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拉索是一種只受拉不受壓的非線性結(jié)構(gòu)，因其高效的受拉性能，被廣泛用于大跨度斜拉橋、拱橋、穹頂、屋蓋網(wǎng)架、空間索網(wǎng)等特殊復(fù)雜結(jié)構(gòu)。拉索是索結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵受力構(gòu)件，通過自身索體預(yù)應(yīng)力的大小實現(xiàn)整體索結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布、保證結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、傳遞結(jié)構(gòu)荷載、控制結(jié)構(gòu)線形形態(tài)等。因此，無論在索結(jié)構(gòu)施工過程階段還是運營使用階段，準確地測量以及控制拉索的索力大小對索結(jié)構(gòu)的整體安全性和穩(wěn)定性都至關(guān)重要。

目前，常用的拉索索力測量方法主要包括壓力傳感器測試法、磁通量法和振動法。壓力傳感器測試法：通過在拉索錨固端設(shè)置壓力傳感器，將壓力傳感器所測壓力作為拉索的索力。該方法需在建造過程中事先將壓力傳感器安裝至拉索錨固端，無法測量已有索結(jié)構(gòu)的拉索索力。磁通量法：在拉索索體上安裝電磁傳感器，通過拉索受拉后索體橫截面積變化引起的磁通量變化來推算拉索的索力。該方法同樣需事先安裝磁通量傳感器，僅適用于在建索結(jié)構(gòu)的拉索索力測量。振動法：首先利用加速度傳感器釆集測量拉索在環(huán)境激勵或人工激勵下的自振頻率，然后通過自振頻率與索力的關(guān)系計算拉索索力。該方法可適用于在建和已建的索結(jié)構(gòu)，應(yīng)用范圍較廣，但該方法的測量精度受理論公式的準確性以及拉索邊界條件的影響[1-2]。

以往采用振動法測量拉索索力時，為便于計算，往往將拉索簡化為兩端鉸支的振弦，忽略拉索邊界剛度對索力的影響，無法保證索力測量結(jié)果的準確性。本文在考慮拉索錨固邊界及減振器的邊界剛度影響的情況下，進行拉索的有限元仿真分析，擬合出拉索索力與多階固有頻率之間的理論公式，再將實測多階固有頻率代入理論公式計算拉索的真實索力，從而提高振動法測量拉索索力的準確性。

1 拉索的梁振動模型

梁振動模型是經(jīng)典的拉索振動模型，是將拉索振動模擬為考慮軸力作用的梁振動，只考慮拉索的橫向振動，忽略拉索的軸向振動。梁振動模型的優(yōu)點是可以考慮拉索抗彎剛度對振動的影響，即假定拉索在軸力（索力T）作用下作橫向振動時，考慮軸力因拉索變形而產(chǎn)生的彎矩作用（圖1）。

圖1 梁振動模型受力示意

依據(jù)梁的動力學(xué)狀態(tài)，可建立運動微分方程，如式（1）所示。

假定拉索振動為正弦振動，可設(shè)拉索的位移函數(shù)y＝φ(x)·sin(ωt＋φ)，代入上式可得式（2）：

設(shè) α2＝T/(EI)，β4＝mω2/(EI)，代入上式可得式（3）：

設(shè)式（3）的解為：

式中：

當(dāng)拉索為兩端鉸支時，由兩端位移為0，彎矩為0的約束條件可解出索力的解析解，如式（5）～式（7）所示。

式中：ω——拉索振動的圓頻率；

f ——拉索振動頻率；

m ——拉索的單位長度質(zhì)量。

通過上述拉索索力計算公式可得，拉索索力基本與固有頻率呈二次函數(shù)關(guān)系。當(dāng)拉索兩端邊界為鉸支時，可得出拉索索力與頻率間的解析關(guān)系式，而當(dāng)拉索兩端為彈性邊界時則無法得出解析式，須通過數(shù)值仿真獲取數(shù)值解。

2 拉索的有限元振動模型

依據(jù)上述拉索的梁振動模型的解析式可知，拉索的振動特性與拉索邊界剛度有著密切關(guān)系，但是僅在拉索錨固邊界為鉸支的情況下，才能通過拉索的梁振動模型計算得出解析解，而且計算過程相對復(fù)雜。同時，上述拉索的梁振動模型忽略了幾何剛度的影響，無法真實反映拉索在索力作用下的剛度變化，從而影響計算結(jié)果的準確性。

