劉 策, 賈兆麗, 張夢(mèng)澤

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

金融衍生品在金融市場(chǎng)一直有很重要的地位,波動(dòng)率衍生品是一種特殊的金融衍生品。近年來,人們對(duì)于波動(dòng)率衍生品的關(guān)注度越來越高,當(dāng)前金融市場(chǎng)最普遍的波動(dòng)率衍生品就是方差互換和波動(dòng)率互換。

隨機(jī)波動(dòng)率模型在金融計(jì)算中起到至關(guān)重要的作用,因?yàn)樗梢悦枋鼋鹑谫Y產(chǎn)收益率的波動(dòng)的時(shí)變性、波動(dòng)率聚集以及杠桿效應(yīng)。金融計(jì)量文獻(xiàn)中關(guān)于隨機(jī)波動(dòng)率模型的描述很多,最著名的是Heston模型。然而,Heston模型的波動(dòng)率方程包含的平方根設(shè)定,雖然可以方便得到定價(jià)解析式,但忽略了金融時(shí)間序列的非線性特征,對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的描述比較片面。

文獻(xiàn)[1]提出Heston隨機(jī)波動(dòng)模型;文獻(xiàn)[2]基于變換方法,分析了3/2隨機(jī)波動(dòng)模型下的資產(chǎn)定價(jià)問題;文獻(xiàn)[3]研究了Heston模型對(duì)于波動(dòng)率產(chǎn)品的定價(jià)問題;文獻(xiàn)[4]關(guān)注非仿射隨機(jī)波動(dòng)模型;文獻(xiàn)[5]運(yùn)用擾動(dòng)法推導(dǎo)出風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格lnST的特征函數(shù);文獻(xiàn)[6]對(duì)仿射和非仿射隨機(jī)波動(dòng)模型在資產(chǎn)配置影響、期權(quán)定價(jià)以及模擬分布等方面進(jìn)行了研究,得出如下結(jié)論:非仿射隨機(jī)波動(dòng)模型在資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)方面比傳統(tǒng)的仿射型隨機(jī)波動(dòng)模型更好,可以使用仿射跳躍隨機(jī)波動(dòng)模型;文獻(xiàn)[7]研究了OU隨機(jī)過程下方差互換的定價(jià)問題;文獻(xiàn)[8]的研究表明非仿射隨機(jī)波動(dòng)模型對(duì)于宏觀經(jīng)濟(jì)的重要性;文獻(xiàn)[9-12]表達(dá)了不同的隨機(jī)波動(dòng)率模型對(duì)波動(dòng)率衍生品定價(jià)的影響。

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型,因?yàn)榉欠律潆S機(jī)波動(dòng)率模型的標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格分布的特征函數(shù)偏微分方程是非線性的,所以應(yīng)用擾動(dòng)法,將之前的非線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性微分方程,然后完成對(duì)離散采樣波動(dòng)率互換的閉解的研究。

1 波動(dòng)率互換

波動(dòng)率互換是一種遠(yuǎn)期合約,它在到期日的損益為:

(1)

(2)

其中:T為合約期限;St為[0,T]時(shí)刻內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。假設(shè)St在[0,T]一共被觀察了N次:t0=0≤t1

(3)

2 波動(dòng)率互換的定價(jià)

2.1 模型建立

假設(shè)St表示資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)過程,它的瞬時(shí)波動(dòng)率計(jì)為vt。在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下,本文研究的非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型的形式如下:

(4)

其中:r、k、θ、σ、γ均為正常數(shù);r為無風(fēng)險(xiǎn)利率;k為波動(dòng)率均值的回歸速度;θ為資產(chǎn)收益波動(dòng)率的長(zhǎng)期均值;σ為資產(chǎn)收益率波動(dòng)的波動(dòng)率;W1t和W2t為2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng),它們的相關(guān)系數(shù)均為ρ。

當(dāng)γ=1時(shí),(4)式是標(biāo)準(zhǔn)的Heston模型;當(dāng)γ≠1時(shí),(4)式是非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型。

2.2 特征函數(shù)的推導(dǎo)

對(duì)于特征函數(shù),文獻(xiàn)[3]給出了隨機(jī)變量yt,T=lnST-lnSt(t

f(φ;t,T,v0)=EQ[ejφyt,T|y0,v0]

(5)

設(shè)當(dāng)前的時(shí)間為0時(shí)刻,j為虛數(shù)單位,這個(gè)特征函數(shù)是解決本文定價(jià)問題的關(guān)鍵。本節(jié)接下來的主要任務(wù)是繼續(xù)推導(dǎo)這個(gè)特征函數(shù)的閉解。

