岳飛龍 ，李培超

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，上海 201620）

κ多孔介質(zhì)由于其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和特殊的性能得到廣泛關(guān)注，同時(shí)也吸引許多研究者專(zhuān)注于多孔介質(zhì)多物理場(chǎng)耦合問(wèn)題的發(fā)展. 在多孔介質(zhì)熱流耦合問(wèn)題的研究中，分析研究局部熱非平衡情形下多孔介質(zhì)圓管或平板強(qiáng)迫對(duì)流對(duì)換熱性能的提高具有重要意義[1?6]. 對(duì)于多孔介質(zhì)平板，較多學(xué)者研究了達(dá)西流動(dòng)下的換熱分析. 例如，Yang等[7]研究了5種典型孔隙—流體界面的流體和固體溫度分布，同時(shí)得到努塞爾數(shù)隨參數(shù)變化的影響. 在Darcy線(xiàn)性流動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，又有學(xué)者提出Brinkman流動(dòng)模型[8]，由于其能夠更好地滿(mǎn)足多孔介質(zhì)流動(dòng)區(qū)域和純流體流動(dòng)區(qū)域交界面處的無(wú)滑移條件，并可說(shuō)明邊界之間的過(guò)渡流動(dòng)，因此得到了廣泛的應(yīng)用[9?10]. Nield等[11]在該模型下考慮壁面恒溫邊界條件，研究飽和多孔介質(zhì)平行平板通道內(nèi)的強(qiáng)迫對(duì)流對(duì)換熱性能的問(wèn)題，得到局部努塞爾數(shù)的表達(dá)式. 除此之外，還有很多學(xué)者研究了其他不同邊界條件下Brinkman流動(dòng)下多孔介質(zhì)平板的換熱問(wèn)題. 例如，Kuznetsov等[12]研究擾動(dòng)流動(dòng)條件下的多孔介質(zhì)平板中的溫度分布和努塞爾數(shù)分布，得出隨著無(wú)量綱頻率的增加會(huì)導(dǎo)致努塞爾數(shù)在幅值和相位上分布變化的結(jié)論；Cekmer等[13]提出上下壁面熱流非對(duì)稱(chēng)邊界條件下Brinkman流動(dòng)下多孔介質(zhì)平板的熱傳遞特性，且定義了平板上下表面以及整體的努塞爾數(shù)分布. 在此基礎(chǔ)上，還有許多學(xué)者考慮稀薄流體對(duì)傳熱的影響. 例如，Seetharamu等[14?15]分別對(duì)改變壁面熱流與溫度比值變化的邊界條件和上下壁面均勻熱流邊界條件下多孔介質(zhì)微平板通道內(nèi)填充稀薄氣體的換熱進(jìn)行了數(shù)值模擬，得出了相關(guān)參數(shù)對(duì)換熱的影響.

同樣，對(duì)于多孔介質(zhì)圓管或圓環(huán)，很多研究者也研究了局部熱非平衡情形下基于Brinkman動(dòng)量方程的換熱問(wèn)題. 例如，Xu等[16]解決該模型下部分填充開(kāi)孔金屬泡沫的圓管中的熱流交換問(wèn)題，得到了努塞爾數(shù)的明確表達(dá)式；Wang等[17]得出多孔介質(zhì)微環(huán)內(nèi)氣態(tài)滑移流下流體和固體溫度分布的解析解；Xu等[18]對(duì)部分填充復(fù)合金屬泡沫圓管中充分發(fā)展的強(qiáng)制對(duì)流進(jìn)行數(shù)值研究，得到相關(guān)參數(shù)對(duì)摩擦因數(shù)和努塞爾數(shù)的影響.

在之前的工作中[19]研究了達(dá)西流動(dòng)下多孔介質(zhì)圓管的強(qiáng)迫對(duì)流換熱問(wèn)題，推導(dǎo)得出非均勻入口邊界條件下的努塞爾數(shù)的解析解，并分析了相關(guān)參數(shù)對(duì)換熱性能的影響. 在此基礎(chǔ)上，本研究將分析同時(shí)基于Brinkman流動(dòng)模型（即非達(dá)西流動(dòng)模型）和局部熱非平衡（LTNE）模型下飽和多孔介質(zhì)圓管的強(qiáng)迫對(duì)流換熱問(wèn)題. 通過(guò)使用COMSOL Multiphysics仿真軟件獲得流體和固體溫度、滲流速度和努塞爾數(shù)的數(shù)值解，并對(duì)參數(shù)如何影響多孔介質(zhì)圓管的換熱性能進(jìn)行分析.

1 物理問(wèn)題和數(shù)學(xué)模型

1.1 控制方程組

圖1為多孔介質(zhì)圓管強(qiáng)迫對(duì)流換熱問(wèn)題的原理圖[19]. 圖中：Tw為壁面溫度，Tin為入口溫度. 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，模型假設(shè)如下：1）多孔介質(zhì)為飽和的、均勻且各項(xiàng)同性的介質(zhì)；2）流體為穩(wěn)定的、不可壓縮的流體；3）忽略自然對(duì)流、擴(kuò)散和輻射換熱；4）忽略軸向熱傳導(dǎo)；5）流動(dòng)的熱物理性質(zhì)不受溫度影響.

圖1 多孔介質(zhì)圓管示意圖Fig. 1 Schematic diagram of porous media circular duct

本研究利用Brinkman動(dòng)量方程，并采用反映局部熱非平衡現(xiàn)象的雙溫度場(chǎng)方程來(lái)描述傳熱問(wèn)題. 在上述假設(shè)之下，三維圓柱坐標(biāo)系下的Brinkman動(dòng)量方程[20]和雙能量方程[19]可以寫(xiě)為

式中：?為多孔介質(zhì)孔隙率；ks和kf為固體和流體的熱導(dǎo)率. 符號(hào)說(shuō)明見(jiàn)表1.

表1 符號(hào)表Table 1 Symbol table

1.2 邊界條件

為求解控制方程式(1)至式(3)，對(duì)圖1所示的多孔介質(zhì)圓管外壁面上的無(wú)滑移速度邊界和溫度邊界條件以及入口處的溫度邊界條件規(guī)定為

式中：r0為 多孔介質(zhì)圓管的真實(shí)半徑；Tw為壁面溫度 ；Tin為入口處溫度.

1.3 無(wú)量綱化數(shù)學(xué)模型

為了將控制方程和邊界條件無(wú)量綱化，引入無(wú)量綱變量為

式中：T0為 參考溫度；Pe 為貝克來(lái)數(shù)；Bi為畢渥數(shù)，Da為Darcy數(shù)，κ為流體有效熱導(dǎo)率與固體骨架有效熱導(dǎo)率之比；M為流體有效動(dòng)力黏度與實(shí)際動(dòng)力黏度之比. 根據(jù)上述無(wú)量綱變量的定義，將控制方程式(1)至式(3)與邊界條件式(5)至式(7)無(wú)量綱化，可得

上述控制方程(8)至(10)與邊界條件(11)至(13)共同組成所求解問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型. 其中未知量為無(wú)量綱速度(U)和無(wú)量綱溫度(θs、θf(wàn)). 物理模型中多孔介質(zhì)的無(wú)量綱半徑R0和長(zhǎng)度l分別為1和5 0.

1.4 努塞爾數(shù)

努塞爾數(shù)表征壁面對(duì)流換熱的強(qiáng)烈程度，Li等[19]推導(dǎo)得出壁面平均努塞爾數(shù)的計(jì)算式為

將該式輸入到COMSOL Multiphysics軟件中，即可求得多孔介質(zhì)外表面的努塞爾數(shù)值，通過(guò)數(shù)值 大小就可以判斷出外壁面上對(duì)流換熱的強(qiáng)烈程度.

2 結(jié)果與討論

2.1 驗(yàn)證

經(jīng)過(guò)仿真軟件求解可以得到U、θs、θf(wàn)和Nu. 無(wú)量綱速度和溫度隨坐標(biāo)的變化如圖2所示. 由圖2(a)可以看出，U隨R的增加逐漸降低；由 圖2(b)可以看出，雙溫度隨φ值的增加，先減少后增加，但流體無(wú)量綱溫度一直高于固體的無(wú)量綱溫度；由圖2(c)可以看出，溫度θs和θf(wàn)隨Z的增加快速降低并趨于0.

圖2 無(wú)量綱速度和溫度隨坐標(biāo)的變化Fig. 2 Variation of dimensionless velocity and temperature with coordinates

為驗(yàn)證本研究中數(shù)值解的正確性，將Brinkman流動(dòng)退化到Darcy流動(dòng)的情形，并以努塞爾數(shù)隨Bi變化為例，驗(yàn)證本文數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[19]中努塞爾數(shù)的解析解的一致性，結(jié)果如圖3所示. 由圖3可以看出兩者具有很好的一致性. 因此，可以間 接驗(yàn)證本文結(jié)果的正確性.

圖3 努塞爾數(shù)的變化Fig. 3 Variation of Nusselt number

2.2 努塞爾數(shù)分布特性

在之后的模型中，默認(rèn)M，Pe，Bi，κ及Da 分別取0.1，50，100，0.033 988，1.

努塞爾數(shù)隨坐標(biāo)的變化如圖4所示. 圖4(a)顯示了Nu隨坐標(biāo)Z 的 變化，可知當(dāng)Z < 5時(shí)，Nu快速減小，隨后趨于漸近值. 這意味著對(duì)流換熱在入口處最強(qiáng)烈，隨后快速減小. 這是由于對(duì)流換熱的強(qiáng)烈程度依賴(lài)于溫差的大小. 圖4(b)顯示了Nu隨φ值的變化，為先減小后增大的余弦函數(shù)，這是由入口條件所決定的，所以壁面的對(duì)流換熱強(qiáng)烈程度與入 口邊界條件有很大聯(lián)系.

圖4 Nu隨坐標(biāo)的變化Fig. 4 Variations of Nu with coordinates

2 .3 參數(shù)研究

2.3.1 畢渥數(shù)的影響

Bi對(duì) Nu 的影響如圖5所示. 由圖可見(jiàn)， Nu隨著B(niǎo)i的增加先增加，后趨于一個(gè)漸近值. 這是因?yàn)殡S著 Bi的增加，流體與固體骨架之間的熱交換速率逐漸變快，當(dāng)Bi趨于無(wú)窮大時(shí)，LTNE模型退化為L(zhǎng)TE模型（即局部熱平衡模型），此時(shí)流體與固體快速完成熱量交換，溫度場(chǎng)控制方程也由雙溫度場(chǎng)控制方程變?yōu)閱螠囟葓?chǎng)控制方程. 當(dāng)被退化到達(dá)西流時(shí)，Nu隨Bi的變化與文獻(xiàn)[19]中的解析解相同. 圖中可以看出Brinkman流動(dòng)下的 Nu要低于Darcy流動(dòng)的情形，這是由于Brinkman流動(dòng)考慮到了剪切能量耗散，流體流速降低，導(dǎo)致對(duì)流換熱強(qiáng)烈程度減弱.

圖5 N u 隨B i的變化Fig. 5 Variations of Nu with Bi

2.3.2 貝克來(lái)數(shù)的影響

Pe 表征對(duì)流與擴(kuò)散的相對(duì)比例，Pe 越大，就意味著對(duì)流越來(lái)越強(qiáng)烈. 圖6展示了Nu 隨Pe的變化，從圖中可以明顯看到Nu隨Pe單調(diào)增加，這就意味著Pe越大，壁面的對(duì)流換熱越強(qiáng)烈. 這是由于Pe的增加使管內(nèi)的對(duì)流程度增大，因此加快了熱量傳遞. 所以工程中可以通過(guò)提高Pe來(lái)增強(qiáng)多孔介質(zhì)圓管的換熱性能.

圖6 N u隨Pe的變化Fig. 6 Variations Nu of with Pe

2.3.3 導(dǎo)熱比的影響

κ為流體有效熱導(dǎo)率與固體骨架有效熱導(dǎo)率之比. 圖7展示了Nu隨κ的變化. 圖中可以看出，隨著κ的增加，Nu逐漸下降. 這是由于隨著κ的增加，固體的有效熱導(dǎo)率相對(duì)于液體的有效熱導(dǎo)率越來(lái)越小，固體內(nèi)部導(dǎo)熱變緩，溫度明顯降低. κ的增加嚴(yán)重影響了多孔介質(zhì)圓管內(nèi)溫度的傳遞，因此Nu隨著 κ的增加明顯降低.

圖7 Nu隨κ的變化Fig. 7 Variations Nu of with κ

2.3.4 黏度比的影響

圖8展示了Nu隨M的變化. 圖?中可以看出，Nu隨M的增大而減小.M表征黏度的大小，M越大，流體黏度越大，當(dāng)M趨于1時(shí)，流體速度變得極其緩慢，熱量傳遞幾乎由熱傳導(dǎo)實(shí)現(xiàn). 因此，隨著M增加，Nu 呈現(xiàn)下降趨勢(shì). 在工程中為提高熱量交換程度，可以通過(guò)減小流體的M 來(lái)實(shí)現(xiàn).

圖8 Nu隨 M的變化Fig. 8 Variations Nu of with M

2.3.5 達(dá)西數(shù)的影響

圖9展示了Nu隨Da的變化. 由圖可見(jiàn)，隨著Da的增加，Nu先增加，后趨于漸近值.Da表征多孔介質(zhì)滲透能力的大小，Da越大，滲透能力越強(qiáng).隨著Da的增大，液體在多孔介質(zhì)中滲透越快，對(duì)流增強(qiáng)，換熱變快. 因此隨著Da的增加，Nu逐漸增大. 當(dāng)Da達(dá)到某個(gè)值時(shí)，Nu趨于一個(gè)漸近值且?guī)缀醪辉僮兓?，工程中可以利用此?guī)律將Da調(diào)到合適的值即可得到較大的壁面換熱效率.

圖9 Nu隨D a的變化Fig. 9 Variations Nu of with Da

3 結(jié)語(yǔ)

本研究對(duì)多孔介質(zhì)圓管內(nèi)強(qiáng)迫對(duì)流換熱強(qiáng)烈程度進(jìn)行研究，其中溫度場(chǎng)和流動(dòng)場(chǎng)分別采用更加符合實(shí)際情況的局部熱非平衡控制方程和Brinkman流動(dòng)方程，通過(guò)COMSOL Multiphysics軟件求解得到對(duì)流換熱的分布情況，并且分析了相關(guān)參數(shù)的影響：

1)Nu隨Z的增大先迅速減小，后趨于漸近值；Nu隨φ的變化強(qiáng)烈依賴(lài)于入口邊界條件的變化；

2)Nu隨Bi和Da的增大先增加，后趨于漸近值；Nu隨Pe的增加單調(diào)遞增；隨κ和M的增加，Nu逐漸降低，然后趨于一個(gè)漸近值；

3) κ、P e、B i對(duì)Nu的影響最為劇烈，Da、M對(duì)Nu的影響相對(duì)較小.