王曉明吳榮興 蔣 義 肖 衡

* (寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所,浙江寧波 315000)

? (寧波建工工程集團(tuán)有限公司,浙江寧波 315000)

** (暨南大學(xué)力學(xué)和建筑工程學(xué)院重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510632)

引言

經(jīng)過初始加載?卸載后的類橡膠材料再一次加載后,初始卸載應(yīng)力以下部分會(huì)將發(fā)生顯著的應(yīng)力軟化現(xiàn)象,該現(xiàn)象也被稱為Mullins 效應(yīng).隨著加載?卸載循環(huán)的進(jìn)行,應(yīng)力軟化現(xiàn)象逐漸變得顯著,并趨于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài),而應(yīng)力?應(yīng)變曲線也逐漸變化并發(fā)展到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)[1-3].天然橡膠和填充橡膠都有可能發(fā)生Mullins 效應(yīng),而填充物的種類和比重則會(huì)影響應(yīng)力軟化的程度.

過去幾十年來,為了從微觀尺度解釋Mullins 效應(yīng),研究人員們進(jìn)行了大量的理論研究.Bueche[4-5]認(rèn)為當(dāng)材料發(fā)生變形后,填充顆粒之間附著的部分橡膠鏈發(fā)生了斷裂和松弛,使得填充顆粒間的距離發(fā)生仿射變形,從宏觀上表現(xiàn)為應(yīng)力軟化現(xiàn)象;Lee和Williams[6]通過結(jié)構(gòu)重組以及化學(xué)鍵永久性斷裂來說明Mullins 效應(yīng)的產(chǎn)生原因;Mullins[3]列舉了兩種情況.對(duì)于天然橡膠,橡膠長(zhǎng)鏈分子之間在剪切過程中的解鏈和定向?qū)е铝藨?yīng)力軟化.對(duì)于填充橡膠,應(yīng)力軟化的發(fā)生則是因?yàn)樘畛漕w粒之間以及填充顆粒和橡膠分子之間的相互作用被斷開而導(dǎo)致.填充顆粒的存在使得應(yīng)力軟化效應(yīng)被進(jìn)一步增強(qiáng);以上觀點(diǎn)基本都認(rèn)為應(yīng)力軟化是因?yàn)橄鹉z分子和填充顆粒之間的相互作用而產(chǎn)生,而Harwood 等[7]提出了不同的見解,他們認(rèn)為橡膠微結(jié)構(gòu)中的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)致了分子網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的重組,從而產(chǎn)生了應(yīng)力軟化效應(yīng).除此之外,還有其他的微結(jié)構(gòu)理論[8-10]對(duì)Mullins 效應(yīng)的產(chǎn)生做了理論解釋.

在前面微結(jié)構(gòu)理論的基礎(chǔ)上,科研工作者們先構(gòu)造微觀尺度下的本構(gòu)關(guān)系,再通過一系列平均方法,建立宏觀尺度下的本構(gòu)模型.Blanchard 和Parkinson[11]提出了一個(gè)半經(jīng)驗(yàn)公式去描述填充硫化橡膠初始加載后的“應(yīng)力?伸長(zhǎng)比”關(guān)系,其中引入了二個(gè)微結(jié)構(gòu)相關(guān)的參數(shù),分別表示網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)數(shù)量和分子鏈?zhǔn)芟扪由炻?通過分析應(yīng)力軟化的特征,他們給出了網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)數(shù)量變化的公式,并最終得到匹配實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的“應(yīng)力?應(yīng)變”結(jié)果;Govindjee 和Simo[8]在Bueche[4-5]理論研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展,通過對(duì)統(tǒng)計(jì)代表樣本體積(SRSV)進(jìn)行宏觀平均,最終得到一個(gè)三維的本構(gòu)模型;Marckmann 等[9]發(fā)展了Arruda和Boyce[12]的八鏈理論,將該模型中的兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行改進(jìn),使他們依賴于分子鏈伸長(zhǎng)比的極限值,得到了能模擬應(yīng)力軟化效應(yīng)的新模型.