首先,根據(jù)條件期望的平滑性,(5)式可以表示為:

f(φ;t,T,v0)=EQ[EQ[ejφyt,T|yt,vt]|y0,v0]

(6)

其中,0

假設(shè)(6)式內(nèi)部的期望具有解的形式:g(φ;s,T,ys,vs),t≤s≤T。令τ=T-t,由Feynman-Kac定理得:

(7)

邊界條件為:

(8)

顯然,(7)式是一個(gè)非線性偏微分方程,一般情況下,很難直接求它的解析解。

文獻(xiàn)[5]提供了擾動(dòng)法求解,可以將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為線性偏微分方程,以便求解。將v(γ+1)/2和vγ在v=θ處進(jìn)行一階泰勒展開,可得:

(9)

vγ≈θγ(1-γ)+γθγ-1v

(10)

將(9)式、(10)式代入(7)式,可得:

(11)

此時(shí),(11)式是一個(gè)線性偏微分方程;接下來,對(duì)(11)式采用待定系數(shù)法求解。特征函數(shù)g(φ;s,T,ys,vs)有如下形式:

g(φ;s,T,ys,vs)=eC(τ)+D(τ)v+jφyt,T

(12)

將(12)式代入(11)式,整理得:

(13)

(14)

(13)式和(14)式是2個(gè)常微分方程,分別求解得:

C(τ)=jφrτ-

(d-g)3e-dττ-4d(d-g)(1-e-dτ)]}

(15)

(16)

若t=T,則yT,T=lnST-lnST=0。

于是,可以求出(6)式的內(nèi)部期望。接下來,特征函數(shù)可變?yōu)?

f(φ;t,T,v0)=eC(τ)EQ[eD(τ)vt|v0]

(17)

不妨令h(φ;t,T,s,v0)=EQ[eD(τ)vt|v0],0≤s≤t,再由Feynman-Kac定理得:

(18)

邊界條件為:

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)[1],可假設(shè)h(φ;t,T,s,v0)具有仿射形式的解:

(20)

將(20)式代入(18)式,可得:

(21)

(22)

分別求解常微分方程(21)式、(22)式,可得:

(23)

(24)

于是,特征函數(shù)f(φ;t,T,v0)中的關(guān)鍵問題都得到了解決。

最后,令s=0,對(duì)f(φ;t,T,v0)的表達(dá)式進(jìn)行整理,可得:

f(φ;t,T,v0)=eC(τ)EQ[eD(τ)vt|v0]=

(25)

于是得到隨機(jī)變量yt,T=lnSt-lnST(t

2.3 定價(jià)過程

由(3)式不難發(fā)現(xiàn),計(jì)算Kvol的關(guān)健是求解表達(dá)式:

(26)

根據(jù)文獻(xiàn)[3],波動(dòng)率互換的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(26)式為:

(27)

其中:p(yti-1,ti)為隨機(jī)變量yti-1,ti的向前密度函數(shù);q(yti-1,ti)=eyti-1,ti-r(ti-ti-1)p(yti-1,ti)為它的概率密度函數(shù)。因此

(28)

另一方面,

(29)

再根據(jù)2.2節(jié)對(duì)特征函數(shù)的計(jì)算,得到波動(dòng)率互換的定價(jià)公式，即

(30)

于是,在非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型下,對(duì)波動(dòng)率互換的定價(jià)就完成了。

3 結(jié) 論

隨機(jī)波動(dòng)率模型下的金融資產(chǎn)的定價(jià)問題已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界的熱點(diǎn),傳統(tǒng)的仿射型隨機(jī)波動(dòng)模型雖然處理問題有許多便利之處;但實(shí)驗(yàn)表明,非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型比傳統(tǒng)的隨機(jī)波動(dòng)模型能更好地描述資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)?；趥鹘y(tǒng)波動(dòng)率模型的處理經(jīng)驗(yàn),可利用擾動(dòng)法將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為線性偏微分方程,再進(jìn)行求解,最后利用傅里葉變換的原理對(duì)波動(dòng)率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。

非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型具有更一般的資產(chǎn)價(jià)格描述。未來,可以利用該模型給更多的金融資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)。此外,還可以將擾動(dòng)法進(jìn)行改進(jìn),或?qū)⒎答佋硪氲椒欠律潆S機(jī)波動(dòng)率模型中,或在技術(shù)層面上,通過改進(jìn)的擾動(dòng)法的泰勒展開近似表達(dá)式,進(jìn)一步提高該模型的定價(jià)性能。