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        遞推關(guān)系an+1=qan+p在概率中的應(yīng)用舉例

        2021-11-09 01:48:18江蘇郭建華

        江蘇 郭建華

        數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)的遞推關(guān)系an+1=qan+p(其中p,q為常數(shù),pq≠0,q≠1)是一種常用的數(shù)學(xué)模型.該模型在概率中也有著其獨(dú)特的用法,常常以選擇題的形式出現(xiàn),其綜合性強(qiáng),求解難度較大,重點(diǎn)考查化歸與轉(zhuǎn)化,分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想.對(duì)于選擇題,可以從選項(xiàng)的描述中獲取解題思路,也可以先從特殊化入手,再研究其一般情況,即先猜后證(利用數(shù)學(xué)歸納法證明),最后結(jié)合求數(shù)列的通項(xiàng)公式的手段和方法求解.

        下面,通過(guò)兩道多項(xiàng)選擇題談?wù)刟n+1=qan+p在概率中的應(yīng)用.

        1.摸球問(wèn)題

        【例1】甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋,重復(fù)n(n∈N*)次這樣的操作,記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn,恰有2個(gè)黑球的概率為pn,恰有1個(gè)黑球的概率為qn,則下列結(jié)論正確的是

        ( )

        B.?dāng)?shù)列{2pn+qn-1}是等比數(shù)列

        【解析】重復(fù)n次這樣的操作,記甲口袋的黑球個(gè)數(shù)為Xn,其取值為0,1,2,恰有2個(gè)黑球的概率為pn,恰有1個(gè)黑球的概率為qn,此時(shí),甲口袋的球?yàn)橐韵氯N情況之一,即2個(gè)黑球和1個(gè)白球,1個(gè)黑球和2個(gè)白球,3個(gè)白球和0個(gè)黑球,所對(duì)應(yīng)的概率分別為pn,qn,1-pn-qn.

        從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋為一次操作.

        (1)若重復(fù)(n+1)次這樣的操作,甲口袋中黑球個(gè)數(shù)Xn+1恰好為2,即甲口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,則重復(fù)n次這樣的操作時(shí),甲口袋中黑球的個(gè)數(shù)Xn為1或2,包含以下兩個(gè)互斥事件,即

        ①當(dāng)Xn=2時(shí),此時(shí),甲口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,乙口袋裝有3個(gè)白球,進(jìn)行一次操作(甲給乙一個(gè)白球,同時(shí)乙給甲一個(gè)白球)后Xn+1=2,于是甲口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,乙口袋裝有3個(gè)白球,其交換過(guò)程如圖所示:

        ②當(dāng)Xn=1時(shí),此時(shí),甲口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球,乙口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球,進(jìn)行一次操作(甲給乙一個(gè)白球,同時(shí)乙給甲一個(gè)黑球)后Xn+1=2,其交換過(guò)程如圖所示:

        (2)若重復(fù)(n+1)次這樣的操作,甲口袋中黑球個(gè)數(shù)Xn+1恰好為1,此時(shí),甲口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球,則重復(fù)n次這樣的操作時(shí),甲口袋中黑球的個(gè)數(shù)Xn為0,1或2,包含以下三個(gè)互斥事件,即

        Xn的概率分布為

        4月17日,青海省水利廳抗震救災(zāi)指揮部迅速部署啟動(dòng)了玉樹(shù)地震水利工程災(zāi)后重建規(guī)劃編制工作,要求重建規(guī)劃于5月1日前編制完成。

        Xn012P1-pn-qnqnpn

        【評(píng)注】四個(gè)選項(xiàng)的形式多樣,考查了概率和數(shù)列的重要知識(shí)點(diǎn),達(dá)到了交匯考查的目的.從選項(xiàng)中可以猜想pn與qn之間存在一定的聯(lián)系.如何厘清它們之間的關(guān)聯(lián),就要分析從第(n-1)次操作到第n次操作會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化.為了將抽象的問(wèn)題具體化,更易于學(xué)生理解,把從第(n-1)次的操作到第n次的操作過(guò)程采取思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn),即采取先一般化再研究特殊化的問(wèn)題探究方式.也可以從特殊化入手,尋找概率變化的規(guī)律,進(jìn)而猜想pn與qn的一般化形式,再結(jié)合概率的知識(shí)求解.另外,學(xué)生還要熟練掌握具有遞推關(guān)系an+1=qan+p(其中p,q為常數(shù),pq≠0,q≠1)的數(shù)列的通項(xiàng)的求法,再結(jié)合數(shù)列的知識(shí)求解.

        2.爬行問(wèn)題

        【例2】設(shè)一個(gè)正三棱柱ABC-A1B1C1,如圖,每條棱長(zhǎng)都相等,一只螞蟻從上底面ABC的某頂點(diǎn)出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn),算一次爬行.若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等,當(dāng)螞蟻爬行n次,仍然在上底面的概率記為Pn,則下列選項(xiàng)正確的是

        ( )

        【解析】若螞蟻爬行n次時(shí),仍然在上底面的概率記為Pn,則螞蟻爬行(n-1)次時(shí),仍然在上底面的概率記為Pn-1.Pn的大小決定于以下兩個(gè)互斥事件,即

        故選項(xiàng)A,C正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

        對(duì)于D選項(xiàng),用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

        故選ACD.

        3.總結(jié)

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