王允地，王帥，王良文，張繼豪，王若瀾

1.陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 陜西 西安 710021；2.北京立德未來(lái)助學(xué)公益基金會(huì)，北京 100026；3.鄭州輕工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 河南 鄭州 450002；4.鄭州輕工業(yè)大學(xué) 國(guó)際教育學(xué)院, 河南 鄭州 450002

0 引言

工程實(shí)際中的很多問(wèn)題都可抽象為單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)[1-3]. 通常，機(jī)械系統(tǒng)的黏滯阻尼是非線性的,與溫度、頻率、應(yīng)變等因素有關(guān)[4-5]. 摩擦也是機(jī)械系統(tǒng)中常見(jiàn)的非線性問(wèn)題之一[6-9]，在考慮系統(tǒng)的黏滯阻尼、摩擦等因素的前提下研究系統(tǒng)的振動(dòng)非常必要. 針對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)振動(dòng)，文獻(xiàn)[10-11]繪制了相頻曲線圖和幅頻曲線圖，但均未給出包含初始條件的簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)關(guān)系式. 文獻(xiàn)[12]給出了包含初始條件的小阻尼簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)式，但未討論阻尼比為0且激勵(lì)頻率與固有頻率相等的情況. 文獻(xiàn)[12-13]給出了計(jì)算任意激勵(lì)響應(yīng)的杜哈米積分，但未討論庫(kù)侖摩擦力對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響. 文獻(xiàn)[14] 研究了單自由度含干摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為. 文獻(xiàn)[15]采用拉普拉斯變換和海維賽德第一類(lèi)展開(kāi)式，推導(dǎo)了有阻尼單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)通解. 文獻(xiàn)[16]考慮了具有非線性黏滯阻尼和庫(kù)侖摩擦的單自由度系統(tǒng)，描述了從系統(tǒng)的自由響應(yīng)信號(hào)中同時(shí)識(shí)別非線性阻尼和庫(kù)侖摩擦的方法. 文獻(xiàn)[17]討論了純庫(kù)侖摩擦力對(duì)自由振動(dòng)影響. 文獻(xiàn)[18]用相圖法就庫(kù)侖摩擦力對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響作了一些定性討論.文獻(xiàn)[19]提出了一種估算庫(kù)侖和黏滯摩擦的減量方法.文獻(xiàn)[20]提出了將單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)的封閉解作為動(dòng)力系統(tǒng)庫(kù)侖摩擦基礎(chǔ)研究的一部分.

上述研究對(duì)含初始條件的基于黏滯阻尼的單自由度振動(dòng)計(jì)算問(wèn)題研究不夠全面. 本文擬在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，對(duì)包含初始條件的基于黏滯阻尼的自由振動(dòng)響應(yīng)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)進(jìn)行研究，分析有阻尼共振和無(wú)阻尼共振，以及無(wú)阻尼振動(dòng)響應(yīng)中存在的拍振現(xiàn)象，探討庫(kù)侖摩擦力對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響等，以期豐富單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論的研究，為在工程中更好地應(yīng)用單自由度振動(dòng)系統(tǒng)提供支持.

1 黏滯阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)

對(duì)物體質(zhì)量為m、剛度為k、黏滯阻尼系數(shù)為c、激勵(lì)力為F(t)(作用方向?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)方向X)的質(zhì)量、彈簧、阻尼系統(tǒng)，有振動(dòng)方程[21]：

①

對(duì)于支座沿X方向以s=s(t)作激勵(lì)運(yùn)動(dòng)的情形，將上式中F(t)換為ks(t)即可，并稱其為等效激勵(lì)力. 激勵(lì)力為0的振動(dòng)即為自由振動(dòng)，可將式①轉(zhuǎn)化為

②

若ξ>1，λ1和λ2均為負(fù)數(shù)，位移x隨著時(shí)間t的增加從初始位置起迅速趨于0，或沿速度方向運(yùn)動(dòng)到極值點(diǎn)再迅速趨于0.