另一部分學(xué)者不考慮橡膠分子的內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu),從宏觀現(xiàn)象出發(fā)構(gòu)建唯象的本構(gòu)模型.Mullins和Tobin[13]將橡膠內(nèi)部區(qū)域分為兩大類,分別是“硬區(qū)”和“軟區(qū)”,材料的變形主要是在“軟區(qū)”產(chǎn)生,而“硬區(qū)”對(duì)變形幾乎沒有貢獻(xiàn).加載過程中“硬區(qū)”部分逐漸轉(zhuǎn)為“軟區(qū)”,卸載后重新加載,當(dāng)加載應(yīng)力達(dá)到初始卸載應(yīng)力以后,“轉(zhuǎn)化”過程才會(huì)繼續(xù).此外,為了模擬填充橡膠的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系,Mullins 和Tobin[14]又引入了應(yīng)變放大因子;文獻(xiàn)[15-17]在前面研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化和完善;Simo[18]另辟蹊徑,在基于變形梯度的彈性勢(shì)中加入了一個(gè)表征損傷的量,用來解釋類橡膠材料應(yīng)力軟化過程中出現(xiàn)的分子鏈破壞,微結(jié)構(gòu)損傷.在此基礎(chǔ)上,根據(jù)引入量演化方程的不同,提出了各種不同的結(jié)果[19-22];Ogden 和Roxburgh[23]在偽彈性模型的基礎(chǔ)上只引入了一個(gè)變量去表示理想化的應(yīng)力軟化效應(yīng).

Mullins 效應(yīng)通常伴隨著不可恢復(fù)變形的產(chǎn)生[3](隨著時(shí)間的流逝會(huì)慢慢變小,在退火后靜置足夠長(zhǎng)時(shí)間基本消失),其大小和橡膠中的填充物含量百分比以及加載應(yīng)力大小均有關(guān)系[24-25].通過大量實(shí)驗(yàn)證明,應(yīng)力軟化會(huì)使得材料性質(zhì)變成各向異性,先前伸長(zhǎng)過的方向上應(yīng)力軟化會(huì)更加明顯[1-3,26].各向異性特征也會(huì)直接導(dǎo)致材料發(fā)生不可恢復(fù)變形.為了模擬Mullins 效應(yīng)產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形和各向異性特征,Dorfmann 和Ogden[27]在偽彈性理論[23]的基礎(chǔ)上額外引入了一個(gè)表征殘余應(yīng)變的量,可以模擬單軸拉伸?壓縮循環(huán)加載下產(chǎn)生的應(yīng)力軟化和不可恢復(fù)變形.他們的模型可以證明材料循環(huán)加載下發(fā)生了各向異性,但是無法通過模型進(jìn)行量化模擬;G?ktepe 和Miehe[10]將分子內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分解成CC (crosslink-to-crosslink)結(jié)構(gòu)和PP (particle-toparticle)結(jié)構(gòu).Mullins 效應(yīng)引起的結(jié)構(gòu)損傷和各向異性主要發(fā)生在PP 結(jié)構(gòu)中,且會(huì)自然而然地使得模型產(chǎn)生不可恢復(fù)變形;Diani 等[26]根據(jù)Marckmann 等[9]的方法,定義了不同方向上的耗散,然后將其引入到Pawelski[28]的本構(gòu)法則中,構(gòu)建了新的本構(gòu)模型.他們的方法可以預(yù)測(cè)應(yīng)力軟化、殘余變形以及各向異性特征;談炳東等[29-30]根據(jù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論,提出了各向異性超彈性本構(gòu)模型,并能很好地預(yù)測(cè)0°～ 45°各向異性力學(xué)性能.

關(guān)于Mullins 效應(yīng)產(chǎn)生不可恢復(fù)變形和各向異性特征的最新研究成果主要是在經(jīng)典的模型上進(jìn)行改進(jìn)[31-34].以上提到的模型盡管可以模擬Mullins 效應(yīng)引起的不可恢復(fù)變形和各向異性特征,但是都存在著不足.微結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)往往需要迭代求解,計(jì)算量大;唯象模型則需要引入沒有物理意義的隱式參數(shù).近幾年來,Xiao 等[35-36]和Wang 等[37]用顯式的方法提出了類橡膠材料的多軸彈性勢(shì),可以精確匹配4 個(gè)基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn),同時(shí)預(yù)測(cè)非等雙軸拉伸的變形趨勢(shì).王曉明等[38]在此基礎(chǔ)上引入了耗散量,并通過分析應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系,給出耗散表達(dá),最終使得模型可以模擬理想的Mullins 效應(yīng)滯回圈.通過進(jìn)一步改造形函數(shù)的表達(dá),該方法還能模擬類橡膠材料過載破壞的情況[39].在彈性勢(shì)中加入溫度的項(xiàng),可以模擬形狀記憶聚合物的熱力學(xué)行為[40].