針對拉索的梁振動模型在解析過程中存在的各種問題，本文選取目前較為主流的有限元數(shù)值分析法建立拉索的振動模型，在拉索的梁振動模型基礎(chǔ)上考慮拉索結(jié)構(gòu)的幾何剛度效應(yīng)以及拉索錨固邊界和減振器的剛度，盡可能真實地反映拉索的振動狀態(tài)。

2.1 錨固邊界剛度

建立拉索的有限元振動模型時，基于梁振動模型理論采用梁單元模擬拉索，但是梁單元具備可受拉、受壓、受彎和受扭的單元屬性，與拉索的近似只受拉不受壓非線性屬性有所差別。因此，在模擬時還應(yīng)考慮P-Δ效應(yīng)，考慮內(nèi)力對梁單元幾何剛度的影響。

梁單元節(jié)點具備6個自由度：三向線位移（x，y，z）和三向角位移（Rx，Ry，Rz）。拉索以平面振動為主，模擬時可忽略拉索錨固端扭轉(zhuǎn)剛度的影響。因此，建立模型時依據(jù)拉索實際邊界情況，在梁單元兩端節(jié)點的4個自由度上（y，z，Ry，Rz）施加彈性約束，約束節(jié)點的扭轉(zhuǎn)自由度（Rx），以此反映邊界剛度對拉索振動模態(tài)的影響；梁單元軸向（x）施加內(nèi)力（索力），以此模擬拉索的索力對幾何剛度的影響（圖2）。

圖2 考慮錨固邊界剛度的拉索有限元振動模型

拉索錨固邊界剛度K的獲取，首先是通過建立索結(jié)構(gòu)的整體有限元模型；然后在整體有限元模型中刪除所需要分析的拉索單元，并在拉索單元錨固節(jié)點上分別施加5個自由度方向的單位力，通過計算各個自由度方向單位力作用下的變形Δ；最后，可得出拉索錨固端各個自由度所對應(yīng)的邊界剛度K＝1/Δ。

2.2 減振器的模擬

拉索為柔性結(jié)構(gòu)，在諸如車輛荷載、風(fēng)荷載等活載作用下易產(chǎn)生振動，尤其是大跨度斜拉橋上的拉索易在風(fēng)雨的作用下產(chǎn)生共振，從而影響整體結(jié)構(gòu)的安全性和穩(wěn)定性。因此，為了避免拉索在外界作用下產(chǎn)生共振或因振動導(dǎo)致被破壞等情況，常常在拉索錨固端附近設(shè)置減振器，起到減小振幅甚至抑制振動的效果。

減振器的介入會改變拉索的振動體系，無論是減振器的約束剛度、阻尼還是安裝位置都會影響拉索振動的固有頻率以及振型。若要精確計算帶減振器的拉索的固有頻率，則必須準確模擬減振器對拉索振動體系的影響。本文依據(jù)減振器的構(gòu)造形式、材料彈性模量來推算減振器的約束剛度Kj，并在拉索對應(yīng)位置施加相對應(yīng)約束剛度的彈性約束，從而實現(xiàn)模擬減振器對拉索振動影響的效果。

因減振器的一端與拉索連接，另一端與索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)相連，在建立帶減振器的拉索有限元振動模型時，不能僅將減振器約束剛度作為彈性約束的剛度，而應(yīng)將減振器約束剛度Kj和索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)剛度K(y,z)這二者的串聯(lián)剛度作為彈性約束的剛度，施加于拉索有限元振動模型中（圖3）。

圖3 考慮減振器剛度的拉索有限元振動模型

減振器與索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)的串聯(lián)剛度Kc可按式（8）、式（9）計算。

式中：Kj——減振器約束剛度；

K(y,z)——索網(wǎng)整體結(jié)構(gòu)剛度；

Kc——串聯(lián)剛度。

2.3 固有頻率與索力的關(guān)系

考慮拉索錨固端邊界以及減振器約束邊界的作用，將拉索索力作為初始內(nèi)力施加于拉索軸線方向，在考慮P-Δ效應(yīng)的情況下計算拉索振動的固有頻率。通過計算不同索力作用下的拉索固有頻率，擬合出頻率-索力的理論公式，從而可將實測拉索振動頻率代入此理論公式計算出拉索實測索力。一般選取5～10組索力計算對應(yīng)拉索固有頻率，通過多組索力和對應(yīng)的固有頻率進行頻率-索力的函數(shù)關(guān)系擬合。參照上文中拉索的梁振動模型，可知拉索索力與頻率基本呈二次函數(shù)關(guān)系。因此，可利用二次函數(shù)關(guān)系式進行頻率-索力的理論公式擬合（圖4）。