多數(shù)情況下，ξ<1. 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，虛指數(shù)函數(shù)的線性組合等于三角函數(shù)的線性組合，解表達(dá)式的實(shí)部和虛部均成為負(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積. 取其實(shí)部推得包含初始條件的小阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)x為

如果出現(xiàn)ξ=0的理想情況，系統(tǒng)就會(huì)按ωn為角頻率的簡(jiǎn)諧規(guī)律一直振動(dòng)，故ωn稱為固有頻率.

2 黏滯阻尼簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)

2.1 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及幅頻和相頻曲線

固定ξ，讓?duì)?ωn從0向無(wú)窮大變化，則有：ω/ωn=0時(shí)，β=1，H=F0/k，α=0；ω/ωn=1時(shí)，β=1/(2ξ) ，α=π/2；ω/ωn→∞時(shí)，β趨于0，α趨于π.

若ξ>0，隨著時(shí)間增長(zhǎng)，齊次微分方程的通解幅值以負(fù)指數(shù)規(guī)律趨于0，只剩下與激勵(lì)力頻率ω相同的穩(wěn)定簡(jiǎn)諧特解部分. 通常稱其為由激勵(lì)力引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

值得注意的是，在ω/ωn=1附近，ξ對(duì)β影響較大，對(duì)其他參數(shù)影響較小. 另外，若ξ較小，則當(dāng)ω/ωn=1時(shí)，β接近于最大值，而α仍不受ξ的影響，恒等于π/2. 這也是當(dāng)ω/ωn=1時(shí)發(fā)生共振的原因.

圖1是給定ξ后，β及α隨ω/ωn變化的幅頻曲線圖和相頻曲線圖. 從圖1可以看出，在ω/ωn=1附近，隨ξ減少，β顯著增加，且在ω/ωn=1時(shí)，α不受ξ的影響.

圖1 給定ξ后，β及α隨ω/ωn變化的 幅頻曲線和相頻曲線圖Fig.1 Amplitude frequency curve and phase frequency curve for β and α changing follow ω/ωn when ξ was given

2.2 包含初始條件的響應(yīng)計(jì)算

強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的通解等于強(qiáng)迫振動(dòng)方程特解與對(duì)應(yīng)的齊次微分方程通解之和. 再考慮初始條件，即得方程的完整響應(yīng)式. 阻尼比ξ≥1的情況較少見(jiàn)，在此不加討論.

情形1阻尼比1>ξ>0

當(dāng)阻尼比1>ξ>0時(shí)，響應(yīng)x由瞬態(tài)衰減項(xiàng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項(xiàng)組成.

令激勵(lì)力F=F0cosωt，則有：

令激勵(lì)力F=F0sinωt，則有：

令激勵(lì)力F=F0cos(ωt-φ)=F1cosωt+F2sinωt，其中F1=F0cosφ，F(xiàn)2=F0sinφ，則有：

該完整響應(yīng)式第一項(xiàng)為自由振動(dòng)項(xiàng),第二項(xiàng)為伴隨自由振動(dòng)項(xiàng),第三項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項(xiàng). 自由振動(dòng)項(xiàng)由初始條件x0和v0決定，隨著時(shí)間趨于0. 伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)與初始條件無(wú)關(guān)，也隨著時(shí)間趨于0. 將該式中的時(shí)間t換成t-t0,即可得到t=t0時(shí),位移為x0且速度為v0的響應(yīng)計(jì)算式.

情形2阻尼比ξ=0

當(dāng)阻尼比ξ=0時(shí)，響應(yīng)x由固有振動(dòng)項(xiàng)和激勵(lì)響應(yīng)項(xiàng)組成.

若ω<ωd，分別令激勵(lì)力F1=F0cosωt，F(xiàn)2=F0sinωt，F(xiàn)=F1cosωt+F2sinωt，則可以推導(dǎo)出：

其中β=1/[1-(ω/ωn)2].

若ω>ωd，則類(lèi)似可以推導(dǎo)出：

其中β=1/[(ω/ωn)2-1].

若ω=ωn,可以推導(dǎo)出：

2.3 共振曲線的過(guò)渡過(guò)程及拍振現(xiàn)象

由于簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)規(guī)律與激勵(lì)相角無(wú)關(guān)，因此只討論純余弦激勵(lì)的情況.

