裂項,再進行求和.
(作者單位:安徽省廬江第二中學)