石磊

求四面體的體積問題側(cè)重于考查同學(xué)們的空間 想象能力和運算能力.要求得四面體的體積，需求得四 面體的高和底面的面積，然后運用四面體的體積公式 V = 1/3S底h 進(jìn)行求解.下面以一道題為例，探討一下求 四面體體積的兩種方法.

則四面體 OEBF 的體積為_____.

雖然正方體為規(guī)則幾何體，但 四面體 OEBF 為不規(guī)則幾何體，其 底面的面積和高很難直接求得，需要通過其他途徑來 求解.這里有兩種方法：向量法和轉(zhuǎn)化法.

方法一：向量法

向量法是指在建立空間直角坐標(biāo)系后，求出各點、 線段的坐標(biāo)，通過向量坐標(biāo)運算求得問題的答案的方 法.運用向量法求四面體的體積，需首先建立合適的空 間直角坐標(biāo)系，然后分別求出相關(guān)點、線段的坐標(biāo)，根 據(jù)線面的垂直關(guān)系建立關(guān)系式求得底面的法向量，便 能求得四面體的頂點到底面的距離.對于本題，我們可 以以正方體的一個頂點為原點，以與該頂點相交的三 條棱為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得各個點的坐 標(biāo)以及底面 EBF 的法向量，進(jìn)而得到頂點 O 到底面 EBF 的距離以及四面體的體積.

運用坐標(biāo)法求四面體的體積，能有效地降低解題 的難度，我們通過空間向量運算便可求得結(jié)果，不足 之處在于增加了計算量.

方法二：轉(zhuǎn)換法

運用轉(zhuǎn)化法求四面體的體積，需根據(jù)線面的平行、垂直關(guān)系，將原幾何體的體積問題化為易求得底面面積和高的幾何體的體積問題.運用轉(zhuǎn)化法解題能將復(fù)雜、困難的體積問題轉(zhuǎn)化為簡單的體積問題.對于本題，由于四面體 OEBF 的高很難快速求得，我們需將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，過點 E 作平面 OBF 的平行線 EM ，將求四面體 E - OBF 的體積轉(zhuǎn)化為求四面體 M - OBF 的體積，再將四面體的頂點進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將求四面體 M - OBF 的體積轉(zhuǎn)化為求 O - MBF 的體積，進(jìn)而求得四面體 E - OBF 的體積.

轉(zhuǎn)化法的本質(zhì)在于根據(jù)幾何體等底等高的性質(zhì)，將原幾何體的體積問題轉(zhuǎn)化為易求得底面面積和高的幾何體體積問題.其難點則在于合理添加輔助線.

我們通過兩種途徑解答了一道四面體體積問題.相比較而言，向量法較為簡單，但解題過程中的運算量較大，運用轉(zhuǎn)化法雖然能大大減少運算量，但很多同學(xué)不知該如何添加恰當(dāng)?shù)妮o助線.總之，在求幾何體的體積時，我們可以雙管齊下，從兩個不同的角度思考解題的方案，提升解題的效率.

（作者單位：甘肅省蘭州第一中學(xué)）