錢夢男, 盧劍偉, 晏桂喜, 郭嘉豪

(1.合肥工業(yè)大學 汽車與交通工程學院,安徽 合肥 230009; 2.合肥工業(yè)大學 機械工程學院,安徽 合肥 230009)

20世紀60年代Widrow和Hoff提出最小均方(least mean square,LMS)算法,便以其結構簡單、計算量小、對硬件要求低等優(yōu)點而被廣泛應用于包括有源噪聲控制(active noise control, ANC)在內的自適應信號處理領域。對于LMS算法,由于其步長固定,不能兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差,在算法的收斂范圍內,算法步長設置越大,其收斂速度越快,同時使得穩(wěn)態(tài)誤差變大;反之亦然。針對此問題,國內外學者提出了很多改進的算法[1-11]改善LMS算法性能。這些算法可以分為2類:一類是變換域LMS;另一類是時域LMS。由于時域算法的結構簡單和魯棒性,在ANC系統(tǒng)中獲得廣泛的應用,而時域中的改進算法主要分為如下2種:

(1) 變抽頭長度的LMS算法。文獻[1-3]所提出的算法,通過調整抽頭長度使LMS算法性能有所提升,但是這些算法在變換抽頭長度的同時要求抽頭長度為整數(shù),造成計算較為復雜,實際應用難度較大。

(2) 變步長的LMS算法。通過構造誤差和步長之間的關系,實現(xiàn)對步長的控制。此種算法的控制原則為:初始階段誤差值較大,采用大步長加快收斂速度;收斂后誤差值接近0時,采用小步長來降低穩(wěn)態(tài)誤差。文獻[4]基于Sigmoid函數(shù)提出SVSLMS算法,但是該算法在穩(wěn)態(tài)誤差接近0時,步長變化仍然較大。為此,文獻[5-6]對文獻[4]中的算法進行了改進。文獻[7]采用Tanh函數(shù)對LMS算法進行了改進;文獻[8]提出了基于Sinh函數(shù)進行改進的變步長算法;文獻[9-10]提出了基于對數(shù)的變步長算法;文獻[11]提出了一種分段式的變步長算法。

上述改進算法在兼顧收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差方面有所改進,但仍在計算量和收斂速度方面有待進一步改善,特別是用于車載ANC系統(tǒng)時,還不能很好地滿足硬件的嵌入式使用的需求。為此,本文在LMS算法的基礎上,提出了一種基于Softsign的變步長算法,改善定步長LMS算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾,兼顧算法的計算量,并通過算例分析,來驗證算法的性能。

1 LMS算法

LMS算法是基于最速下降法的迭代適應算法,通過調整濾波器參數(shù),適應輸入信號x(n)隨時間變化的特性,使系統(tǒng)響應信號y(n)與期望響應d(n)之間的誤差e(n)達到最小,原理如圖1所示。

圖1 自適應濾波原理

其迭代過程如下:

y(n)=W(n)TX(n)

(1)

e(n)=d(n)-y(n)

(2)

W(n+1)=W(n)+2μe(n)X(n)

(3)

其中:X(n)為n時刻的輸入信號矢量;W(n)為n時刻自適應濾波器的權系數(shù);μ為算法的步長。LMS算法的收斂條件為0<μ<1/λmax,其中,λmax為輸入信號自相關矩陣的最大特征值。

2 一種改進的變步長算法

2.1 改進的變步長算法

Softsign函數(shù)與Tanh函數(shù)、Sigmoid函數(shù)具有相似的函數(shù)形狀、過零點、單調平滑的函數(shù)曲線,通過簡單調整可以很好地滿足步長調整原則,且與Sigmoid函數(shù)、Tanh函數(shù)相比較不含指數(shù)項,計算更加簡單。因此,本文根據(jù)變步長算法改進原則,利用Softsign函數(shù)特性,提出一種改進的變步長算法。

(4)式是利用Softsign函數(shù)的調整過的步長函數(shù),其函數(shù)圖像如圖2所示。從圖2可以看出,在誤差e(n)趨近于0時,步長μ(n)變化依舊很快,會造成算法穩(wěn)態(tài)誤差較大,且步長μ(n)與誤差e(n)的函數(shù)圖像不可調整。

(4)

圖2 步長與誤差之間的關系

針對上述問題,本文對(4)式進行了改進,引入了控制參數(shù)α、β、m,調整后的變步長函數(shù)為:

(5)

由此得出一種改進的基于Softsign函數(shù)的變步長LMS算法。改進的變步長算法的收斂條件為0<β/α<1/λmax。

2.2 參數(shù)對算法的影響

下面利用誤差e(n)與μ(n)之間的函數(shù)曲線分析各參數(shù)具體的影響，即分析α、β、m對算法性能的具體影響,如圖3所示。

由圖3可知:① 當β、m值固定時,在收斂范圍內,α值越大,算法的初始收斂步長越小,收斂越慢;② 當α、m值固定時,在收斂范圍內,β值越大,算法的初始收斂步長越大,收斂越快;③ 當α、β的值固定時,m值越大,算法在誤差e(n) 趨近于0時,步長μ(n)的變換趨勢越平緩,且此時算法在誤差e(n)較大時擁有更大的步長μ(n),但是m值越大,算法的計算復雜程度也會隨之增加。