本文以前面的研究為基礎(chǔ),在形函數(shù)中新引入表征不可恢復(fù)變形大小和各向異性特征的兩個(gè)變量,以上兩個(gè)量均依賴于依賴耗散大小.其中,不可恢復(fù)變形量隨著耗散的增大而增大,直到趨于穩(wěn)定;各向異性特征量在應(yīng)力軟化之前不起任何作用(材料各向同性),一旦在某一方向發(fā)生Mullins 效應(yīng),其值將發(fā)生變化,在任意其他方向加載?卸載后的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系將和初始加載方向上的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系發(fā)生明顯的偏離(引入各向異性),在達(dá)到相同的變形情況下,應(yīng)力值小于初始方向的應(yīng)力值.當(dāng)加載方向和初始加載方向呈90°時(shí),這樣的差異最為明顯.

1 考慮耗散的多軸可壓縮彈性勢(shì)

類橡膠材料本構(gòu)模型的建立,通常需要提出合適的彈性勢(shì).本章通過以下4 個(gè)步驟構(gòu)造彈性勢(shì):首先,通過對(duì)數(shù)應(yīng)變張量和耗散標(biāo)量構(gòu)造彈性勢(shì);其次,通過對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量構(gòu)造3 個(gè)不變量,并將它們引入彈性勢(shì),使其多軸可壓縮且能匹配多個(gè)變形模式;再次,將3 種變形模式下考慮耗散的單軸形函數(shù)積分得到各自的單軸彈性勢(shì);最后,通過Hermite 插值方法,利用3 個(gè)不變量和單軸彈性勢(shì),構(gòu)造考慮耗散的多軸可壓縮彈性勢(shì).

1.1 基于對(duì)數(shù)應(yīng)變的耗散彈性勢(shì)

理想的超彈性模型沒有能量的耗散,而Mullins效應(yīng)的存在表明材料在加載?卸載過程中出現(xiàn)了能量的損耗.為了使模型具備模擬應(yīng)力軟化的功能,需要引入一個(gè)標(biāo)量 κ 來表示耗散.此外,相比于其他模式的應(yīng)變張量,基于對(duì)數(shù)應(yīng)變h的彈性勢(shì)W推導(dǎo)得到應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的過程更加簡(jiǎn)單和直接[41]

式中,W,J,τ,σ 分別表示彈性勢(shì)、體積比、基爾霍夫應(yīng)力以及柯西應(yīng)力.

對(duì)數(shù)應(yīng)變與變形梯度的關(guān)系為

其中B=F·FT,也稱為左柯西?格林張量.方程(2)中,λi,ni,i=1,2,3,是材料伸長(zhǎng)比(特征值)和特征向量.方程(1)中的彈性勢(shì)W是對(duì)數(shù)應(yīng)變張量和耗散標(biāo)量的函數(shù)

1.2 基于對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量的不變量

基于對(duì)數(shù)應(yīng)變張量的3 個(gè)基本不變量表達(dá)為

其中s=1,2,3.對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量的表達(dá)為

根據(jù)方程(5),當(dāng)trh=0 時(shí),i1=0,表示變形前后體積變化忽略不計(jì)(材料不可壓縮),使得h=h?.本文考慮可壓縮情況,所以對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量和對(duì)數(shù)應(yīng)變可以不相等.

類似于方程(4)的表達(dá),基于對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量的3 個(gè)基本不變量為

其中s=1,2,3.新的3 個(gè)基本不變量和初始的3 個(gè)基本不變量之間存在著以下關(guān)系

從以上3 個(gè)基本不變量出發(fā)構(gòu)造3 個(gè)新的不變量.第1 個(gè)不變量稱為壓縮不變量,用 γ1表示,能控制材料是否可壓縮的條件.當(dāng)材料不可壓縮,其值為0,當(dāng)材料可壓縮,其值不為0;第2 個(gè)稱為橋聯(lián)不變量,用 γ2表示,能實(shí)現(xiàn)模型的多軸擴(kuò)展.在單軸情況下會(huì)自動(dòng)退化到相應(yīng)的對(duì)數(shù)應(yīng)變;第3 個(gè)不變量稱為匹配不變量,用 γ3表示,能將3 種不同變形模式(單軸拉伸和壓縮、等雙軸拉伸和壓縮、以及平面應(yīng)變)整合到一個(gè)統(tǒng)一的模型當(dāng)中.通過分析我們可以得到滿足條件的3 個(gè)不變量表達(dá)為

1.3 帶有耗散的單軸彈性勢(shì)

理想情況下加載?卸載循環(huán)作用下的應(yīng)力?應(yīng)變曲線都是重合的,引入了耗散也就意味著每一次循環(huán)都會(huì)發(fā)生能量損耗,應(yīng)力?應(yīng)變曲線隨著循環(huán)的進(jìn)行而逐漸變化,因此其形函數(shù)的給定必須考慮耗散.

單軸拉伸壓縮變形模式下,假設(shè)受力方向應(yīng)力為 τu,對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)閔,耗散用 κ 表示,則應(yīng)力?應(yīng)變形函數(shù)可以表示為

對(duì)方程(9)積分,就可以得到單軸拉伸情況下的彈性勢(shì)

等雙軸拉伸的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系可以通過單軸實(shí)驗(yàn)的關(guān)系推導(dǎo)出來(參考文獻(xiàn)[35]中的Theorem A),再通過積分可以得到其彈性勢(shì).

平面應(yīng)變是對(duì)一個(gè)長(zhǎng)條形橡膠塊(z方向比x和y方向尺寸大很多),在z方向進(jìn)行固定,x方向和y方向,一端拉伸,另一端自由.假設(shè)加載方向應(yīng)力為 τP,對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)閔,固定方向應(yīng)力為 τpf,我們給定其兩個(gè)方向的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系為

在該變形模式下,只有在載荷方向做功,因此我們得到應(yīng)變能彈性勢(shì)為

1.4 統(tǒng)一彈性勢(shì)

方程(3)給定的彈性勢(shì)依賴于對(duì)數(shù)應(yīng)變張量和耗散,其中前者可以通過1.2 節(jié)中給定的3 個(gè)不變量來替換,即

將方程(13)代入到方程(1),得到

式中是對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量,I是單位二階張量.張量I,,之間相互正交

可以作為對(duì)數(shù)應(yīng)變張量的3 個(gè)基.

接下來利用Hermite 插值方法,我們可以得到多軸可壓縮彈性勢(shì)為

其中Z+和Z?表達(dá)為

Y+,Y?分別等于,形式為

式中 υ 表示泊松比,等于側(cè)向應(yīng)變hl比上受力方向應(yīng)變h的相反數(shù)

當(dāng)材料變形前后體積不變,hl=?0.5h,從式(20)可以得到泊松比 υ=0.5.

從式(17)出發(fā),可以得到單軸實(shí)驗(yàn)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為方程(9),平面應(yīng)變下的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系為方程(11),而等雙軸下的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系[38]為

2 新的形函數(shù)

本節(jié)首先通過應(yīng)變?應(yīng)力圖中面積所代表的能量關(guān)系推導(dǎo)出耗散 κ 的顯式表達(dá);其次,隨著耗散的增加,分析不可恢復(fù)變形大小的演變規(guī)律以及各向異性引入對(duì)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的影響,分別通過hP(κ)和 φ(κ) 來表示不可恢復(fù)變形大小以及各向異性對(duì)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的影響程度;最后,利用耗散 κ,不可恢復(fù)變形大小hP(κ),以及各向異性影響項(xiàng) φ(κ),結(jié)合球坐標(biāo),構(gòu)造新的形函數(shù)表達(dá)形式.

2.1 耗散表達(dá)

如圖1 所示,橡膠材料在初始加載下,應(yīng)力?應(yīng)變沿著(a)前進(jìn),在達(dá)到P1點(diǎn)后開始卸載,卸載路徑沿著(b)運(yùn)行,最后產(chǎn)生不可恢復(fù)變形hP1,完成一個(gè)循環(huán),產(chǎn)生的能量耗散可以用圖1 中(1)的面積來表示;再次加載后,初始卸載應(yīng)力點(diǎn)以下的部分發(fā)生明顯的應(yīng)力軟化,而之后這樣的軟化就不是很明顯[1-3].因此,第2 次加載路徑應(yīng)該是從(b)變成(c),到達(dá)P2點(diǎn)后再次卸載,卸載路徑沿著(d)走(此時(shí)軟化現(xiàn)象更加嚴(yán)重,卸載曲線和初始加載曲線之間的偏離更加嚴(yán)重),最后產(chǎn)生不可恢復(fù)變形hP2,產(chǎn)生的能量耗散可以用圖中(2)的面積來表示;第3 次循環(huán)的路徑可以通過類似的規(guī)律推導(dǎo).

圖1 Mullins 效應(yīng)產(chǎn)生不可恢復(fù)變形示意圖Fig.1 Schematic of Mullins effects with permanent set

通過大量應(yīng)力軟化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,循環(huán)加載?卸載作用下能量耗散的變化規(guī)律有以下3 點(diǎn):(1)隨著循環(huán)加載?卸載的進(jìn)行,能量耗散逐漸累積;(2)從單個(gè)加載?卸載循環(huán)來看,能量耗散最小的情況是加載和卸載路徑重合(不產(chǎn)生應(yīng)力軟化),κ=0;(3)從單個(gè)加載?卸載循環(huán)來看,能量損耗最大的情況是卸載曲線極度彎曲(應(yīng)力軟化最大化),κ=κm.其中

滯回圈面積大小無法超過 κm,因此

耗散隨著卸載應(yīng)力 τm的變化規(guī)律可以通過雙曲正切函數(shù)得到

式中,τr和 α1是可調(diào)參數(shù).當(dāng) τm=τr時(shí),;參數(shù)α表示 κ隨著 τm變化的速度.

2.2 不可恢復(fù)變形和各向異性

耗散的引入會(huì)產(chǎn)生不可恢復(fù)變形以及各向異性特征.本節(jié)討論不可恢復(fù)變形以及各向異性特征隨著耗散累積的變化規(guī)律,分別通過hP(κ) 和 φ(κ) 來表征不可恢復(fù)變形大小和各向異性對(duì)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的影響程度.

2.2.1 不可恢復(fù)變形

在保持最大應(yīng)變的情況下,不可恢復(fù)變形的變化規(guī)律如下[27]:(1)不可恢復(fù)變形量隨著循環(huán)的進(jìn)行會(huì)逐漸變大;(2)第一個(gè)循環(huán)前后產(chǎn)生的變形最大,后面依次減少;(3)在循環(huán)次數(shù)足夠多的情況下,不可恢復(fù)變形不再變化,達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值.假設(shè)有n次循環(huán),hPi表示每一次產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形,i=1,2,···,n.則有

耗散的引入導(dǎo)致了不可恢復(fù)變形的產(chǎn)生.因此,假設(shè)

hP隨著耗散的增大而增大,直到趨于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值.p1和p2是可調(diào)參數(shù).

2.2.2 各向異性

如圖2 所示,假設(shè)六面體橡膠塊初始情況下為各向同性.從任意方向加載,其性質(zhì)都是一樣的.一旦在某一方向(比如x軸方向)加載然后卸載,Mullins 效應(yīng)的產(chǎn)生將導(dǎo)致材料引入了各向異性特征,此時(shí),再沿著初始方向(x軸方向)加載?卸載的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系將和沿著其他方向(比如y軸或者z軸)的發(fā)生明顯的差異.

圖2 六面體橡膠塊三維受力示意圖Fig.2 Schematic of hexahedral rubber block with three-dimensional force

