姚慕偉 富慶飛 ?,,2) 楊立軍 ?,

* (中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所,湖南株洲 412000)

? (北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100191)

** (北京航空航天大學(xué)寧波創(chuàng)新研究院先進(jìn)飛行器與空天動(dòng)力創(chuàng)新研究中心,浙江寧波 315800)

引言

在很多工業(yè)領(lǐng)域都會(huì)發(fā)生液滴的不穩(wěn)定過程,如噴墨打印[1-2]、聲懸浮技術(shù)[3-6]、非接觸式測(cè)量液體性質(zhì)[7-11]等.Rayleigh[12]和Kelvin[13]最先研究了無黏液滴受小擾動(dòng)時(shí)界面衰減振蕩的自然頻率.在形狀振蕩的過程中,表面張力的作用為使液滴表面恢復(fù)為平衡位置的恢復(fù)力,使液滴的振蕩不斷減小,最終恢復(fù)為球形.隨后Reid[14],Chandrasekhar[15],Miller 和Scriven[16]考慮了自然振蕩中液滴黏性的作用,發(fā)現(xiàn)振蕩衰減的主要原因是在界面附近邊界層內(nèi)的黏性耗散.Bauer 等[17-18]則關(guān)注了流變特性對(duì)液滴小振幅振蕩時(shí)頻率的影響,發(fā)現(xiàn)流體的黏彈性可能會(huì)顯著影響液滴的振蕩行為.Khismatullin 和Nadim[19]對(duì)黏彈性液滴形狀振蕩的特征方程進(jìn)行了線性理論分析,發(fā)現(xiàn)對(duì)于黏彈性液滴,即使在很小的彈性下也會(huì)使高黏度的液滴發(fā)生形狀振蕩.Apfel 等[20-24]對(duì)含表面活性劑液滴的形狀振蕩開展了一系列的研究,發(fā)現(xiàn)由于表面活性劑的不均勻分布所導(dǎo)致的Gibbs 彈性是改變自由振蕩頻率最重要的參數(shù).

相比于液滴受小擾動(dòng)的自由振蕩,Li 等[25]研究了受任意方向加速度的黏性液滴在高速氣流下的R-T 不穩(wěn)定過程,并在忽略液滴黏度的情況下,通過求解特征值問題確定了在中性穩(wěn)定狀態(tài)的一系列臨界Bond 數(shù).通過對(duì)遞推關(guān)系的化簡(jiǎn),發(fā)現(xiàn)在大模式數(shù)l條件下增長率與經(jīng)向模數(shù)m無關(guān).吳清等[26]則在Li 等[25]的基礎(chǔ)上考慮了環(huán)境流體的可壓縮性,并將液滴所受的動(dòng)態(tài)慣性力視為是隨時(shí)間變化的.計(jì)算結(jié)果顯示雖然氣體的壓縮性具有促進(jìn)液滴破碎的作用,但其影響卻非常微小.Ebo Adou 和Tuckerman[27]首先研究了受時(shí)間周期徑向加速度的黏性液滴穩(wěn)定性問題,并進(jìn)行了相關(guān)數(shù)值模擬[28].他們使用了與Kumar 和Tuckerman[29]類似的方法,將Floquet 理論應(yīng)用于球坐標(biāo),與處理水平液面問題所不同的是引入了球諧函數(shù).發(fā)現(xiàn)黏性的存在使中性曲線的不穩(wěn)定舌尖變得光滑,但其分析中卻并未考慮周圍環(huán)境介質(zhì)密度的影響.Li 等[30]則在Ebo Adou 和Tuckerman[27]的基礎(chǔ)上探究了環(huán)境流體密度對(duì)穩(wěn)定性的影響,發(fā)現(xiàn)增加環(huán)境流體的密度會(huì)使可能激發(fā)的球模態(tài)變窄.Liu 等[31]開展了液滴處于振動(dòng)隔板上的試驗(yàn),近似計(jì)算了液滴上表面駐波的波長,并與Lang’s方程求得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了在低頻下Lang’s方程對(duì)球面Faraday 不穩(wěn)定的適用性.

