楊 業(yè)， 王敏文， 葉文博， 劉曉宇， 李 巖，姚紅娟， 鄭曙昕， 劉臥龍， 王 迪， 王茂成， 趙銘彤，閆逸花， 張 輝， 王百川， 呂 偉， 王忠明?

(1. 強脈沖輻射環(huán)境模擬與效應國家重點實驗室， 西安 710024；2. 粒子技術與輻射成像教育部重點實驗室， 北京 100084；3. 清華大學 先進輻射源及應用實驗室， 北京 100084； 4. 清華大學 工程物理系， 北京 100084)

西安200 MeV質子應用裝置(Xi’an 200 MeV Proton Application Facility， XiPAF)是國內首臺滿足空間質子單粒子效應考核要求的實驗裝置，該裝置由7 MeV直線注入器和200 MeV同步加速器組成[1-3]。調束階段，由于存在準直偏差和磁鐵磁場偏差，同步加速器的線性光學與設計會有偏差。為建立準確的機器模型及優(yōu)化注入、加速和引出效率，線性光學測量與校正是環(huán)形加速器調束過程中關鍵且必要的一步。表征環(huán)形加速器狀態(tài)的線性光學函數(shù)包括工作點、β函數(shù)、色散函數(shù)和色品。常用的線性光學校正方法有2種[4]：第1種是基于閉軌響應矩陣的校正方法，該方法主要用于輕子儲存環(huán)的線性光學校正[5-7]，也可應用于中小型強子同步環(huán)的線性光學校正[8-9]，但受限于束流位置探測器(BPM)的測量噪聲，模型校正效果有限；第2種是基于束流逐圈位置的校正方法，需要激勵起較大幅度的束流質心振蕩，在強子和輕子環(huán)形加速器中都有應用[10-12]。

當前，調束在臨時廠房進行，BPM逐圈位置測量噪聲比較大，基于束流逐圈位置的測量與校正方法的效果不太好，因此采用了基于閉軌響應矩陣的校正方法和LOCO(linear optics from closed orbits)程序[13-14]進行線性光學校正。本文首先介紹了工作點、β函數(shù)、色散函數(shù)和色品的測量方法與結果，然后改進了LOCO程序，使之適用于低能質子同步加速器的線性光學校正，最后給出了基于改進后LOCO程序的校正結果。

1 XiPAF同步環(huán)簡介

XiPAF同步加速器是一個周長30.9 m、采用六折對稱結構的緊湊型同步加速器[1-3]，該裝置的布局如圖1所示。

圖1 XiPAF同步環(huán)布局Fig.1 Layout of XiPAF synchrotron

每個單元類似于1個將二極鐵取消的FODO結構，因此稱為“Missing dipole FODO”結構。該方案簡單且有足夠的直線節(jié)放置束流測量元件、高頻腔及注入引出等相關設備。每個單元放置1個水平校正鐵和1個垂直校正鐵。每個校正鐵附近放置1個同方向的BPM，因此環(huán)上總共有12個單向校正鐵和12個單向BPM。通過這些校正鐵和BPM可以實現(xiàn)響應矩陣測量以及閉軌校正。XiPAF采用H-剝離注入，為方便放置注入切割磁鐵，通過3個直流凸軌磁鐵產生局部凸軌[15]，使環(huán)光學參數(shù)失去了六折對稱性。

由于注入和引出階段所需的工作點不同，XiPAF同步環(huán)采用了變工作點的加速方式，注入和引出階段的光學參數(shù),如表1所列。注入引出階段對光學模型的準確性都有很高的要求，因此都需要進行光學函數(shù)的測量與校正。2個階段的光學函數(shù)測量與校正過程類似，本文只介紹注入階段的光學函數(shù)測量與校正。

表1 同步環(huán)光學參數(shù)Tab.1 Lattice parameters of synchrotron ininjection and extraction phase

XiPAF同步環(huán)注入階段的β函數(shù)如圖2所示。由圖2可見，受凸軌磁鐵邊緣場的影響，垂直方向βy函數(shù)失去了六折對稱性。

(a) βx

2 線性光學測量與校正方法

2.1 線性光學測量原理與方法

常用的線性光學函數(shù)包括工作點、β函數(shù)、色散函數(shù)和色品。工作點可采用對BPM逐圈位置做快速傅里葉變換(FFT)和頻譜儀直接對BPM原始信號做譜分析2種方法進行測量。為提高工作點測量精度，在測量前使用白噪聲激勵束流，產生一定幅度的橫向振蕩。

β函數(shù)的測量方法有2種[4]。

第1種稱為K調制法。當四極鐵聚焦強度變化較小時，在線性近似下，工作點的變化為

(1)

其中， Δvx,y為水平或垂直工作點變化； Δk為四極鐵聚焦強度變化；βx,y為四極鐵處的平均β函數(shù)；L為四極鐵有效長度。測量時通過漂浮電源逐個改變四極鐵聚焦強度，測量工作點變化，通過線性擬合得到四極鐵處的平均β函數(shù)。