為了證明并量化Mullins 效應(yīng)引入的各向異性性質(zhì).Diani 等[26]做了相關(guān)實(shí)驗(yàn).首先,將A 和B 兩塊相同的橡膠六面體同時(shí)在x軸方向進(jìn)行同樣的拉伸加載,然后卸載.此時(shí)兩塊試樣均發(fā)生了Mullins 效應(yīng)且都產(chǎn)生了相同的不可恢復(fù)變形.接下來,對(duì)A 進(jìn)行x軸方向的拉伸加載和卸載,對(duì)B 進(jìn)行y軸方向(垂直于初始方向)的拉伸加載和卸載.將兩塊試樣的第2 個(gè)循環(huán)的應(yīng)力?應(yīng)變曲線(Mullins 效應(yīng)已經(jīng)飽和)進(jìn)行比較,結(jié)果如圖3 所示,其中,應(yīng)變類型采用對(duì)數(shù)應(yīng)變.從圖3 可以得到二個(gè)結(jié)論:(1) A 和B兩塊試樣的應(yīng)力?應(yīng)變曲線不重合且有明顯的差異,說明Mullins 效應(yīng)確實(shí)引入了各向異性特征;(2) A的曲線明顯高于B 曲線(同樣應(yīng)變情況下,A 的應(yīng)力更大),說明B 的應(yīng)力軟化更加嚴(yán)重.假設(shè)在x軸上的應(yīng)力?應(yīng)變形函數(shù)為f(h,κ),那么與其垂直方向加載?卸載的形函數(shù)為(h,κ)=φ(κ)f(h,κ),其中 φ(κ) 表征了各向異性程度,其滿足以下條件

圖3 Diani 等[26]證明引入各向異性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.3 An experimental evidence of induced anisotropy by Diani et al.[26]

式(29)表示如果沒有發(fā)生耗散(κ=0),那么垂直方向的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系和初始方向一致,材料沒有發(fā)生各向異性特征;如果耗散很大,那么材料發(fā)生極度的各向異性,垂直方向幾乎沒有抵抗變形的能力.基于以上條件,可以假設(shè) φ(κ) 的形式為

式中,α2和 κr是可調(diào)參數(shù).在初始方向和垂直方向中間的形函數(shù),其各向異性特征項(xiàng)的值理論上介于0～1 之間.

2.3 統(tǒng)一形函數(shù)構(gòu)造

首先給出各向同性的形函數(shù)形式;然后利用球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和2.2.2 節(jié)中給定的各向異性項(xiàng) φ(κ) 進(jìn)行擴(kuò)展,得到能模擬各向異性特征的形函數(shù);最后,在單軸情況下,利用有理插值的方法給定帶有不可恢復(fù)變形hP(κ) 的形函數(shù)表達(dá).將結(jié)果代入到前面的各向異性形函數(shù),從而構(gòu)造統(tǒng)一的形函數(shù)形式.

2.3.1 各向同性的形函數(shù)

形函數(shù)分為加載曲線和卸載曲線,如圖1 所示.初始加載曲線沿著路徑(a)前進(jìn),P1點(diǎn)卸載以后發(fā)生應(yīng)力軟化(耗散的產(chǎn)生).重新加載直到上一次卸載應(yīng)力之前的部分將沿著上一次卸載曲線路徑(b)行走.一旦應(yīng)力超過P1點(diǎn)應(yīng)力,應(yīng)力軟化降低,應(yīng)力?應(yīng)變曲線沿著(c)前進(jìn).再次在P2點(diǎn)卸載后重新加載,將沿著從(d)到(e)的方向前進(jìn);卸載曲線的變化和耗散緊密相關(guān),耗散越大,軟化越嚴(yán)重,和同一滯回圈內(nèi)的加載曲線偏離就越大.滿足以上條件的形函數(shù)構(gòu)造形式如下

式中 τm表示上一次卸載應(yīng)力,α3是可調(diào)參數(shù),表示應(yīng)變率.參數(shù) χ和 π 具有如下性質(zhì)

下面分析加載曲線和卸載曲線.初次加載時(shí),將κ=0,χ=1,π=1 代入到方程(31),得到加載曲線方程為

有了加載歷史以后,χ=1不變,κ>0,加載曲線方程變?yōu)?/p>

然后分析卸載曲線,此時(shí) χ=?1,κ>0,得到曲線方程為

2.3.2 各向異性的形函數(shù)

方程(31)得到的各向同性形函數(shù)還需要進(jìn)一步改進(jìn),使其能夠產(chǎn)生各向異性性質(zhì).改進(jìn)形式為

如圖4 所示,r表示受力方向,φ 表示受力方向在x軸和y軸組成的平面投影和x軸的夾角,θ 表示受力方向和z軸的夾角.假設(shè)初始受力方向?yàn)閤軸,φ(κ)表示與其垂直的y軸方向各向異性程度,而φ′(κ)表示與其垂直的z軸方向各向異性程度,他們均可用方程(30)的形式給出.

