劉家碩，辛麗平，孔曉涵

(青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，青島 266525)

盡管連續(xù)攪拌反應(yīng)釜(Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR)是化工生產(chǎn)過程中常用的一類化學(xué)反應(yīng)設(shè)備，廣泛應(yīng)用在生物、制藥等工業(yè)中，但因其具有復(fù)雜性、不確定性以及高度非線性的特點，當CSTR反應(yīng)系統(tǒng)受到外部干擾時，易偏離既定工作點；如果控制不當，會導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)溫度或者濃度過高；這不僅會威脅生產(chǎn)安全，還會直接影響產(chǎn)品的質(zhì)量和產(chǎn)量。因此，有必要設(shè)計合理的CSTR控制器來及時調(diào)控CSTR的溫度與濃度，這對于保障生產(chǎn)安全、提高生產(chǎn)效率、改善產(chǎn)品質(zhì)量具有重要意義[1]。

近年來，學(xué)術(shù)界針對串級CSTR的控制問題做了大量研究，為應(yīng)對串級CSTR的高度非線性并提高其控制器的性能，分別提出了反步法[2]、動態(tài)面[3]、模糊控制[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]等控制方法。但上述控制方法都是針對串級CSTR連續(xù)時間系統(tǒng)設(shè)計控制器的，并未應(yīng)用到串級CSTR離散時間系統(tǒng)中。雖然離散控制方法在應(yīng)對非線性問題方面會使控制器的設(shè)計過程變得相對復(fù)雜，但與連續(xù)控制方法相比，具有更好的穩(wěn)定性與可實現(xiàn)性[6]。因此，近年來離散控制取得了長足的發(fā)展：文獻[7]針對一類非線性純反饋離散時間系統(tǒng)設(shè)計了自適應(yīng)控制器，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近特性去逼近離散系統(tǒng)中的非線性函數(shù)，仿真結(jié)果驗證了該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻[8]針對一類具有三角形輸入的離散時間多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，基于反步技術(shù)開發(fā)了有效的輸出反饋自適應(yīng)控制器，但在構(gòu)造虛擬控制律時產(chǎn)生了未來的信號，如果不對其進行解決，在實際控制器設(shè)計過程中將會存在更多的未來信號，即呈現(xiàn)“非因果問題”[9]，這不利于控制器的實現(xiàn)，目前“非因果問題”的解決方法主要是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為預(yù)測器形式[10]，但這會給系統(tǒng)帶來一定的復(fù)雜性；文獻[11]針對內(nèi)置式永磁同步電機非線性離散時間系統(tǒng)設(shè)計了自適應(yīng)控制器，該控制器在設(shè)計過程中引入了遞推的方法，克服了系統(tǒng)中存在的“非因果問題”。雖然離散時間系統(tǒng)控制理論取得了長足發(fā)展，但離散時間控制在串級CSTR系統(tǒng)的應(yīng)用鮮有報告，因此本文開展基于反步法的串級CSTR的離散時間模糊自適應(yīng)控制研究。

本文基于歐拉法，對串級CSTR的數(shù)學(xué)模型進行離散化處理。通過利用反步技術(shù)與模糊自適應(yīng)控制相結(jié)合的方法，對串級CSTR離散時間系統(tǒng)的控制器進行設(shè)計；通過引入遞推的方法克服了系統(tǒng)中存在的“非因果問題”；采用模糊邏輯的近似特性去解決系統(tǒng)中存在的非線性函數(shù)；通過將自適應(yīng)參數(shù)減少到2個，減小了在線計算量；最后通過仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述和預(yù)備知識

1.1 串級CSTR系統(tǒng)描述

可循環(huán)的串級連續(xù)攪拌反應(yīng)釜的結(jié)構(gòu)如圖1所示，反應(yīng)器Ⅰ與反應(yīng)器Ⅱ相互串聯(lián)，反應(yīng)器內(nèi)發(fā)生了從A→B的不可逆放熱反應(yīng)，反應(yīng)器外圍帶有冷卻夾套，冷卻夾套內(nèi)可通入不同溫度的冷卻水以調(diào)控反應(yīng)器的溫度使其穩(wěn)定在參考恒定值。

圖1 串級連續(xù)攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

為了建立CSTR的數(shù)學(xué)模型,假設(shè)反應(yīng)器的體積V1=V2=V，冷卻套的體積Vj1=Vj2=Vj，反應(yīng)器的流速Q(mào)0=Q2=Q，Q1=Q+QR。

串級連續(xù)攪拌反應(yīng)釜的數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

為了簡化式(1)中的等式，令

此時,式(1)可以寫為

(2)

其中：

基于歐拉法，串級CSTR的離散時間動態(tài)數(shù)學(xué)模型可以寫為

(3)

(4)

式中：Δt為采樣周期。

本文的控制目標是為串級CSTR離散時間系統(tǒng)設(shè)計一個模糊自適應(yīng)控制器，使其輸出能夠收斂到一個近似為零的領(lǐng)域內(nèi)，并保證其閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號都是有界的。

1.2 模糊邏輯

系統(tǒng)中存在的復(fù)雜非線性函數(shù)會使控制器的設(shè)計變得困難，而模糊邏輯系統(tǒng)(FLS)對非線性函數(shù)具有良好的逼近能力，可使控制器的設(shè)計過程變得相對簡單。

引理1非線性連續(xù)函數(shù)f(k)將用以下模糊邏輯系統(tǒng)近似[12]

f(k)=WTS(z(k))+ε

2 控制器設(shè)計

基于反步法的串級CSTR的模糊自適應(yīng)離散控制器的設(shè)計步驟如下：

步驟1：將跟蹤誤差定義為e11(k)=x11(k)-x1d(k),x1d(k)=0為參考信號。

(5)