第2種方法稱為ORM(orbit response matrix)方法。當校正鐵與BPM位置非常近時，可認為校正鐵與BPM處的β函數(shù)和色散函數(shù)相等，相移為0，此時給校正鐵施加踢角θ引起的BPM位置變化為

(2)

其中， Δux,y為施加校正鐵踢角后水平或垂直束流位置變化；η為同步環(huán)滑相因子；Dx,y為校正鐵或者BPM處的色散函數(shù)；C為同步環(huán)周長。由式(2)可知， Δux,y與θ呈線性關系，測量時逐個掃描校正鐵磁場，測量束流位置變化，線性擬合后得到線性響應系數(shù)，代入式(2)即可得到校正鐵與BPM處的平均β函數(shù)。

色散和色品都是由束流能量偏差而引入的參數(shù)，因此，要測量色散和色品需要引入束流能量的微小變化，通過緩慢改變高頻腔的頻率實現(xiàn)束流能量的微調。在頻率變化很小時，頻率變化可表示為[16]

(3)

其中，f為高頻頻率；p為與頻率f匹配的束流動量； Δf頻率變化量； Δp為束流動量變化量。實際測量時，給定頻率線性緩慢變化的頻率曲線，測量頻率變化過程中的束流位置和工作點的變化。束流位置隨束流動量偏差變化關系的線性系數(shù)即為色散函數(shù)，束流工作點隨束流動量偏差變化關系的線性系數(shù)即為色品。

2.2 基于ORM的線性光學校正方法

由于響應矩陣中已經(jīng)包含了關于橫向運動的所有信息，將測量的響應矩陣與模型計算的響應矩陣進行匹配，即可修正模型，并得到一個與實際測量結果相匹配的Lattice模型，這就是基于ORM的線性光學校正的基本思想。LOCO程序是基于Matlab開發(fā)的，以加速器工具箱(Accelerator Toolbox，AT)為計算模型的ORM線性光學校正程序[13-14]，該程序已經(jīng)廣泛應用于環(huán)形加速器的線性光學校正[5-9]。

LOCO的基本原理就是以四極鐵強度、BPM增益系數(shù)、校正鐵強度及校正鐵耦合等為匹配變量，調節(jié)這些變量，使模型和測量得到的響應矩陣相等。偏差函數(shù)可定義為

(4)

其中，Gmodel,i,j為模型計算得到響應矩陣的第i行第j列元素，i表示BPM，j表示校正鐵；Gmeas,i,j為測量得到響應矩陣的第i行第j列元素；σi是第i個BPM的噪聲水平。改變匹配變量的值，使得上述偏差函數(shù)最小，是一個多參數(shù)單目標的非線性優(yōu)化問題。求解該問題最有效的方法是高斯牛頓法，通過求解每一步迭代時的雅克比矩陣，采用最小二乘法得到下一步匹配變量的修正量，使偏差函數(shù)逼近全局最小值。但該方法對初值敏感，當初值偏差較大時，會出現(xiàn)迭代發(fā)散或者振蕩。為解決該問題，LOCO程序采用了Levenberg-Marquadt方法求解，結合了高斯牛頓法和最速下降法2種算法的優(yōu)點，可通過懲罰因子來控制算法。當初值偏差較大時，采用較大的懲罰因子使算法更接近于最速下降法，該算法始終是收斂的，可使變量不斷逼近全局最小值，隨后采用較小的懲罰因子加快收斂速度。變量匹配過程中，四極鐵強度的偏差對同步環(huán)的線性光學影響很大。利用Levenberg-Marquadt方法可得到四極鐵強度擬合值Kps，及其與設計值K的偏差ΔK。四級鐵工作電流的校正量ΔI與強度K的關系可表示為

(5)

Kps可認為是實際四極鐵強度的最佳估計值，利用式(5)可得到四極鐵工作電流的校正量，將新的工作電流發(fā)給四極鐵電源即可將實際的加速器Lattice校正到與設計的加速器Lattice相匹配。

3 線性光學函數(shù)測量與校正結果

在同步環(huán)注入俘獲后進行了線性光學函數(shù)與響應矩陣的測量，以中能輸運線上的BPM為相位探針，通過飛行時間法(time of flight, TOF)測得注入束流能量為7.11 MeV。按2節(jié)介紹的方法測量了響應矩陣、β函數(shù)、色散函數(shù)和色品。由于開源的LOCO和AT程序最初是針對電子儲存環(huán)設計，為了使2者可以應用于低能質子環(huán)的模擬與線性光學校正，需對程序做一定的修改。電子加速到較低能量時，速度接近光速，在跟蹤時可直接將電子的速度默認為光速；與電子相比，低能質子的非相對論效應明顯，在跟蹤時需考慮速度的影響。程序修改的內容為

