錢 偉 茂

(湖州廣播電視大學(xué) 繼續(xù)教育學(xué)院， 浙江 湖州 313000)

一、研究背景

兩個正數(shù)a和b的幾何平均G(a,b)，算術(shù)平均A(a,b)，二次平均Q(a,b)，對數(shù)平均L(a,b)，Neuman-Sándor平均NS(a,b)，第一類和第二類Seiffer平均P(a,b)和T(a,b)，第一類楊平均U(a,b)[1]1-27，以及Schwab-Borchardt平均SB(a,b)[2]253-266分別定義為:

(1)

(2)

和

眾所周知,Schwab-Borchardt平均SB(a,b)關(guān)于兩個正數(shù)a和b是連續(xù)，嚴格單調(diào)遞增，非對稱且一階齊次的，許多重要二元平均是它的特殊情形.例如：

SB[G(a,b),G(a,b)]=G(a,b),SB[A(a,b),A(a,b)]=A(a,b),

SB[Q(a,b),Q(a,b)]=Q(a,b),SB[A(a,b),G(a,b)]=L(a,b),

SB[G(a,b),A(a,b)]=P(a,b),SB[A(a,b),Q(a,b)]=T(a,b),

SB[Q(a,b),A(a,b)]=NS(a,b),SB[G(a,b),Q(a,b)]=U(a,b).

并且有不等式:

(3)

和

G(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立[2]253-266.

最近，關(guān)于第一類楊平均U(a,b)與其他二元平均的比較研究有了新的進展,發(fā)現(xiàn)了許多重要的不等式.例如,楊鎮(zhèn)杭、吳利敏等證明了不等式

P(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立[3]1-10.

他們還證明了雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立當且僅當α≤2ln2/(2lnπ-ln2)和β≥4/3[3]1-10.

周爽爽、錢偉茂等證明了α=1/2和β=ln3/(1+ln2)=0.648 8L是使得雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立的最佳參數(shù)[4]1-10.

錢偉茂、褚玉明等證明了不等式

從不等式(3)可得到雙向不等式

(4)

對所有a,b>0且a≠b成立.

根據(jù)不等式(4),本文證明雙向不等式

λ[G(a,b)/3+2Q(a,b)/3]+(1-λ)G1/3(a,b)Q2/3(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立當且僅當λ≤4/5和μ≥3/π.

二、主要結(jié)果

引理1設(shè)p∈(0,1)和

f(t)=3(1-p)t6+6(1-p)t5-(4p2+6p-9)t4+2(2p2-9p+6)t3+

3(p2-4p+2)t2-2p2t-p2.

(5)

下面結(jié)論為真:

(Ⅰ)若當p=4/5時,則對所有t∈(1,+∞)有f(t)>0.

(Ⅱ)若當p=3/π時,則存在τ∈(1,+∞);當t∈(1,τ)時,有f(t)<0;當t∈(τ,+∞)時,有f(t)>0.

證明:(1)當p=4/5時,則等式(5)變成

(6)

對所有t∈(1,+∞)成立.

所以,引理1(Ⅰ)容易從不等式(6)得到.

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

f1(t)=9(1-p)t5+15(1-p)t4-2(4p2+6p-9)t3+3(2p2-9p+6)t2+3(p2-4p+2)t-p2，

(12)

(13)

f3(t)=30(1-p)t3+30(1-p)t2-2(4p2+6p-9)t+2p2-9p+6.

由不等式(7)～(10)，使得不等式

f3(t)>30(1-p)t+30(1-p)t-2(4p2+6p-9)t+(2p2-9p+6)t=3(-2p2-27p+28)t>0

(14)

對所有t∈(1,+∞)成立.

不等式(14)意味著函數(shù)f2(t)在區(qū)間(1,∞)是嚴格單調(diào)遞增的.不等式(13)導(dǎo)致的結(jié)論是：存在τ0∈(1,∞),使得函數(shù)f1(t)在區(qū)間(1,τ0]嚴格單調(diào)遞減,并在區(qū)間[τ0,+∞)是嚴格單調(diào)遞增的.從不等式(12)得到存在τ1∈(1,∞),使得函數(shù)f(t)在區(qū)間(1,τ1]嚴格單調(diào)遞減,并在區(qū)間[τ1,+∞)是嚴格單調(diào)遞增的.

所以,引理1(Ⅱ)容易從不等式(11)和函數(shù)f(t)的分段單調(diào)性得到.

定理2雙向不等式

λ[G(a,b)/3+2Q(a,b)/3]+(1-λ)G1/3(a,b)Q2/3(a,b)<

U(a,b)<μ[G(a,b)/3+2Q(a,b)/3]+(1-μ)G1/3(a,b)Q2/3(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當λ≤4/5和μ≥3/π.

證明:先證明不等式

(15)

(16)

對所有a,b>0且a≠b成立.

(17)

(18)

(19)

U(a,b)-p[G(a,b)/3+2Q(a,b)/3]-(1-p)G1/3(a,b)Q2/3(a,b)=

(20)

其中：

F(0)=0,

(21)

(22)

(23)

其中,函數(shù)f(·)定義在引理1.

下面分兩種情形證明：

情形1當p=4/5時,則不等式(15)容易從等式(20)(21)(23)和引理1(Ⅰ)得到.

情形2當p=3/π時,則引理1(Ⅱ)和等式(23)導(dǎo)致的結(jié)論是:存在一個x0∈(0,+∞),使得函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,x0]嚴格單調(diào)遞減,并在區(qū)間[x0,+∞)是嚴格單調(diào)遞增的.注意到,等式(22)變?yōu)?

F(+∞)=0.

(24)

從等式(21)和等式(24)協(xié)同函數(shù)F(x)的分段單調(diào)性可知

F(x)<0

(25)

對所有x∈(0,+∞)成立.

因此,不等式(16)容易從等式(20)和(25)得到.定理2可從不等式(15)和(16)以及以下陳述得到.

(Ⅰ)當λ>4/5時,則等式(17)和(18)意味著存在一個足夠小的δ>0,使得不等式

U(a,b)<λ[G(a,b)/3+2Q(a,b)/3]+(1-λ)G1/3(a,b)Q2/3(a,b)

(Ⅱ)當μ<3/π時,則等式(17)和(19)意味著存在一個足夠大的M>0,使得不等式

U(a,b)>μ[G(a,b)/3+2Q(a,b)/3]+(1-μ1)G1/3(a,b)Q2/3(a,b)

由定理2可得到如下推論3:

推論3雙向不等式

對所有x∈(0,+∞)成立.