構(gòu)造虛擬控制律為

(6)

將式(6)代入式(5)可得：

(7)

式中：e12(k)=x12(k)-α11(k)。

(8)

在式(8)中，由于虛擬控制律α11(k+1)包含著未來的信息，如果繼續(xù)采用反步法去設(shè)計控制器，在控制器設(shè)計過程中將會存在更多的未來信號，即呈現(xiàn)“非因果問題”，這不利于控制器的實現(xiàn)，本文采用遞推的方法得到關(guān)于k的表達式來代替k+1，從而克服此問題。

定義非線性函數(shù)：

f12(k)=x12(k)-α11(k+1)

(9)

又由模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性，f12(k)還可以寫為

(10)

構(gòu)造實際控制律與自適應(yīng)律為

(11)

(12)

將式(9)—(11)代入式(8)并由楊氏不等式可得：

(13)

步驟3：將跟蹤誤差定義為e21(k)=x21(k)-x2d(k),x2d(k)=0為參考信號。

(14)

定義非線性函數(shù)：

f21(k)=x21(k)+(φ21(k)+Φx31(k))Δt

(15)

又由模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性，f21(k)還可以寫為

(16)

構(gòu)造虛擬控制律與自適應(yīng)律為

(17)

(18)

將式(15)—(17)代入式(14)并由楊氏不等式可得：

(19)

(20)

定義非線性函數(shù):

f22(k)=x22(k)+φ22(k)Δt-α21(k+1)

(21)

又由模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性，f22(k)還可以寫為

(22)

構(gòu)造實際控制律與自適應(yīng)律為

(23)

(24)

將式(21)—(23)代入式(20)并由楊氏不等式可得：

(25)

步驟 5：將跟蹤誤差定義為e31(k)=x31(k)-x3d(k),x3d(k)=0為參考信號。

(26)

定義非線性函數(shù)：

f31(k)=x31(k)+(φ31(k)+Ψw)Δt

(27)

又由模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性，f31(k)還可以寫為

(28)

構(gòu)造虛擬控制律與自適應(yīng)律為

(29)

(30)

將式(27)—(29)代入式(26)并由楊氏不等式可得：

(31)

(32)

定義非線性函數(shù):

f32(k)=x32(k)+φ32(k)Δt-α31(k+1)

(33)

又由模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性，f32(k)還可以寫為

(34)

構(gòu)造實際控制律與自適應(yīng)律為

(35)

(36)

將式(33)—(35)代入式(32)并由楊氏不等式可得：

(37)

3 穩(wěn)定性分析

選取新的Lyapunov函數(shù)來驗證該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

(38)

式中：γ12，γ21，γ22，γ31，γ32均為正常數(shù)。

則V(k)的一階差分為

(39)

(40)

(41)

將式(41)代入式(40)有：

(42)

將式(37)(42)代入式(39)，可以得到：

通過選取適當?shù)牟蓸又芷讦以及自適應(yīng)參數(shù)δij,γij(i=1,2,3;j=1,2,當i=1時j≠1)，使得以下不等式

那么只要保證：

就可以得到ΔV(k)<0，從而能夠得到

恒成立。從而能夠得到跟蹤誤差信號ei1(k)是有界的，其中μ是一個接近于零的正數(shù)。

4 仿真分析

4.1 參數(shù)選取

為了說明基于反步法的串級CSTR離散時間模糊自適應(yīng)控制方法的可行性，利用MATLAB 2018a進行仿真驗證，選取的模型參數(shù)見表1。

表1 串級連續(xù)攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)的模型參數(shù)

本文所選的模糊隸屬度函數(shù)為

將各狀態(tài)變量的初始值、自適應(yīng)參數(shù)以及其他參數(shù)值設(shè)置為

Δt=1 ms;ηij(0)=0(i=1,2,3;j=1,2.當i=1時,j≠1);

x11(0)=2,x12(0)=-2;x21(0)=5,x22(0)=-4;x31(0)=2,x32(0)=-4;

γ12=1.9,δ12=1.3;γ21=0.8,δ21=1.3;γ22=0.95,δ22=1.2;γ31=1.4,δ31=1.3;γ32=0.4,δ32=1.5。

4.2 仿真結(jié)果分析

圖2—4分別描述了串級CSTR離散時間系統(tǒng)的輸出信號、輸入信號、自適應(yīng)律的動態(tài)過程。由圖2可以看出，串級CSTR的輸出信號y可以較好地跟蹤參考信號yd。從圖3與圖4可以明顯的看出，串級CSTR的輸入u與自適應(yīng)律η是最終有界的，這表明所設(shè)計的控制器是有效可行的。

5 結(jié)論

本文基于反步法為串級連續(xù)攪拌反應(yīng)釜離散時間系統(tǒng)設(shè)計了模糊自適應(yīng)控制器。該方法利用模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性逼近系統(tǒng)中存在的非線性項，不僅減少了計算量，還解決了在控制器設(shè)計過程中存在的“非因果問題”；利用李雅普諾夫函數(shù)證明了閉環(huán)系統(tǒng)的有界性，使系統(tǒng)輸出能夠收斂到一個接近于零的領(lǐng)域內(nèi)。仿真實例驗證了該方法對于串級CSTR離散時間系統(tǒng)能夠達到良好的控制效果。

本文所提出的基于反步法的模糊自適應(yīng)離散時間控制方法，使得輸入信號u1波動范圍較大，如何減小其波動范圍，以實現(xiàn)對串級CSTR更好的控制，需要將來繼續(xù)深入探討。