本工作采用Floquet 理論,將Liu 等[31]所研究的牛頓黏性液滴拓展為黏彈性液滴,考慮其受徑向振蕩的加速度情況下的穩(wěn)定性問題,推導(dǎo)得到了表面波增長率隨各參數(shù)變化的系數(shù)矩陣,討論了黏彈性參數(shù)及振蕩條件對(duì)液滴不穩(wěn)定性的影響,豐富了液滴Faraday 不穩(wěn)定的理論研究.

1 控制方程

考慮一個(gè)黏彈性的不可壓縮球形液滴在靜止氣流中受徑向振蕩的加速度,物理模型如圖1 所示.其加速度只沿著徑向方向,且可以表示成余弦函數(shù)的形式

圖1 液滴受徑向振蕩示意圖Fig.1 Schematic diagram of a droplet subjected to radial oscillation

其中ω表示振蕩頻率,A0表示振蕩幅值.

液滴的線性化控制方程為

式中,ul=(ulr,ulθ,ulφ)表示液滴的擾動(dòng)速度,pl表示液滴的擾動(dòng)壓強(qiáng),τl表示液滴的偏應(yīng)力張量.變形的液滴表面為

其中,η表示擾動(dòng)的液滴表面與平衡位置的偏離量,R為液滴平衡位置的半徑.

類似地,氣相的控制方程為

因?yàn)楸疚难芯康氖欠桥ｎD黏彈性的液滴,采用Jefferys 模型來描述流體的本構(gòu)方程

其中,D=[?ul+(?ul)T]/2 為液體的應(yīng)變率張量,μ0為零剪切黏度,λ1為 應(yīng)力松弛時(shí)間,λ2為應(yīng)變馳豫時(shí)間.

將擾動(dòng)量設(shè)為Floquet 解的Fourier 形式

其中,β+iγ 表示Floquet 指數(shù),β為擾動(dòng)增長率,n表示展開的Fourier 模態(tài)的階數(shù).將擾動(dòng)量的形式(8)代入本構(gòu)方程(7)中,可以將黏彈性流體的黏度寫成一個(gè)和流變模型參數(shù)相關(guān)的有效動(dòng)力黏度,即

為確定液滴的運(yùn)動(dòng),還需要滿足一些邊界條件.首先,速度的徑向分量必須與液滴表面的變形相容,即運(yùn)動(dòng)邊界條件

其中X1是積分常數(shù),νeff=μeff/ρl為液滴的有效運(yùn)動(dòng)黏度.在球坐標(biāo)系下的Laplace 方程的通解形式為

考慮到在r→0 時(shí),φl應(yīng)為一有限值,并將φl寫成Floquet 解的Fourier 展開

而ψl是無散度的矢量場(chǎng),可以用單變量的標(biāo)量函數(shù)ψl(r)表示成以下形式[15]

因?yàn)榧僭O(shè)氣體是無黏的,因此其速度場(chǎng)滿足勢(shì)函數(shù)

其中X2是積分常數(shù).考慮到r→∞時(shí) φg→const.則φg的通解滿足

其中Dn是積分常數(shù),可通過運(yùn)動(dòng)邊界條件確定.將式(39)代入式(13)中,得到Dn的表達(dá)式為

將式(40)代入式(38)和式(39)中,得到pg的表達(dá)式

注意到在式(42)中,除了第一項(xiàng)外,其余項(xiàng)與球諧函數(shù)的參數(shù)l,m和Fourier 模態(tài)的階數(shù)n無關(guān).因此,若要式(42)對(duì)于任何l,m及n等于零恒成立,需要滿足

而 式(43)就是所需要的色散方程.

2 線性穩(wěn)定性分析

將色散方程(43)中的系數(shù)化為無量綱的形式

式中λ和q可分別視為是無量綱的激勵(lì)頻率的倒數(shù)和無量綱的受迫加速度,c可以用來表征黏度的影響[30].

當(dāng)時(shí),l? 1 有如下Bessel 函數(shù)的漸進(jìn)展開式隨著時(shí)間的發(fā)展,如果在液滴表面的擾動(dòng)幅值一直保持相同的大小,就稱基本流是中性穩(wěn)定的.此時(shí),增長率 β=0,式(45)退化為

根據(jù)方程(53),取多個(gè)q的值,得到一系列對(duì)應(yīng)的λ,根據(jù)這些(q,λ)的點(diǎn)集做出的曲線即為中性穩(wěn)定曲線.

2.1 中性穩(wěn)定曲線

因?yàn)楸疚牡难芯繉?duì)象為非牛頓液滴,因此這里我們主要考慮流變參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響,即:零剪切黏度μ0、應(yīng)力松弛時(shí)間λ1和應(yīng)變馳豫時(shí)間λ2.為盡量貼近黏彈性液滴的實(shí)驗(yàn)工況和物性參數(shù),在這里取一組典型的實(shí)驗(yàn)工況.取液滴的半徑為R=5 ×10?4m,所施加的振蕩頻率為ω=5 × 105rad/s,參照Brenn 和Teichtmeister[32]所用的實(shí)驗(yàn)工質(zhì),取質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.8%的普立清2500 溶液,其密度ρl=1000.9 kg/m3,表面張力系數(shù)σ=0.07555 N/m,零剪切黏度μ0=0.7588 Pa·s,應(yīng)力松弛時(shí)間λ1=0.163 s.在文獻(xiàn)中并沒有給出λ2的取值,參考Li 等[33]的做法,取λ2=λ1/10,并令為基本工況.因?yàn)槊鞔_了要將μ0=0.7588 Pa·s 代入計(jì)算,在這里c的取值就不同于參考文獻(xiàn)[30] 中直接給定的方式.在這里取球波數(shù)l為20,代入式(53)中,再結(jié)合零剪切黏度、密度等參數(shù)即可確定c的值.

根據(jù)基本工況的參數(shù)中性穩(wěn)定曲線的計(jì)算結(jié)果如圖2 所示.在圖2 中,實(shí)線表示諧波不穩(wěn)定區(qū)域,虛線表示亞諧波不穩(wěn)定區(qū)域.在基本工況下,第一亞諧波不穩(wěn)定區(qū)域位于 λ ?q平面的第4 象限.根據(jù) λ和q的定義不可能為負(fù)值,所以認(rèn)為在這種條件下第一亞諧波區(qū)域是穩(wěn)定的.不同于無阻尼項(xiàng)的Mathieu 方程,在這里不穩(wěn)定區(qū)域左側(cè)靠近 λ 軸的部分變得光滑,且隨著特征指標(biāo) γ 的增加,距離 λ 軸越來越遠(yuǎn).圖中紅色實(shí)心圓點(diǎn)代表中性穩(wěn)定曲線上q的值最小的點(diǎn),即其橫坐標(biāo)表示整條曲線上的qmin.根據(jù)q的定義,在波數(shù)l確定的情況下,q可以表征振蕩幅值的大小,因此曲線上q最小的點(diǎn)代表使不穩(wěn)定發(fā)生的最小的受迫加速度幅值.在圖2 所示的3 個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域中,隨著 γ 的增加,qmin逐漸增大,意味著若要在液滴表面激發(fā)出更高階的不穩(wěn)定需要更大的受迫加速度.因此在下面的討論中,僅研究 第一諧波不穩(wěn)定區(qū)域的特征.

圖2 基本工況條件下的中性穩(wěn)定曲線(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.758 8 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.016 3 s)Fig.2 Neutral stability curve under base case condition (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.758 8 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.016 3 s)

圖3 給出了不同零剪切黏度條件下第一諧波區(qū)域的中性穩(wěn)定曲線.隨著零剪切黏度逐漸增大,對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域在縮小,不穩(wěn)定舌尖變得越來越光滑,且qmin值在逐漸增大,這意味著隨著液滴零剪切黏度的逐漸增加,整體的穩(wěn)定性增強(qiáng),激勵(lì)幅值要響應(yīng)提高才能使液滴發(fā)生諧波模式的振蕩.圖4 顯示了不同應(yīng)力松弛時(shí)間條件下液滴的中性穩(wěn)定曲線.當(dāng)應(yīng)力松弛時(shí)間逐漸增大時(shí),第一諧波區(qū)域的qmin值逐漸減小,表現(xiàn)為液滴的不穩(wěn)定性增加.