2.3.1 有阻尼共振曲線當(dāng)初始位移x0=0、速度v0=0時(shí)，令激勵(lì)力F=F0cosωnt，則共振響應(yīng)x為

其中，β=1/(2ξ)，α=π/2.

在阻尼比ξ較小的情況下，ωd≈ωn，x的響應(yīng)式可簡(jiǎn)化為

圖2給出了有阻尼共振響應(yīng)計(jì)算實(shí)例結(jié)果，其中m=0.1 kg，c=0.2 N·s/m，k=10 N/m，F(xiàn)0=10 N，ω=ωn=10 rad/s，β=5，x0=0 m，v0=0 m/s，a0=100 m/s2. 從圖2可以看出，振幅以負(fù)指數(shù)規(guī)律先以較快速度上升，然后緩慢上升到穩(wěn)態(tài)值.

圖2 有阻尼共振響應(yīng)曲線Fig.2 Damped resonance response curve

2.3.2 無(wú)阻尼共振曲線當(dāng)阻尼比ξ=0時(shí)，取初始位移、速度及激勵(lì)力與有阻尼的狀態(tài)相同，其共振響應(yīng)x為

圖3給出了一個(gè)相應(yīng)的計(jì)算實(shí)例結(jié)果，其中m=0.1 kg，c=0 N·s/m，k=10 N/m，F(xiàn)0=10 N，ω=ωn=10 rad/s，x0=0 m，v0=0 m/s，a0=100 m/s2. 從圖3可以看出，該理想響應(yīng)振幅以線性規(guī)律從0起一直上升.

圖3 無(wú)阻尼共振響應(yīng)曲線Fig.3 Undamped resonance response curve

2.3.3 無(wú)阻尼振動(dòng)的拍振現(xiàn)象取初始位移及速度均為0，令激勵(lì)力F=F0cosωt，激勵(lì)頻率ω接近于ωn，當(dāng)ω<ωn時(shí),振動(dòng)響應(yīng)x為

其中β=1/[1-(ω/ωn)2].

當(dāng)ω>ωn時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)x為

其中β=1/[(ω/ωn)2-1].

圖4 拍振曲線Fig.4 Beat vibration curve

3 庫(kù)侖摩擦力對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響

質(zhì)量塊在軌道上運(yùn)行時(shí)，通常存在庫(kù)侖摩擦力K，把振動(dòng)微分方程①中的F(t)換為激勵(lì)力F1(t)和速度反向庫(kù)侖摩擦力K的迭加，即可用杜哈米積分解析分析或用龍格-庫(kù)塔法數(shù)值計(jì)算出庫(kù)侖摩擦力對(duì)自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的影響.

3.1 庫(kù)侖摩擦力對(duì)自由振動(dòng)的影響

3.1.1 純庫(kù)侖摩擦力對(duì)自由振動(dòng)的影響通過(guò)大量的實(shí)例計(jì)算，并結(jié)合文獻(xiàn)[11]可知，純庫(kù)侖摩擦力作用下的自由振動(dòng)幅值以等差級(jí)數(shù)下降，幅值從極小到極大或從極大到極小均為以ωn為角頻率的余弦函數(shù)與常量之和，異側(cè)相鄰幅值下降量為摩擦力與剛度系數(shù)比值的2倍，同側(cè)相鄰幅值下降量為其4倍. 幅值下降到3倍以下后會(huì)進(jìn)入平衡位置附近而停止不動(dòng).

圖5給出一個(gè)用龍格-庫(kù)塔法計(jì)算的純庫(kù)侖摩擦力對(duì)自由振動(dòng)的影響實(shí)例，其中K=1.5 N，m=0.1 kg，k=10 N/m，c=0 N·s/m，F(xiàn)0=0 N，ωn=10 rad/s，x0=4 m，v0=4 m/s，F(xiàn)K=1.5 N. 從圖5可以看出，振動(dòng)幅值以等差級(jí)數(shù)下降的規(guī)律明顯.