圖3 參數(shù)對步長曲線的影響

3 新的變步長算法仿真驗證

3.1 改進的變步長算法性能驗證

為了驗證提出的改進的變步長算法性能,利用Matlab軟件,通過仿真算例對該算法進行分析。設置仿真參數(shù)為:噪聲輸入x(n)是均值為0、方差為1的高斯白噪聲;干擾信號v(n)是均值為0.04、方差為1的高斯白噪聲,且與x(n)不相關;自適應濾波器的長度為4;采樣點數(shù)為500;試驗次數(shù)為200。對均方誤差進行統(tǒng)計分析,得到算法的收斂曲線，如圖4所示。

圖4 參數(shù)對收斂曲線的影響

由圖4可知:① 固定β、m值,隨著α的增大,收斂速度變緩;② 固定α、m值,隨著β值的增大,收斂速度變快;③ 固定α、β值,m值增大可以降低算法穩(wěn)態(tài)誤差,但是從圖4c可以看出,此方式對于穩(wěn)態(tài)誤差并不具備明顯改善效果,而且隨著m增大,算法的初始收斂速度有一定的降低,且會增加算法計算復雜度。圖4結果與圖3結果相印證,說明了本文算法改進的有效性。

3.2 與其他算法性能比較

為了驗證本文算法在性能上的優(yōu)勢,將本文算法與定步長的LMS算法及文獻[7]中的Tanh-LMS算法相比較。文獻[7]中步長μ(n)與誤差e(n)函數(shù)關系為:

(6)

設置仿真參數(shù)為:噪聲輸入與3.1節(jié)一致;濾波器長度為4;定步長算法的步長μ=0.01;(6)式仿真參數(shù)與文獻[7]中相同,α=100,β=0.04,m=1。本文算法設置參數(shù)為：α=3,β=0.25,m=1,采樣點數(shù)為500;計算200次取均方誤差。仿真結果如圖5所示。

圖5 3種算法收斂速度比較

從圖5可以看出，本文算法在與定步長LMS算法及Tanh-LMS算法擁有相似的穩(wěn)態(tài)誤差情況下,在收斂速度上定步長180次后達到收斂效果,文獻[7]在80次后達到收斂效果,而本文算法在50次后就能實現(xiàn)很好的收斂,可以看出本文算法具有更快的收斂速度。

3.3 算法計算量比較

算法計算量上比較,因定步長算法不含步長的變化項,其穩(wěn)態(tài)誤差與收斂速度兼顧性最差,其計算量本文不予比較。現(xiàn)將本文算法與文獻[7]中Tanh-LMS算法相比較,結果見表1所列,算法參數(shù)值為3.2節(jié)仿真參數(shù)。從表1可以看出,本文算法在計算量上明顯小于Tanh-LMS算法,尤其是本文算法不含指數(shù)項,對車載ANC系統(tǒng)硬件實現(xiàn)的要求更低。

表1 本文算法與文獻[7]算法計算量比較 單位:項

3.4 在車內噪聲控制中的應用仿真

為了驗證本文提出的算法在車載ANC系統(tǒng)中的應用優(yōu)勢,利用采集到的車內噪聲數(shù)據(jù)對算法進行降噪性能仿真比較。采樣設備為東華DH5922N動態(tài)信號測試儀,頻率為2 000 Hz。雙通道采集車內數(shù)據(jù),將通道1與通道2采集到的數(shù)據(jù)分別作為輸入信號和期望信號。

選取200個連續(xù)噪聲點建立自適應濾波器。然后隨機選取未參與訓練的1 000個連續(xù)點作為噪聲信號進行降噪。分別將LMS算法、Tanh-LMS和本文提出的算法應用于車內自適應降噪處理,設置參數(shù)與3.2節(jié)的仿真參數(shù)相同,結果如圖6所示。

圖6 車內噪聲誤差信號曲線

從圖6可以看出,在利用車內噪聲數(shù)據(jù)進行自適應降噪仿真時,本文算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差值上優(yōu)于LMS算法和Tanh-LMS算法,說明本文算法的噪聲抵消效果更好。

4 結 論

本文針對ANC系統(tǒng)中定步長LMS算法不能兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的缺點,基于Softsign函數(shù),建立了步長μ(n)與誤差e(n)之間的函數(shù)關系,提出了一種改進的變步長算法,并將其應用于車內噪聲控制中。仿真結果表明,本文算法在兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面優(yōu)于LMS算法和Tanh-LMS算法;在計算量方面與Tanh-LMS算法相比具有明顯的優(yōu)勢;改進的算法在車內噪聲控制中的效果優(yōu)于其他2種算法,提高了其在硬件上的應用性。