李世平，李姝睿

(1.內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)與煤炭學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014014； 2.北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192)

0 引言

線路中線測(cè)設(shè)工作是線路定測(cè)工作中一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)性工作[1-2]。線路中線的測(cè)設(shè)一般包括圓曲線、直線、緩和圓曲線的測(cè)設(shè)，這些曲線的測(cè)設(shè)元素一般都是局部坐標(biāo)系(獨(dú)立坐標(biāo)系)的坐標(biāo)，如何將局部坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成國家或地方坐標(biāo)系坐標(biāo)是研究的關(guān)鍵問題[3-4]。本文在現(xiàn)有各自獨(dú)立坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出統(tǒng)一局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)換算數(shù)學(xué)模型，即換算到第一個(gè)曲線獨(dú)立坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型。最后，推導(dǎo)出統(tǒng)一的國家或地方坐標(biāo)系中線點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型。實(shí)現(xiàn)了快速、準(zhǔn)確的將局部坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一國家或地方坐標(biāo)系坐標(biāo)的過程。

1 測(cè)設(shè)中線點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型

路線主要有若干直線段和曲線段組成，曲線段包括單圓曲線和帶有緩和曲線的圓曲線[5-6]，以下推導(dǎo)各線段的局部坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型。

1.1 建立曲線獨(dú)立坐標(biāo)系

為了推導(dǎo)公式及外業(yè)測(cè)設(shè)方便,將每個(gè)曲線和直線分別建立獨(dú)立坐標(biāo)系。曲線獨(dú)立坐標(biāo)系建立方法:以ZH點(diǎn)(若單圓曲線則以ZY點(diǎn))為原點(diǎn),以其切線方向?yàn)閤軸；以過ZH點(diǎn)(或ZY點(diǎn))并垂直于x軸方向?yàn)閥軸，如圖1所示。直線獨(dú)立坐標(biāo)系建立方法：以直線起點(diǎn)(QD點(diǎn))為原點(diǎn),以過QD點(diǎn)的直線方向?yàn)閤軸；以過QD點(diǎn)且垂直于直線方向?yàn)閥軸，如圖2所示。

1.2 單圓曲線的數(shù)學(xué)模型

單圓曲線數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)略，數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

其中，xi為圓曲線上第i點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)；yi為圓曲線上第i點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)；li為圓曲線上第i點(diǎn)到曲線起點(diǎn)(ZY點(diǎn))的弧長(zhǎng)；R為圓曲線半徑。

1.3 直線段的數(shù)學(xué)模型

直線段的數(shù)學(xué)模型如下：

xi=i里程-QD里程

yi=0

(2)

其中，xi為直線段上第i點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)；yi為直線段上第i點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)；i里程為直線段上第i點(diǎn)的里程；QD里程為直線段上起點(diǎn)里程。

1.4 帶有緩和曲線的圓曲線的數(shù)學(xué)模型

此曲線包括緩和曲線段和圓曲線段，緩和曲線段和圓曲線段的數(shù)學(xué)模型是不同的，現(xiàn)分別敘述：

1)緩和曲線段上中線點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型。

螺旋線是目前我國緩和曲線的常用線型，其數(shù)學(xué)模型為：

(3)

其中，R為圓曲線半徑；l0為緩和曲線長(zhǎng)；li為緩和曲線上第i點(diǎn)到曲線起點(diǎn)(ZH點(diǎn))的弧長(zhǎng)。

2)圓曲線段上中線點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型。

(4)

其中，li為圓曲線上第i點(diǎn)到曲線起點(diǎn)(ZH點(diǎn))的弧長(zhǎng)。

比較式(4)和式(1)可看出，當(dāng)l0=0時(shí)，則式(4)和式(1)相同。說明，當(dāng)緩和曲線為零時(shí)帶有緩和曲線的圓曲線即為單圓曲線。

2 測(cè)設(shè)中線點(diǎn)的局部坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型

前面介紹了各個(gè)分段曲線的數(shù)學(xué)模型，本節(jié)研究將上述各分段坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型換算成局部統(tǒng)一坐標(biāo)系(第一分段獨(dú)立坐標(biāo)系)數(shù)學(xué)模型。如圖3所示，共有三個(gè)坐標(biāo)系：1)xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐標(biāo)系，即右轉(zhuǎn)單圓曲線坐標(biāo)系；2)xⅡ-Ⅱ(0)-yⅡ坐標(biāo)系，直線獨(dú)立坐標(biāo)系；3)xⅢ-Ⅲ(0)-yⅢ坐標(biāo)系，即左傳帶有緩和曲線的圓曲線坐標(biāo)系。規(guī)定：坐標(biāo)系序號(hào)為：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ,…,J，每個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)號(hào)為：1，2，3，…，i，每個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)起始點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為J(0)，終點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為J(N)。很容易看出：Ⅰ(N)就是Ⅱ(0)，Ⅱ(N)就是Ⅲ(0)。

2.1 將Ⅱ(0)點(diǎn)換算到xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐標(biāo)系內(nèi)的數(shù)學(xué)模型

Ⅱ(0)點(diǎn)是單圓曲線的終點(diǎn)，也是直線的起點(diǎn)，換算到xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)的數(shù)學(xué)模型如下：

(5)

2.2 將Ⅱ坐標(biāo)系內(nèi)各點(diǎn)換算到Ⅰ坐標(biāo)系內(nèi)的數(shù)學(xué)模型

由圖2可看出，Ⅱ坐標(biāo)系縱軸xⅡ與Ⅰ坐標(biāo)系縱軸xⅠ的夾角為αⅠ(單圓曲線的轉(zhuǎn)向角)，因此Ⅱ坐標(biāo)系內(nèi)各點(diǎn)換算到Ⅰ坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)的數(shù)學(xué)模型為：

(6)

2.3 將Ⅲ坐標(biāo)系內(nèi)各點(diǎn)換算到Ⅰ坐標(biāo)系內(nèi)的數(shù)學(xué)模型

Ⅲ坐標(biāo)系內(nèi)各點(diǎn)換算到Ⅰ坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)的數(shù)學(xué)模型如下：

(7)

以上為將各曲線獨(dú)立坐標(biāo)系坐標(biāo)換算到第一曲線獨(dú)立坐標(biāo)系內(nèi)的數(shù)學(xué)模型。

3 測(cè)設(shè)中線點(diǎn)的統(tǒng)一坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型

這里講的中線點(diǎn)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型是指將第一曲線獨(dú)立坐標(biāo)系的坐標(biāo)換算到國家或地方坐標(biāo)系的坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型。如何將第一曲線獨(dú)立坐標(biāo)系坐標(biāo)換算到統(tǒng)一坐標(biāo)系(國家或地方坐標(biāo)系)內(nèi)是本節(jié)研究的問題。假設(shè)國家或地方坐標(biāo)系ZY點(diǎn)的坐標(biāo)xZY，yZY及坐標(biāo)方位角αZY-JD為已知，在第二、三節(jié)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出測(cè)設(shè)中線點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型。

3.1 圓曲線的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型

如圖4所示，xOY為國家或地方坐標(biāo)系，圓曲線的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)過程略，數(shù)學(xué)模型如下：

(8)

其中，xi為圓曲線上第i點(diǎn)的國家或地方坐標(biāo)系的縱坐標(biāo);yi為圓曲線上第i點(diǎn)的國家或地方坐標(biāo)系的橫坐標(biāo);xZY為ZY點(diǎn)的國家或地方坐標(biāo)系的縱坐標(biāo);yZY為ZY點(diǎn)的國家或地方坐標(biāo)系的橫坐標(biāo);αZY-JD為ZY-JD直線坐標(biāo)方位角，即為第一坐標(biāo)系縱軸在國家或地方坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)方位角。其他參見式(6)。

3.2 直線段的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型

直線段的數(shù)學(xué)模型如下：

(9)

其中，xi為直線段上第i點(diǎn)的國家或地方坐標(biāo)系的縱坐標(biāo);yi為直線段上第i點(diǎn)的國家或地方坐標(biāo)系的橫坐標(biāo);其他參見式(6)和式(8)。

3.3 帶有緩和曲線的圓曲線的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型

帶有緩和曲線的圓曲線分為緩和曲線段和圓曲線段,雖兩種曲線段上的數(shù)學(xué)模型不同,但為了表示方便,將用一個(gè)式子來表示兩種曲線段的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型,統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型如下:

(10)

其中，xi為帶有緩和曲線的圓曲線上第i點(diǎn)的國家或地方坐標(biāo)系的縱坐標(biāo);yi為帶有緩和曲線的圓曲線上第i點(diǎn)的國家或地方坐標(biāo)系的橫坐標(biāo);其他參見式(7),式(8)。

4 計(jì)算實(shí)例

如圖3,圖4所示,ZY點(diǎn)某地方坐標(biāo)系坐標(biāo)為:xZY=83.250 m,yZY=55.403 m,ZY-JD直線的坐標(biāo)方位角αZY-JD=88°56′54″,為簡(jiǎn)便起見,表1中只列出第三曲線段的坐標(biāo)換算結(jié)果。

表1 線路測(cè)量坐標(biāo)換算表

5 結(jié)語

1)推導(dǎo)出測(cè)設(shè)中線點(diǎn)的統(tǒng)一國家或地方坐標(biāo)系坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型，為了實(shí)現(xiàn)線路測(cè)量的內(nèi)外業(yè)一體化，快速確定中線測(cè)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)起到積極作用。2)數(shù)學(xué)模型公式繁瑣和復(fù)雜，如果將這些數(shù)學(xué)模型編制成程序進(jìn)行計(jì)算，在實(shí)地計(jì)算中線點(diǎn)坐標(biāo)就十分方便，提高了測(cè)設(shè)工作效率。3)最后得出的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型是以任意點(diǎn)在第一曲線獨(dú)立坐標(biāo)系坐標(biāo)為變量的，這一點(diǎn)與其他數(shù)學(xué)模型稍有不同，該模型是對(duì)原有模型的改進(jìn)和拓展。