圖5 純庫(kù)侖摩擦力對(duì)自由振動(dòng)的影響Fig.5 Effect of pure Coulomb friction on free vibration

3.2 庫(kù)侖摩擦力對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響

機(jī)械振動(dòng)曲線大多表現(xiàn)為方向不斷變化的振蕩曲線. 從負(fù)位移幅值處向正位移幅值處運(yùn)動(dòng)時(shí)，庫(kù)侖摩擦力為負(fù)常量；而從正位移幅值處向負(fù)位移幅值處運(yùn)動(dòng)時(shí)，庫(kù)侖摩擦力為正常量. 使得系統(tǒng)位移與無(wú)庫(kù)侖摩擦力位移有縮減差別量ε. 據(jù)此，利用和函數(shù)積分的迭加性，用杜哈米積分分段推出了由剛度系數(shù)k、固有頻率ωn、阻尼比ξ、負(fù)位移幅值時(shí)間t0和正位移幅值時(shí)間t1所決定的庫(kù)侖摩擦力K對(duì)位移差別的影響式為

把獲得的庫(kù)侖摩擦力K對(duì)位移差別的影響式和其他激勵(lì)力F1(t)引起的響應(yīng)式合并，即可得到系統(tǒng)的最終響應(yīng)式.

選取合適的時(shí)間步長(zhǎng)h，用數(shù)值算法得到庫(kù)侖摩擦力K=1.5 N對(duì)激勵(lì)力F1(t)=F0sinωt的強(qiáng)迫振動(dòng)影響曲線如圖6所示.

圖6 庫(kù)侖摩擦力對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響Fig.6 Effect of Coulomb friction on forced vibration

由圖6并結(jié)合庫(kù)侖摩擦力K對(duì)位移差別的影響式可知，振動(dòng)響應(yīng)加速度的絕對(duì)值在位移幅值處產(chǎn)生由大到小的不連續(xù)變化，其差值為庫(kù)侖摩擦力K與質(zhì)量m比值的2倍. 經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)顯示，區(qū)間內(nèi)消耗的能量等于位移行程與庫(kù)侖摩擦力的乘積.

當(dāng)初始位移、初始速度、激勵(lì)力幅值三者各小于一定值時(shí)，質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)到位移幅值處時(shí)，動(dòng)摩擦力消失，而靜摩擦力則由一個(gè)較小值自適應(yīng)漸變到K，然后質(zhì)量塊開(kāi)始返回，出現(xiàn)位移幅值處暫停現(xiàn)象. 開(kāi)始停歇時(shí)，加速度突變；停歇結(jié)束時(shí)，加速度連續(xù).

通過(guò)數(shù)值計(jì)算，結(jié)合文獻(xiàn)[12]的研究還發(fā)現(xiàn)，小庫(kù)侖摩擦力抑制不住無(wú)黏滯阻尼共振響應(yīng)不斷增長(zhǎng)的趨勢(shì)，接近于激勵(lì)力幅值F0的大庫(kù)侖摩擦力K才能使無(wú)黏滯阻尼共振響應(yīng)幅值不超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，并可能出現(xiàn)位移幅值處暫?，F(xiàn)象.

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)基于黏滯阻尼的單自由度振動(dòng)響應(yīng)及簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)的分析，得到了不同阻尼比狀態(tài)下的振動(dòng)位移的變化規(guī)律：在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的情況下，當(dāng)初始位移及速度均為0，無(wú)阻尼激勵(lì)頻率接近于固有頻率時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)將出現(xiàn)拍振現(xiàn)象；而小庫(kù)侖摩擦力抑制不住無(wú)黏滯阻尼共振響應(yīng)的不斷增長(zhǎng)趨勢(shì)；接近于激勵(lì)力幅值的大庫(kù)侖摩擦力才能使無(wú)黏滯阻尼共振響應(yīng)幅值不超過(guò)穩(wěn)態(tài)值，并可能出現(xiàn)位移幅值處暫停現(xiàn)象. 這些結(jié)論為進(jìn)行機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼與摩擦設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ).