白文慧，張 超,2，陳煒哲，李德玉,2，上官學奎，馬瑾男

(1.山西大學 計算機與信息技術學院，太原 030006；2.計算智能與中文信息處理教育部重點實驗室(山西大學)，太原 030006；3.山西省信息產(chǎn)業(yè)技術研究院有限公司，太原 030012)

0 引 言

當前，許多復雜決策問題的高效求解涉及相互聯(lián)系或相互制約的屬性，需要決策者針對有限個方案從多個屬性的視角進行分析并選擇最優(yōu)方案，從而形成了多屬性決策[1-2]。此外，在許多重要決策過程中，為了體現(xiàn)科學化與民主化，通常要求一個群體來參與決策，該群體通過商議、協(xié)調或談判來得出決策結論，這類由多個決策者參與的形式即為群決策[3]。多屬性群決策是多屬性決策與群決策的交叉研究方向，結合多個決策者給出的方案偏好信息，將其集成為群體偏好信息，并利用所構建的理論對各方案進行擇優(yōu)[4]。近年來，多屬性群決策已成為現(xiàn)代決策領域的研究熱點，有力推動了社會經(jīng)濟的快速發(fā)展。

q-RO模糊集由Yager[5]首先提出，該類模糊集由隸屬度μ與非隸屬度ν構成，且滿足μq+νq≤1。此外，當q=1時，q-RO模糊集退化為直覺模糊集[6]；當q=2時，q-RO模糊集退化為勾股模糊集[7]。顯然，q-RO模糊集為直覺模糊集與勾股模糊集的拓展形式。例如，某決策者針對一個備選方案在某一屬性下的評估值為(0.7,0.8)，不難發(fā)現(xiàn)0.7+0.8=1.5>1，0.72+0.82=1.13>1，0.73+0.83=0.855<1成立。因此，直覺模糊集與勾股模糊集無法有效表示上述評估值，但q-RO模糊集的引入擴大了決策信息的表示范圍，可合理描述評估值(0.7,0.8)。學者們考慮到q-RO模糊集在信息表示范圍方面的優(yōu)勢，逐漸關注并發(fā)展了q-RO模糊多屬性群決策問題，并取得了豐碩的研究成果[8-10]。

在決策信息融合與分析中，多粒度概率粗糙集可同時體現(xiàn)多粒度粗糙集[11-12]與概率粗糙集[13-14]的特點和優(yōu)勢。一方面，在樂觀、悲觀、可調節(jié)等不同多粒度計算模型[15-17]的支持下，多粒度粗糙集可用于高效求解風險型多屬性群決策問題；另一方面，在經(jīng)典粗糙集中，粗糙近似的結構比較嚴格且缺乏容錯能力，概率粗糙集通過引入閾值使其具備了容錯能力，學者們在此基礎上系統(tǒng)探索了基于概率粗糙集的多類理論模型。近年來，多粒度概率粗糙集已應用于許多實際應用領域，如雙邊匹配[18]、分類模型[19]、屬性約簡[20]等。

Brauers[21]指出，結合多種決策方式的多屬性決策方法所得結果優(yōu)于僅使用某一類決策方式的多屬性決策。故Brauers和Zavadskas[22]將全乘模型引入比例分析多目標優(yōu)化(multi-objective optimization by ratio analysis, MOORA)中，提出了全乘比例分析多目標優(yōu)化(MOORA plus the full multiplicative form, MULTIMOORA)?？傮w來看，MULTIMOORA因其運算簡單、魯棒性強等優(yōu)點，已逐漸引起了各領域研究人員的廣泛關注[23-25]。

本文為探索q-RO模糊信息系統(tǒng)中具備穩(wěn)定決策結果的多屬性群決策方法，依據(jù)多粒度概率粗糙集與MULTIMOORA建立q-RO模糊多屬性群決策方法，為獲得穩(wěn)定決策結果提供模型與方法方面的理論支撐。本文的主要貢獻包括3方面：①提出了多粒度q-RO模糊概率粗糙集模型；②建立了基于多粒度q-RO模糊概率粗糙集與MULTIMOORA的q-RO模糊多屬性群決策方法；③通過實例分析和對比性分析驗證了所建立方法的可行性與有效性。

1 基本理論

1.1 q-RO模糊集

定義1[5]設U是一個非空有限論域，論域U上的一個q-RO模糊集表示為

B={〈x,(μb(x),νb(x))〉|x∈U}

(1)