圖4 任意方向受力的球坐標(biāo)示意圖Fig.4 Schematic of loading in arbitrary direction by Spherical coordinate system

在初始x軸方向加載?卸載的基礎(chǔ)上,如果繼續(xù)在同樣的方向進(jìn)行加載,那么r方向和x軸重合,此時(shí) φ=0°,θ=90°,得到

如果再次加載方向?yàn)閥軸,則 φ=90°,θ=90°,得到

如果再次加載方向?yàn)閦 軸,則 φ=90°,θ=0°,得到

2.3.3 兩個(gè)基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)下的單軸形函數(shù)

本節(jié)需要給出方程(31)中函數(shù)fˉ(κ) 和f?(h,κ) 具體形式,然后代入到方程(38),得到統(tǒng)一的形函數(shù)表達(dá).(κ) 和(h,κ) 表示的是單軸情況下基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)形函數(shù),可以通過有理插值的方法給出.對(duì)于單軸拉伸?壓縮變形模式下的形函數(shù)給定為

關(guān)于以上兩個(gè)函數(shù)具備的性質(zhì)在前面的研究工作[38]中已經(jīng)闡明.其中方程(43) 中的E(κ),h1(κ),h2(κ)和 α(κ) 是依賴耗散的函數(shù),當(dāng)耗散 κ=0,他們的初始值即為方程(42)中的E0,h10,h20和 α0.和前面研究不一樣的地方在于本文的方程中加入了依賴耗散的不可恢復(fù)變形hP(κ);等雙軸實(shí)驗(yàn)的形函數(shù)結(jié)合方程(21)和(38)得到平面應(yīng)變情況下的形函數(shù)形式,其加載方向?yàn)?/p>

固定方向?yàn)?/p>

式中hq(κ),αq(κ) 和 αqf(κ) 是依賴耗散 κ 的函數(shù),他們的初始值分別為hq0,αq0和 αqf0.

3 數(shù)值模擬

第2 節(jié)構(gòu)造的形函數(shù)代入到第1 節(jié)的本構(gòu)方程中,能夠自動(dòng)得到對(duì)應(yīng)變形模式的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系.3 個(gè)基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)和Mullins 效應(yīng)產(chǎn)生的理想滯回圈數(shù)據(jù)都能精確匹配[38].本文重新優(yōu)化了形函數(shù),加入了考慮不可恢復(fù)變形和各向異性的項(xiàng),本章給出模型結(jié)果和經(jīng)典實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比.

3.1 不可恢復(fù)變形實(shí)驗(yàn)?zāi)M

單軸情況下對(duì)數(shù)應(yīng)變h=lnλ,代入到方程(42)和(43),再結(jié)合方程(31)和(38),即可得到單軸拉伸?壓縮情況下的應(yīng)力?應(yīng)變形函數(shù).

Diani 等[26]做了單軸拉伸加載?卸載循環(huán)實(shí)驗(yàn).分別保持伸長(zhǎng)比 λ 為1.5,2,2.5 和3 不變,進(jìn)行10 次加載?卸載,產(chǎn)生了相應(yīng)的4 個(gè)穩(wěn)定的不可恢復(fù)變形.

為了得到模型結(jié)果,給出方程(43) 中的E(κ)(MPa),h1(κ),h2(κ) 和 α(κ) 的具體表達(dá)為

通過方程(46)～ 式(49)得到,當(dāng) κ=0 時(shí)初始值(方程(42)中的參數(shù))分別為E0=10 MPa,h10=1.4,h20=10和 α0=0.16.

方程(28)中,取p1=0.25,p2=0.27.方程(24)中控制耗散變化規(guī)律的兩個(gè)參數(shù) τr和α1分別給定為10.15 MPa 和0.056.實(shí)驗(yàn)中的4 次卸載應(yīng)力分別為4.49 MPa,7.68 MPa,11.23 MPa 和15.98 MPa.再根據(jù)方程(42)確定 κm的大小分別為1.01,2.51,4.68和7.05,由此可以確定耗散功大小.將耗散代入到方程(46)～ 式(49)確定每一次循環(huán)參數(shù)值,方程(32)中的 α3=100.最后根據(jù)方程(31)計(jì)算每一次循環(huán)的加載曲線和卸載曲線.與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖5所示.

