南京林業(yè)大學(xué) 解文周 張子璇 臺永鵬

兩輪自平衡小車由于其不穩(wěn)定性、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，成為測試控制算法的代表平臺。通過比較在不同的常規(guī)輸入下并行PID控制和串級PID控制自平衡小車的各項(xiàng)響應(yīng)，分析兩種控制系統(tǒng)的各自優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍。指出了串級系統(tǒng)相對較優(yōu)秀的抗干擾能力以及并行系統(tǒng)在一定干擾下的良好穩(wěn)定性。

兩輪自平衡機(jī)器人是典型的倒立擺模型，具有本質(zhì)不穩(wěn)定性、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，成為測試控制算法的代表平臺。針對兩輪自平衡機(jī)器人，目前采用的控制方法主要有模糊控制、自適應(yīng)控制、LQG控制和PID控制等。PID控制是應(yīng)用最為廣泛的一種自動控制策略。它具有原理簡單，易于實(shí)現(xiàn)，適用面廣，控制參數(shù)相互獨(dú)立，參數(shù)的選定比較簡單等優(yōu)點(diǎn)；而且在理論上可以證明，對于過程控制的典型對象——“一階滯后+純滯后”與“二階滯后+純滯后”的控制對象，PID控制器是一種最優(yōu)控制，但其仍存在易導(dǎo)致大的超調(diào)量和易受到干擾等問題。

兩輪自平衡機(jī)器人常見的PID控制方法有并行控制和串級控制兩種，目前關(guān)于兩種控制方法之間控制效果比較的研究較少，各自優(yōu)缺點(diǎn)尚不明朗。本文通過對兩輪自平衡機(jī)器人建立動力學(xué)模型，分別搭建串級PID控制系統(tǒng)與并行PID控制系統(tǒng)，比較分析了兩種控制方法在不同輸入下的輸出結(jié)果，并指出了各自的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 動力學(xué)模型

為了簡易兩輪自平衡機(jī)器人的分析研究，建立其簡化模型，如圖1所示。以車輪軸線為y軸，車體前進(jìn)方向?yàn)閤軸，車軸中點(diǎn)豎直方向?yàn)閦軸，建立坐標(biāo)系。圖中車輪質(zhì)量M為15kg，車體質(zhì)量m為65kg，質(zhì)心到車輪軸線的距離L為0.5m，車輪半徑r為0.3m，Tc為外界給車體的轉(zhuǎn)矩，Iw為車輪的轉(zhuǎn)動慣量，Ib為車體的轉(zhuǎn)動慣量，θ為車體轉(zhuǎn)過的角度，Mb為電機(jī)給車體的轉(zhuǎn)矩，Mω為電機(jī)給車輪轉(zhuǎn)矩，φ為車輪轉(zhuǎn)過的角度，F(xiàn)f為地面給車輪的摩擦力。Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分 別為車輪對車體施加的力。根據(jù)牛頓第二定律，得出小車動力學(xué)方程如下：

圖1 動力學(xué)簡化模型

式中：

2 控制系統(tǒng)設(shè)計

2.1 并行PID設(shè)計

并行PID控制即對角度和速度兩個不同的控制對象并行控制，各自控制過程分開同時進(jìn)行，然后將控制結(jié)果同時輸出。建立并行PID控制系統(tǒng)模型如圖2所示。使用階躍信號和常數(shù)信號模擬實(shí)際工作中的干擾。同時，小車的驅(qū)動力矩不可能無限大，根據(jù)現(xiàn)實(shí)中的工作情況，對小車的驅(qū)動力矩設(shè)置一個最大值。系統(tǒng)根據(jù)輸入的角度和速度期望值，測試不同輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)。

圖2 常用的并行PID框圖

2.2 串級PID設(shè)計

串級PID控制系統(tǒng)就是將兩個PID控制器串聯(lián)起來，外環(huán)主控制器的輸出作為內(nèi)環(huán)副控制器的輸入，由內(nèi)環(huán)控制器去操作執(zhí)行機(jī)構(gòu)（本文即驅(qū)動電機(jī)）。內(nèi)環(huán)控制器為外環(huán)控制器內(nèi)的負(fù)反饋系統(tǒng)，以外環(huán)控制器為主導(dǎo)，將兩個控制器串聯(lián)，在干擾未能使外環(huán)控制器發(fā)生作用時，便由內(nèi)環(huán)控制器進(jìn)行“粗調(diào)”，之后再由外環(huán)控制器進(jìn)行“細(xì)調(diào)”，因此串級PID控制系統(tǒng)的控制質(zhì)量明顯優(yōu)于簡單控制系統(tǒng)。但由內(nèi)環(huán)控制器進(jìn)行“粗調(diào)”的干擾不宜過多，否則時間滯后變大，影響控制質(zhì)量。將角度控制器作為內(nèi)環(huán)控制器，速度控制器作為外環(huán)控制器，同樣在各種輸入下設(shè)置驅(qū)動力矩最大值建立串級PID控制系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 串級PID框圖

2.3 參數(shù)整定結(jié)果

在參數(shù)整定過程中通過PID參數(shù)整定經(jīng)驗(yàn)公式得到相應(yīng)參數(shù)。將經(jīng)驗(yàn)參數(shù)最后代入系統(tǒng)調(diào)節(jié)，直至系統(tǒng)在大多數(shù)情況下可穩(wěn)定運(yùn)行，最終得到并行PID控制參數(shù)：PID angle:Kp=-1106，Kd=-216；PID velocity:Kp=60，Ki=20，Kd=-35；串級PID控制參數(shù)：PID angle:Kp=-180，Kd=-80；PID velocity：Kp=3.2，Ki=0.4，Kd=-0.1。

3 仿真分析

3.1 平衡控制

設(shè)置期望值v=0，θ=0，在階躍信號與恒定力矩Tc輸入干擾下運(yùn)行仿真，得到的響應(yīng)如圖4和圖5所示。從圖中可以看出，兩種信號輸入下，小車均能在一定時間內(nèi)到達(dá)平衡，但并行PID控制相對于串級PID控制系統(tǒng)動態(tài)性能有了明顯改善。當(dāng)輸入階躍信號時，兩種控制方案達(dá)到平衡時間大致相等，但串級控制系統(tǒng)的角度超調(diào)量和速度超調(diào)量約為0.016rad和0.15m/s，而并行控制的超調(diào)量只有0.006rad和0.09m/s。當(dāng)輸入外界干擾Tc=3N?m時，串級控制系統(tǒng)的角度超調(diào)量和速度超調(diào)量約為0.009rad和2.7m/s，并行控制的超調(diào)量約為0.014rad和0.6m/s，而兩種方案下小車達(dá)到平衡的時間相差不大。

圖4 階躍輸入下時V=0，θ=0的響應(yīng)曲線

圖5 Tc=3N?m時V=0，θ=0的響應(yīng)曲線

3.2 速度控制

考慮在階躍信號與恒定力矩Tc干擾下，給定不同的速度期望值v=2m/s和6m/s時系統(tǒng)的響應(yīng)，如圖6和圖7所示。從圖中可以看出隨著速度的期望值增大，達(dá)到平衡的時間也隨之增長，超調(diào)量也逐漸變大。當(dāng)速度期望值為v=2m/s時，輸入階躍信號，串級控制和并行控制達(dá)到平衡的時間分別為10s和12s；輸入Tc=3N?m，二者達(dá)到平衡時間大致都為15s，但隨著輸入的干擾力矩的不斷增大，串級控制的優(yōu)越性便表現(xiàn)明顯，無論是超調(diào)量還是調(diào)節(jié)時間都小于并行控制。當(dāng)速度期望為v=6m/s時，輸入階躍信號，兩種方案達(dá)到平衡的時間大致都為22s，但串級控制的總體響應(yīng)仍然要較優(yōu)于并行控制；輸入Tc=3N?m，兩種方案的總體響應(yīng)并無太大區(qū)別，但隨著輸入的干擾力矩的不斷增大，由于現(xiàn)實(shí)中驅(qū)動力矩的限制，速度的期望值超過一定值后，驅(qū)動力矩便不足以使系統(tǒng)在滿足速度期望值的情況下達(dá)到平衡。經(jīng)過進(jìn)一步的仿真分析發(fā)現(xiàn)，Tc=3.45N?m時，串級控制系統(tǒng)失去平衡，而并行控制系統(tǒng)直至Tc=4.2N?m時才失去平衡。

圖6 階躍輸入時的響應(yīng)曲線

圖7 Tc=3N?m時響應(yīng)曲線

通過并行PID控制和串行PID控制對兩輪自平衡機(jī)器人在不同輸入下的仿真結(jié)果可知，兩種控制方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。在外部干擾較小時，串級PID控制由于其內(nèi)外環(huán)控制特點(diǎn)，對干擾的抑制能力的到增強(qiáng)，控制作用更加及時，系統(tǒng)的各項(xiàng)動態(tài)性能指標(biāo)均相對更優(yōu)異；若是對系統(tǒng)的速度要求為0時，并行PID控制的表現(xiàn)更好，對系統(tǒng)驅(qū)動力的要求也更低。同時當(dāng)外部干擾達(dá)到一定值時，克服干擾的能力受到影響，串級PID控制系統(tǒng)就會“失穩(wěn)”，而此時并行PID控制系統(tǒng)仍能達(dá)到平衡，換言之，一定干擾范圍內(nèi)串級系統(tǒng)的抗干擾能力更強(qiáng)，而并行PID控制系統(tǒng)對較大干擾的穩(wěn)定性表現(xiàn)更好。