圖3 不同零剪切黏度下的中性穩(wěn)定曲線(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s)Fig.3 Neutral stability curve under different zero-shear viscosity conditions (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s)

圖4 不同應(yīng)力松弛時(shí)間下的中性穩(wěn)定曲線(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.758 8 Pa·s,=0.163 s,λ2=0.0163 s)Fig.4 Neutral stability curve under different stress relaxation time conditions (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,=0.163 s,λ2=0.0163 s)

圖5 計(jì)算了當(dāng)應(yīng)變馳豫時(shí)間改變時(shí)的中性穩(wěn)定曲線.當(dāng)λ2逐漸增加時(shí),中性穩(wěn)定曲線向右收縮,且qmin值逐漸增大,其變化與零剪切黏度的變化趨勢(shì)相同.雖然在前人的研究中[34],與應(yīng)力松弛時(shí)間相比,應(yīng)變馳豫時(shí)間對(duì)流動(dòng)穩(wěn)定性的影響不大,但在這里卻顯示改變應(yīng)變馳豫時(shí)間獲得了更為明顯的變化,推測(cè)是因?yàn)樵诒疚闹?基本情況的λ2取得較小,因此成倍地改變?chǔ)?影響較為顯著.

圖5 不同應(yīng)變馳豫時(shí)間下的中性穩(wěn)定曲線(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.758 8 Pa·s,λ1=0.163 s,=0.016 3 s)Fig.5 Neutral stability curve under different deformation retardation time conditions (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.758 8 Pa·s,λ1=0.163 s,=0.016 3 s)

2.2 增長率曲線

在式(46)和式(47)中,q和λ里均含有球波數(shù)l,如果給定一個(gè)l的值,在一種確定的試驗(yàn)條件下,q和λ的值是確定的.因此,將球波數(shù)l固定為一個(gè)常數(shù),受迫振蕩頻率ω改變,這導(dǎo)致λ隨之變化,在這里,固定A0的值,使得q隨著ω的變化而變化.首先作出在不同加速度振蕩幅值A(chǔ)0條件下的增長率如圖6 所示.對(duì)于一個(gè)確定的A0,在一特定的頻率段內(nèi),增長率呈階梯狀,隨著激勵(lì)頻率的增加,增長率的值逐漸減小.這相當(dāng)于激勵(lì)頻率有一個(gè)閾值ωcr,當(dāng)ω>ωcr時(shí),液滴才會(huì)不穩(wěn)定,且增長率會(huì)迅速增加到最大值;而超過這個(gè)閾值再進(jìn)一步增加振蕩頻率,液滴雖然還是不穩(wěn)定的,但其表面波的增長卻在逐漸衰減.

圖6 不同加速度振蕩幅值條件下增長率隨振蕩頻率的變化(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s,l=20)Fig.6 The variation of growth rate versers oscillation frequency under different acceleration conditions (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s,l=20)

為更好地理解圖6,這里要引入一個(gè)“三次方曲線”的概念:在ρg→0 的假設(shè)下,λ與q可通過消去l聯(lián)系起來,得到

對(duì)于一種特定的實(shí)驗(yàn)工況,可通過式(54) 在λ?q平面上得到對(duì)應(yīng)的曲線,因λ是與q成三次方關(guān)系的,所以這類曲線就叫三次方曲線[30].

在圖7 中,4 條曲線是根據(jù)式(54)做出的不同振蕩幅值的三次方曲線.實(shí)線表示給定增長率的輪廓線,這類似于圖2 中第一諧波區(qū)域中性穩(wěn)定曲線的作圖過程,只不過是β不再視為零而取一些特定的值,這表示特定增長率的輪廓線.隨著振蕩幅值的增加,虛線與不穩(wěn)定區(qū)域相交的部分也越來越寬,這表示不穩(wěn)定也更容易發(fā)生.以增長率為0.25 的綠色輪廓線為例,4 條三次方曲線與該輪廓線的交點(diǎn)分別用黑色實(shí)心圓點(diǎn)和黑色實(shí)心方點(diǎn)標(biāo)出,方點(diǎn)表示三次方曲線進(jìn)入輪廓線時(shí)的交點(diǎn),而圓點(diǎn)表示穿出輪廓線時(shí)的交點(diǎn).可發(fā)現(xiàn)無論是圓點(diǎn)還是方點(diǎn),隨著加速度振蕩幅值的增大,黑色點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是逐漸減小的.聯(lián)系公式(46),縱坐標(biāo)λ可表征無量綱激勵(lì)頻率平方的倒數(shù),縱坐標(biāo)的逐漸減小代表激勵(lì)頻率逐漸增大,這也就解釋了圖6 中所呈現(xiàn)的振蕩幅值增大,使液滴發(fā)生不穩(wěn)定的振蕩頻率也相應(yīng)增大.

