張亞楠 王浩鑫

摘要：隨著工業(yè)的快速發(fā)展，自動化生產(chǎn)應(yīng)用越來越廣泛。本文主要研究自動化車床管理中如何使工序設(shè)計效益最好問題。

首先我們通過對100次刀具故障記錄的數(shù)據(jù)分析，得出概率密度和分布函數(shù)。

針對問題，我們以更換一次刀具為一個周期，計算該周期內(nèi)每個零件的期望費用，每個零件的期望費用為總費用與零件總個數(shù)概率之比。其中總費用分為兩種情況：（1）當?shù)搅硕ㄆ诟鼡Q刀具的時刻，即使設(shè)備未出現(xiàn)故障也進行刀具更換，（2）當檢查出零件不合格時，調(diào)節(jié)并使其恢復(fù)正常。情況（1）的損失為所有次數(shù)的檢查費用與更換刀具的費用，零件總個數(shù)為所有次檢查的零件數(shù);情況（2）的損失為發(fā)現(xiàn)故障進行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費用、所有次檢查所需費用、故障后產(chǎn)出的零件損失費用三部分之和，零件總個數(shù)為所有次檢查的零件數(shù)。每種情況對應(yīng)的概率可由分布函數(shù)求出。由此我們建立以期望損失費用為目標函數(shù)的隨機優(yōu)化模型，求出效益最好的檢查間隔為25，更換刀具間隔為376，每個零件的平均費用為6.6313。

一、問題重述

需要解決的問題

某自動化車床加工過程中會出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%，其他故障僅占5%，工序出現(xiàn)故障隨機且加工每個零件時出現(xiàn)故障的機會相等。且已知：①故障時產(chǎn)出的零件損失費用f=200元/件;②進行檢查的費用t=20元/次;③發(fā)現(xiàn)故障進行調(diào)節(jié)使其恢復(fù)正常的平均費用d=4000元/次（包括刀具費）;④未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用k=1500元/次。100次刀具故障時該刀具完成的零件數(shù)如表1。

試解決：

假定工序故障時產(chǎn)出的零件均不合格，正常時產(chǎn)出的零件均合格，對該工序設(shè)計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。

二、問題分析

要求設(shè)計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略，我們將相鄰兩次刀具更換作為一個生產(chǎn)周期，對零件進行檢查，將一個周期內(nèi)每個零件的平均費用作為目標函數(shù)，使目標函數(shù)最小。通過對100次刀具故障記錄的數(shù)據(jù)分析，可以確定出刀具故障時完成的零件數(shù)服從正態(tài)分布。

要求在工序故障時產(chǎn)出的零件均不合格，正常時產(chǎn)出的零件均合格，設(shè)計效益最好的檢查和刀具更換策略，我們給定檢查間隔，對零件進行檢查。計算平均費用分為兩種情況：（1）當檢查出零件不合格時，調(diào)節(jié)并使其恢復(fù)正常，（2）當?shù)搅硕ㄆ诟鼡Q刀具的時刻，即使設(shè)備未出現(xiàn)故障也進行刀具更換。計算兩種情況下的計算得出加權(quán)總費用和零件總數(shù)量，并得出每個零件的平均損失，求平均損失最小情況下的檢查間隔和刀具更換策略。

三、模型假設(shè)

1.假設(shè)發(fā)生刀具故障時，生產(chǎn)的零件數(shù)服從正態(tài)分布;

2.由于其他故障發(fā)生的概率很小，假設(shè)其他故障也服從正態(tài)分布;

3.刀具故障和其他故障的發(fā)生相互獨立;

四、符號說明

五、模型建立和求解

5.1數(shù)據(jù)處理

利用MATLAB中的hist函數(shù)，畫出100次刀具故障記錄的頻數(shù)直方圖，如圖1，觀察圖形可知，數(shù)據(jù)近似為正態(tài)分布。

（1）正態(tài)性檢驗[1]

正態(tài)分布的拒絕域為，取α=0.05，由于n=100，所以拒絕域為，。經(jīng)計算可得：，未落入拒絕域中，故在α=0.05時，可認為刀具的故障記錄滿足正態(tài)分布。

（2）概率密度函數(shù)的求解

由數(shù)據(jù)可以計算得：μ=600，σ=196.63，則分布函數(shù)為。

5.2問題一的模型建立和求解

5.2.1模型建立

Ⅰ.計算總費用分為兩種情況[2]：（1）當?shù)搅硕ㄆ诟鼡Q刀具的時刻，即使設(shè)備未出現(xiàn)故障也進行刀具更換，（2）當檢查出零件不合格時，調(diào)節(jié)并使其恢復(fù)正常。

對于情況（1），損失為s次的檢查費用與更換刀具的費用，即

零件數(shù)為

對于情況（2），我們假設(shè)故障出現(xiàn)在第n次和第（n+1）次檢查之間，則第（n+1）次檢查之后需要調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常。所以損失為發(fā)現(xiàn)故障進行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費用、（n+1）次檢查所需費用與故障后產(chǎn)出的零件損失費用之和，即（注：為方便求解，這里我們假設(shè)故障發(fā)生在第n次和第（n+1）檢查最中間，即第n次故障發(fā)生后，產(chǎn)出的故障零件有件。）

Ⅱ.綜合情況（1）（2），列出目標函數(shù)平均損失。其中情況（1）（2）的概率占比可由分布函數(shù)公式得出：

對于情況（1），概率為

對于情況（2），由于故障出現(xiàn)在第n次和第（n+1）次檢查之間，而n可以取任意小于s的整數(shù)值，則概率為。

5.2.2模型求解

即效益最好的檢查間隔為25，更換刀具間隔為376，每個零件的平均費用為6.6313

5.2.3模型的推廣

我們的模型也可以理解為多元函數(shù)的極值問題，在自變量是整數(shù)的情況下，可以用本模型的求解方法（窮舉法）。在涉及到概率論的問題中，也有一定的應(yīng)用。

參考文獻

[1].秦新強，郭文艷，徐小平等.數(shù)學(xué)建模[M].科學(xué)出版社，2015.183-190.

[2].https：//wenku.baidu.com/view/2e00d38271fe910ef12df86c.html

西安理工大學(xué) 710048