圖5 模型結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[26]對(duì)比圖.橫坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)應(yīng)變,縱坐標(biāo)表示基爾霍夫應(yīng)力Fig.5 Comparison between model result and the experimental data[26].“x”axis represents the Hencky strain,and“y”axis represents the Kirchhoff stress

實(shí)線表示模型模擬的結(jié)果,其中黑線表示第1 次加載路徑,紅色表示第1 次卸載然后再次加載的路徑,藍(lán)色表示第2 次卸載然后再次加載的路徑,洋紅色表示第3 次卸載然后再次加載的路徑,褐色表示第4 次卸載然后再次加載的路徑,紫色表示第5 次卸載然后再次加載的路徑.空心圓點(diǎn)表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).從圖中可以看出模型可以精確模擬和匹配前四次加載?卸載的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),而對(duì)于第5 次卸載(假設(shè)卸載應(yīng)力為21.08 MPa,塑性功為9.17)的曲線,能夠進(jìn)行合理的預(yù)測(cè).

3.2 引入各向異性實(shí)驗(yàn)?zāi)M

為了證明Mullins 效應(yīng)會(huì)引入各向異性特征,Diani 等[26]做了相關(guān)實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖3 所示.假設(shè)方程(38)中的 φ(κ) 和φ′(κ) 的形式一致,都通過方程(30)來確定,其中參數(shù) α2=0.52,κr=3.11.初次加載到λ=2,對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)閘 nλ=0.6931,通過前面的方法可得耗散為2.51.代入到方程(30) 得到 φ(κ)=0.65,φ′(κ)=0.65.假設(shè)初始加載方向?yàn)閤軸,后面再次加載分別在x軸和y軸,通過方程(38)可以得到模型結(jié)果,和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖6 所示.

圖6 Diani 等[26]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison between experimental data of Diani et al.[26] and model result

黑色圓點(diǎn)和空心圓點(diǎn)分別表示x方向和y方向的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),黑色實(shí)線和紅色實(shí)線分別表示x方向和y方向的模型結(jié)果.從圖6 可以看出,模型結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以精確匹配.

除了匹配實(shí)驗(yàn)結(jié)果,模型還能預(yù)測(cè)其他方向受力的應(yīng)力?應(yīng)變滯回圈關(guān)系.在 φ(κ) 和 φ′(κ) 形式一致的前提下,方程(38)轉(zhuǎn)化為

在 φ=0°,30°,60°和90°的情況下,結(jié)果對(duì)比如圖7所示.其中 φ=0°和90°分別表示x方向和y方向,圖6結(jié)果證明這兩個(gè)方向受力得到的模型結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以精確匹配.而 φ=30°和 60°方向上的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系可以通過模型進(jìn)行合理的預(yù)測(cè).

圖7 不同方向上模型結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of model results in different directions

4 結(jié)論

本文在前面研究[38]的基礎(chǔ)上,改進(jìn)了形函數(shù)的構(gòu)造形式,其中加入了依賴耗散的不可恢復(fù)變形項(xiàng)和控制各向異性的項(xiàng).通過圖5～ 圖7 的結(jié)果,模型結(jié)果不僅可以精確匹配實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),同時(shí)可以對(duì)結(jié)果做合理的預(yù)測(cè).從而證明新的模型可以模擬Mullins效應(yīng)產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形以及由此引入各向異性特征.

本文創(chuàng)新點(diǎn)在于以下3 點(diǎn):(1) 改進(jìn)了加載?卸載形函數(shù)的統(tǒng)一模式(方程(31)),引入了新的量 π,實(shí)現(xiàn)了加載曲線從應(yīng)力顯著軟化(τ<τm)到不顯著軟化(τ>τm)的平滑過度;(2)形函數(shù)中引入了不可恢復(fù)變形部分hP,并給出其具體形式,且符合2.2 節(jié)給出的3 個(gè)條件,最后能精確匹配和預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖5);(3)通過球坐標(biāo)構(gòu)建了任意方向受力的形函數(shù)改進(jìn)形式(方程(38)),并在其中加入了控制各向異性的項(xiàng) φ(κ) 和 φ′(κ) 及其具體表達(dá)(方程(30)).引入的各向異性滿足2.2.2 節(jié)中提出的條件且能精確匹配和預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖6).