圖7 不同振蕩幅值的三次方曲線與第一諧波不穩(wěn)定區(qū)域輪廓線相交(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=0 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s,l=20)Fig.7 The intersection of different oscillation amplitude cubic curves with the contours of the first harmonic instability region (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=0 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s,l=20)

圖8 顯示了球波數(shù)l對(duì)液滴增長率的影響,在這里及以下的計(jì)算中,設(shè)置A0=30 m/s2.隨著球波數(shù)l的增加,液滴的最大增長率減小,且使液滴不穩(wěn)定的振蕩頻率升高.在圖9 中,定義=0.758 8 Pa·s,分別減小和增大零剪切黏度的值,觀察其隨著受迫頻率的變化.零剪切黏度增加時(shí),激勵(lì)液滴不穩(wěn)定的頻率值ωcr減小,且最大增長率減小,抑制了擾動(dòng)的增長,這與前面對(duì)于中性穩(wěn)定曲線的分析是一致的.

圖8 不同球波數(shù)l 條件下增長率隨振蕩頻率的變化(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s,A0=30 m/s2)Fig.8 The variation of growth rate versers oscillation frequency under different spherical wavenumber conditions (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s,A0=30 m/s2)

圖9 不同零剪切黏度條件下增長率隨振蕩頻率的變化(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s,A0=30 m/s2,l=20)Fig.9 The variation of growth rate versers oscillation frequency under different zero-shear viscosity conditions (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,λ1=0.163 s,λ2=0.0163 s,A0=30 m/s2,l=20)

圖10 體現(xiàn)了應(yīng)力松弛時(shí)間增加時(shí),ωcr逐漸增大.λ1表征流體彈性的大小,應(yīng)力松弛時(shí)間越大,液滴更容易發(fā)生失穩(wěn),因此體現(xiàn)在圖10 中為λ1大的情況,最大增長率也較大.圖11 顯示了應(yīng)變馳豫時(shí)間增加時(shí),ωcr逐漸減小.在這里λ2的變化趨勢(shì)與零剪切黏度改變時(shí)對(duì)增長率的影響類似,這與在分析中性穩(wěn)定曲線時(shí)是相似的.這是因?yàn)樵谑?10) 中,μ0和λ2都是位于分子位置的,改變?chǔ)?或λ2時(shí)對(duì)μeff的影響是同方向的,這也就呈現(xiàn)在增長率或中性穩(wěn)定曲線的結(jié)果中.

圖10 不同應(yīng)力松弛條件下增長率隨振蕩頻率的變化(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ2=0.0163 s,A0=30 m/s2,l=20)Fig.10 The variation of growth rate versers oscillation frequency under different stress relaxation time conditions (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ2=0.0163 s,A0=30 m/s2,l=20)

圖11 不同應(yīng)變馳豫時(shí)間條件下增長率隨振蕩頻率的變化(ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,A0=30 m/s2,l=20)Fig.11 The variation of growth rate versers oscillation frequency under different deformation retardation time conditions (ρl=1000.9 kg/m3,ρg=1.225 kg/m3,σ=0.07555 N/m,μ0=0.7588 Pa·s,λ1=0.163 s,A0=30 m/s2,l=20)

3 結(jié)論

本文通過分析在不同黏彈性參數(shù)下液滴中性穩(wěn)定曲線和增長率的變化趨勢(shì),可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1) 若要在液滴表面激發(fā)出更高階的不穩(wěn)定,需要更大的受迫加速度;

(2) 零剪切黏度和應(yīng)變馳豫時(shí)間的增加,使整體穩(wěn)定性增強(qiáng),若要使液滴發(fā)生諧波模式的不穩(wěn)定需要提高振蕩幅值;應(yīng)力松弛時(shí)間的增加則會(huì)促進(jìn)液滴的不穩(wěn)定性;

(3) 在一定振蕩幅值情況下,不同振蕩頻率具有不同的擾動(dòng)增長率,且隨著振蕩頻率的增加,增長率的值逐漸減小;

(4) 與中性穩(wěn)定曲線分析的結(jié)果類似,增加液滴的零剪切黏度和應(yīng)變馳豫時(shí)間使液滴的最大增長率減小,同時(shí),增加液滴的球波數(shù)也具有相同的效果;應(yīng)力松弛時(shí)間增加,最大增長率增加.