(1)式中：函數(shù)μb:U→[0,1]和νb:U→[0,1]分別表示q-RO模糊集B的隸屬度和非隸屬度。對于任意x∈U，滿足(μb(x))q+(νb(x))q≤1，q≥1。此外，將q-RO模糊數(shù)記作b=(μ,ν)。

在q-RO模糊多屬性群決策中，q-RO模糊數(shù)的比較機制起著關鍵作用，其得分函數(shù)和精確函數(shù)的定義如下。

定義2[8]令b=(μ,ν)為一個q-RO模糊數(shù)，b的得分函數(shù)和精確函數(shù)表示為

(2)

(3)

對于2個q-RO模糊數(shù)b和b′，若s(b)>s(b′)，則b>b′；若s(b)a(b′)，則b>b′；若滿足s(b)=s(b′)且a(b)

定義3[7,18]令b=(μ,ν)和b′=(μ′,ν′)為2個q-RO模糊數(shù)，存在如下主要運算規(guī)則。

6)bb′=

1.2 q-RO模糊概率粗糙集

定義4[18]設U和V是2個非空有限論域，U×V上的q-RO模糊關系R表示為

R={〈(x,y),μR(x,y),νR(x,y)〉|

(x,y)∈U×V}

(4)

(4)式中：μR(x,y)和νR(x,y)取值為[0,1]，代表(x,y)對R的隸屬度和非隸屬度。對于任意(x,y)∈U×V，令γ∈μR(x,y)，η∈νR(x,y)，γ+=max{γ|γ∈μR(x,y)}和η+=max{η|η∈νR(x,y)}，則有0≤γ,η≤1且0≤γ+,η+≤1。

定義5[13]令U，R，P分別代表一個非空有限論域，該論域上的等價關系和概率度量，稱(U,R,P)為一個概率近似空間。對于任意x∈U和閾值0≤β<α≤1，X的上下近似定義為

(5)

(6)

1.3 MULTIMOORA

MULTIMOORA是Brauers和Zavadskas[22]建立的一種具備穩(wěn)定決策結果的方法，通常包括比率系統(tǒng)、參考點、全乘法形式。其中，在比率系統(tǒng)中，xij代表目標i(i=1,2,…,n)上備選方案j(j=1,2,…,m)的對應值。將一個目標對備選方案的每個對應值作為分子，該目標有關的所有備選方案的平方和的平方根作為分母，即

(7)

(8)

參考點是求參考點與對應點的最小最大度量，即

(9)

與其他決策方法相比，MULTIMOORA主要有以下優(yōu)點：①通過結合多個基本方法，使得所求結果準確性更高；②能有效解決具有多個備選方案的復雜多屬性決策問題；③計算過程易于理解，運算速度快。

2 多粒度q-RO模糊概率粗糙集

在q-RO模糊信息系統(tǒng)中，q可取滿足對于任意x∈U，(μb(x))q+(νb(x))q≤1，q≥1的任意值。一般情況下為了運算方便，取滿足條件的最小q值。

本節(jié)在q-RO模糊信息系統(tǒng)中，結合多粒度粗糙集與概率粗糙集，提出3類多粒度q-RO模糊概率粗糙集模型。

1)Ⅰ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集。本節(jié)采用加權平均算子來構建Ⅰ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集，可克服樂觀、悲觀多粒度概率粗糙集存在信息融合極端性方面的局限。

(10)

2)Ⅱ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集。距離度量是q-RO模糊信息融合過程中的關鍵步驟，本節(jié)采用歐氏距離法構建Ⅱ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集。

(11)

3)Ⅲ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集。加權平均算子傾向于考慮評價集中的群體性意見。本節(jié)依據(jù)加權幾何算子構建Ⅲ-型多粒度q-RO模糊概率粗糙集，該方法傾向于考慮評價集中的個體意見。

(12)

3 基于多粒度概率粗糙集與MULTI-MOORA的q-RO模糊多屬性群決策

3.1 模型建立

給定一個q-RO模糊信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)，首先利用離差最大化法[26]求出每個屬性的權重值和每個決策者的權重值。

令

(13)

(14)

(15)

(16)

對于任意xj∈U，yk∈V，xj關于信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)的多粒度隸屬度為

(17)

排序函數(shù)Ind(xj)(j=1,2,…,p)表示xj的值在所有x的值中從大到小的排序值。如設x1=0.4，x2=0.8，x3=0.6，則Ind(x1)=3，Ind(x2)=1，Ind(x3)=2。

3.2 模型算法

輸入：一個q-RO模糊信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)。

輸出：最佳備選方案x*。

步驟1選取合適的q值；

步驟2計算每個屬性的權重值和每個決策者的權重值；

步驟5根據(jù)排序函數(shù)Ind(ξj)，Ind(ψj)，Ind(ζj)，得到MULTIMOORA排序；

算法流程圖如圖1。

圖1 q-RO模糊多屬性群決策流程圖

3.3 算法復雜度

在模型算法中，步驟1選取q值的復雜度為O(pn)；步驟2計算各個屬性權重值的復雜度為O(p2m)，各決策者權重值的復雜度為O(p2n)；步驟3計算隸屬度θ的復雜度為O(pmn)；步驟4計算得到3種排序的復雜度為O(m2)；步驟5—步驟6選擇最佳備選方案的復雜度為O(p)。因此，該算法的總體時間復雜度為O(p2n)。

4 實例分析

4.1 實例描述

本節(jié)以文獻[18]中的案例為背景進行實例分析，給出q-RO模糊多屬性群決策的具體步驟。

假設某投資公司擬從財務指標的視角出發(fā)，選擇一個符合公司合作意向、要求和戰(zhàn)略地位的商業(yè)伙伴。為體現(xiàn)科學化與民主化，由3位財務專家構建了一個q-RO模糊信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)(i=1,2,3)。首先，令U={x1,x2,x3,x4}為經(jīng)考察后可選企業(yè)的集合，V={y1,y2,y3,y4,y5}為企業(yè)財務指標的集合，其中，yk(k=1,2,3,4,5)分別表示毛利率、流動比率、應付賬款周轉率、資產(chǎn)負債率、凈資產(chǎn)收益率。3位財務專家根據(jù)論域U和論域V給出的q-RO模糊關系如表1—表3。標準財務指標為B={,,,,}。綜上所述，可得該企業(yè)財務質量匹配的q-RO模糊信息系統(tǒng)(U,V,Ri,B)。

表1 備選企業(yè)財務指標的q-RO模糊關系1

表2 備選企業(yè)財務指標的q-RO模糊關系2

表3 備選企業(yè)財務指標的q-RO模糊關系3

4.2 決策過程

首先，根據(jù)(U,V,Ri,B)中所有評估值，確定本實例中q的最小值為3。

因此，可得Ⅰ-型排序結果ξ3>ξ4>ξ2>ξ1。

因此，可得Ⅱ-型排序結果ψ3>ψ4>ψ2>ψ1。

然后，可計算出下列多粒度q-RO模糊隸屬度為

因此，可得Ⅲ-型排序結果ζ3>ζ4>ζ2>ζ1。

根據(jù)以上3種不同企業(yè)的排序，確定以下排序函數(shù)。

Ind(ξ3)=Ind(ψ3)=Ind(ζ3)=1；

Ind(ξ4)=Ind(ψ4)=Ind(ζ4)=2；

Ind(ξ2)=Ind(ψ2)=Ind(ζ2)=3；

Ind(ξ1)=Ind(ψ1)=Ind(ζ1)=4。

最后，依據(jù)本文所建立的q-RO模糊多屬性群決策方法，可得排序結果x3>x4>x2>x1，即最佳企業(yè)為x3。

4.3 靈敏度分析

靈敏度分析是一種常見的分析不確定性的實驗方法，其實質是通過逐一改變相關變量的數(shù)值來解釋關鍵指標受這些因素變動影響大小的規(guī)律。

本文通過改變上述實例中的q值來觀察決策結果的變化。當q的取值為5時，計算結果如表4，排序結果為x3>x4>x2>x1。

表4 q=5時，q-RO模糊多屬性群決策結果

當q的取值為10時，計算結果如表5，排序結果為x3>x2>x4>x1。

表5 q=10時，q-RO模糊多屬性群決策結果

當q的取值為20時，計算結果如表6，排序結果為x3>x2>x4>x1。

表6 q=20時，q-RO模糊多屬性群決策結果

結果表明，當q發(fā)生變化時，排序結果和之前有一些差別，但不影響最終的結果，最優(yōu)企業(yè)仍為x3。因此，本文所建立的q-RO模糊多屬性群決策方法在上述實例中具備穩(wěn)定性。

4.4 有效性測試

Wang和Triantaphyllou[27]提出了多屬性決策方法有效性測試的標準。本節(jié)通過測試1和測試2證明所建立的q-RO模糊集多屬性群決策方法具備有效性。

測試1在一個有效的多屬性群決策分析中，用一個更差的備選方案去替代非最優(yōu)方案時不會改變最優(yōu)備選方案。在上述實例中，分別用表1—表3中x4的補集替代x1，計算結果如表7。

表7 q-RO模糊多屬性群決策測試1結果

排序結果為x3>x4>x2>x1，最佳選項為x3。該結果與4.1節(jié)中的結果一致。因此，測試1驗證了本文所建立的多屬性群決策方法具備有效性。

測試2若將一個多屬性群決策問題分解成若干小規(guī)模決策問題，分別對它們使用相同的決策方法，將結果進行組合后，最后結果應與原結果保持一致。在上述實例中，若將決策問題分成2個小規(guī)模的多屬性群決策問題，即{x1,x2,x3}和{x2,x3,x4}，然后采用本文所建立的方法可得x3>x2>x1和x3>x4>x2，進行組合之后，該結果與原結果保持一致。因此，測試2驗證了所建立的多屬性群決策方法具備有效性。

4.5 對比性分析

本節(jié)將分別用上述提到的3種多屬性群決策方法以及決策指標集的方法與本文中的可調多粒度多屬性群決策方法進行了對比性分析。

分析1比較了上文提到的3種決策方法以及本文提出的可調多粒度多屬性群決策方法，結果如圖2。

圖2 文獻[18]背景下4種多屬性群決策方法結果對比

從圖2中可看出，不同方法所得計算結果雖存在差異，但這4種方法選擇出的最優(yōu)備選企業(yè)均為x3。

分析2使用基于指標集的決策方法，計算結果如下。

計算結果顯示T1∩T2∩T3={3}≠?，因此，最優(yōu)備選企業(yè)仍為x3。

整體來看，本文所建立的q-RO模糊多屬性群決策方法利用了MULTIMOORA的優(yōu)勢，并克服使用單一決策方法所帶來決策結果存在差異的局限，可為獲取穩(wěn)定決策結果提供理論支撐。

4.6 實驗分析

本節(jié)以文獻[28]中案例為背景，進行如下實驗分析。

在蒸汽輪機的故障診斷過程中，假設1組10個故障模式表示為U={x1,x2,…,x10}，其中，xj(j=1,2,…,10)代表不平衡、氣動力耦合、偏移中心、油膜振蕩、轉子的徑向沖擊摩擦、共生松動、抗靜電軸承損傷、喘振、軸承塊松動、非均勻軸承剛度。另一論域V={y1,y2,…,y9}代表9個頻率范圍，其中，yk(k=1,2,…,9)表示不同頻譜的一些頻率范圍：C1(0.01-0.39f)，C2(0.4-0.49f)，C3(0.5f)，C4(0.51-0.99f)，C5(f)，C6(2f)，C7(3-5f)，C8(f的奇數(shù)倍)，C9(大于5f的高頻)，故障測試的樣本為D。為解決該多屬性群決策問題，每位機械工程師都提供他們關于系統(tǒng)故障的決策偏好，如表8—表10，并以q-RO模糊集的形式給出。D={,,,,,,,,}。

表8 工程師1提供的系統(tǒng)故障知識

表9 工程師2提供的系統(tǒng)故障知識

表10 工程師3提供的系統(tǒng)故障知識

通過本文所建立的算法進行決策分析，計算結果如表11和圖3。不難看出，最終排序結果顯示最優(yōu)備選項為x7，與文獻[28]結果一致，因此，進一步驗證了本文所提出方法的有效性。

表11 實例2的計算結果

圖3 文獻[28]背景下4種多屬性群決策方法結果對比

5 總 結

本文針對q-RO模糊多屬性群決策問題，首先提出了3類多粒度q-RO模糊概率粗糙集。然后，建立了基于多粒度概率粗糙集與MULTIMOORA的q-RO模糊多屬性群決策方法。最后，通過實際算例驗證了所建立方法的可行性與有效性。在接下來的研究中，有必要進一步探索大規(guī)模群體決策、動態(tài)決策等問題，并利用更廣泛的知識發(fā)現(xiàn)工具來獲得更具說服力和可解釋性的決策結論。