1) 在AT中對二極鐵、四極鐵及高頻腔等元件增加新的跟蹤算法，主要是在縱向坐標的跟蹤中加入了粒子速度的影響。

2) 修改了LOCO程序中響應矩陣計算的理論公式，原有的程序中，式(2)中的η為動量壓縮因子，這對于相對論粒子束是適用的，但對于非相對論粒子束，需考慮粒子速度的影響，必須使用滑相因子。

為了使初始模型盡可能準確，在初始模型中考慮了二極鐵的四極分量、六極分量和八極分量的影響，元件初始參數(shù)均按照機器實際運行參數(shù)進行設置。LOCO校正的匹配變量包括四極鐵聚焦強度、校正鐵增益及BPM增益。同時將測量的色散函數(shù)作為響應矩陣的一部分進行擬合。由于垂直方向色散函數(shù)非常小，參與擬合會出現(xiàn)迭代不收斂的情況，所以將垂直方向色散的權重設置為0。頻率測量較準確，擬合過程中不將頻率作為擬合參數(shù)之一。

XiPAF同步環(huán)校正鐵和BPM數(shù)量較少，響應矩陣中的有效數(shù)據(jù)也較少，使用LOCO進行橫向耦合的校正時會出現(xiàn)結果不收斂的現(xiàn)象。這是因為機器實際的橫向耦合比較小，但可能產生橫向耦合的因素較多，如二極鐵和四極鐵的滾轉角偏差。如果將二極鐵和四極鐵滾轉角偏差作為擬合參數(shù)，擬合參數(shù)較多會導致結果不收斂。在不考慮橫向耦合的情況下，迭代一次，結果基本就收斂了，后續(xù)擬合的偏差基本不變。在實際測量中，第1次迭代后，偏差由516減小到2.17。第1次迭代后，測量與模型響應矩陣的3維圖如圖3所示。模型和測量響應矩陣的最大相對偏差為7%，符合較好。

圖3 校正后模型響應矩陣與測量響應矩陣對比Fig.3 Corrected response matrix vs. measured response matrix

XiPAF同步環(huán)有3類四極鐵，分別由3個電源供電，在擬合過程中將同1類四極鐵的聚焦強度作為1個參數(shù)處理，因此四極鐵聚焦強度有3個匹配變量。通過修正后的四極鐵聚焦強度與根據(jù)電流和測磁曲線計算得到的聚焦強度，可確定四極鐵修正系數(shù)(fudge factor)，如表2所列。

表2 四極鐵修正系數(shù)Tab.2 Fudge factors for quadrupole type

為驗證校正后模型的準確性，將測量的β函數(shù)、色散函數(shù)及色品與校正模型給出的結果做了對比。圖4為校正后模型β函數(shù)與測量β函數(shù)的對比，其中，“modelβ”為校正模型計算得到β函數(shù)，“quadβ”為K調制法測量得到的β函數(shù)、“corrβ”為ORM方法測量得到的β函數(shù)。由圖4可見，由于7 MeV注入俘獲后垂直方向動量分散較大，且垂直方向色品較大，使工作點無法準確測量，因此垂直方向沒有使用K調制法測量β函數(shù)。

(a) βx

圖5為校正后模型色散函數(shù)與測量色散函數(shù)的對比。其中，“modelD”表示校正模型計算得到色散函數(shù)，“measureDoriginal”表示測量得到的原始色散函數(shù)，“measureD”表示用LOCO校正得到的BPM增益系數(shù)對測量得到的色散函數(shù)進行修正后的結果。由圖5可見，修正后的色散函數(shù)與模型符合的非常好，表明LOCO校正給出的BPM增益系數(shù)是比較準的。由于LOCO校正沒有擬合耦合項，所以垂直方向模型給出的色散函數(shù)為0。

(a) Dx

測量得到的水平方向的色品ξx,meas=0.33，垂直方向的色品ξy,meas=-2.83?？紤]不同二極鐵高階場分量時，使用MADX計算了校正模型的色品，如表3所列。由表3可知，影響色品的主要是六極分量，與理論相符。測量的色品與考慮二極鐵六極分量之后校正模型的色品非常接近，說明測量色品和自然色品的差異主要是由二極鐵六極分量引起的。

表3 考慮不同高階場分量時校正模型的色品Tab.3 Chromaticity of correction model consideringdifferent multipole components

4 結論

本文介紹了XiPAF同步環(huán)線性光學測量與校正的結果，校正后的模型與測量的線性光學函數(shù)符合較好，說明在對相關模型做修正后，LOCO程序可應用于低能質子同步加速器的線性光學校正。由于小型質子同步加速器結構緊湊，BPM和校正鐵數(shù)量較少，導致有效的數(shù)據(jù)不多，且低能質子裝置BPM噪聲較大，因此無法精確地擬合一些精細的模型參數(shù)；但可擬合影響線性光學的主要參數(shù)，如四極鐵強度，迭代一次即可收斂，擬合精度基本滿足機器建模和線性光學應用需求。