圖4 拉索的頻率-索力擬合曲線

3 現(xiàn)場測試采樣

振動法測量拉索索力的關(guān)鍵是獲取拉索的固有頻率，現(xiàn)場測量主要是通過在拉索上固定加速度傳感器，獲取拉索的加速度時程信號，并通過FFT轉(zhuǎn)換得到拉索的固有頻率。但在現(xiàn)場實際測量過程中，外界環(huán)境的白噪聲干擾不可避免，因此，為了確保測量所得固有頻率的準確性以及測量結(jié)果的可靠性，應(yīng)對每一根拉索進行多次測量，而且每次測量的采樣頻率應(yīng)不相同，以此獲取拉索的多階固有頻率。依據(jù)測量獲取的多階固有頻率可換算得出多個拉索索力計算結(jié)果，以多個拉索索力計算結(jié)果的平均值作為可靠的索力測量值。拉索的橫向振動可分為y、z這2個方向的振動（圖5），且根據(jù)不同方向的約束邊界條件，同一階次的2個方向振型也會有所不同。因此，在現(xiàn)場測量之前，應(yīng)依據(jù)拉索的理論振型確定加速度傳感器的固定方向，獲取指定方向的固有頻率。與此同時，拉索的振動具有周期性特點，現(xiàn)場測量主要通過采集某個周期性振動過程中的多個數(shù)據(jù)點來反映該振動的周期性特征，從而計算出該振動的固有頻率。在計算過程中，要較為準確地擬合出一條周期性時程曲線至少需要5個數(shù)據(jù)點，因此，為了保證所采集的固有頻率的準確性，測量時的采樣頻率至少為固有頻率的5倍（圖6）。

圖5 拉索振型示意

圖6 拉索的加速度時程曲線

4 案例分析

本文以一大跨度系桿拱橋為例，驗證上述振動法測量拉索索力的準確性和可靠性。該項目為下承式系桿鋼拱橋（圖7），主橋跨徑109 m，全橋共設(shè)2片箱形拱肋和系梁，系梁之間通過工字型鋼橫梁連接。全橋?qū)ΨQ設(shè)置15組拉索，拉索間距6.5 m，拉索上錨點采用耳板與拱肋插銷連接，拉索下錨點通過錨具與系梁固定連接，在距離下錨點1.95 m位置設(shè)置高阻尼橡膠減振器（圖8）。

圖7 下承式系桿鋼拱橋立面示意

圖8 拉索邊界示意

在進行拉索索力測量前，先通過有限元仿真分析確定每根拉索在15組不同索力（100～1 000 kN）下的前3階固有頻率，再通過二次函數(shù)關(guān)系式擬合出每根拉索的頻率-索力理論公式。現(xiàn)場測量時選取10倍固有頻率的采樣頻率進行測試采樣，以確保實測固有頻率的準確性。最后，將實測固有頻率代入頻率-索力理論公式中計算每根拉索的索力實測值。通過計算得出15組拉索的頻率-索力理論公式T＝af2＋bf＋c，如表1所示。

表1 拉索的頻率-索力理論公式

將每根拉索的3階實測頻率代入上述頻率-索力理論公式，計算得出每根拉索的3階索力平均值，如表2所示。通過拉索索力的實測值與理論值對比可得，除1、2號拉索索力實測值與理論值的偏差率為10%外，其余拉索索力實測值與理論值的偏差基本在8%以內(nèi)，表明本文所述拉索索力的振動法測量準確性可滿足工程需求，且通過3階固有頻率換算的索力實測平均值的可靠性相對較高。

表2 拉索索力實測值-理論值對比

5 結(jié)語

本文對振動法測量拉索索力進行了研究，在考慮拉索錨固邊界剛度以及減振器邊界剛度對拉索振動固有頻率影響的情況下，建立了拉索的梁振動模型，并通過有限元仿真分析計算拉索在多組索力作用下的多階固有頻率，再利用二次函數(shù)關(guān)系式擬合出拉索的頻率-索力理論公式，最終將實測拉索多階固有頻率代入頻率-索力理論公式中，計算拉索多階索力的平均值作為索力測量值。

通過實際工程案例的驗證，本文提出的有限元分析結(jié)合實測多階頻率的拉索索力測量方法，可提高振動法測量索力的準確性和可靠性。

[1] 蔣勇.基于頻率法的拉索索力監(jiān)測的應(yīng)用研究[D].杭州:浙江大學(xué),2013.

[2] 克拉夫,彭津.結(jié)構(gòu)動力學(xué):第二版(修訂版)[M].王光遠,等,譯.北京:高等教育出版社,2006.