盧明明，付喜鋒，周家康，宋盾蘭，杜永盛

（ 長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，吉林省微納與超精密制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春 130012 ）

近年來(lái)，橢圓振動(dòng)輔助切削技術(shù)被廣泛應(yīng)用于國(guó)防、航天航空等亟需超精密制造技術(shù)的領(lǐng)域。 從20 世紀(jì)80 年代專家學(xué)者基于一維振動(dòng)切削的基礎(chǔ)提出的橢圓振動(dòng)切削技術(shù)（2D-EVC）[1]，到如今的三維橢圓振動(dòng)切削（3D-EVC）研究，橢圓振動(dòng)輔助切削技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于眾多高精尖領(lǐng)域。 3D-EVC技術(shù)由于具有高效的加工特點(diǎn)得到重點(diǎn)關(guān)注，研究者針對(duì)3D-EVC 技術(shù)在裝置設(shè)計(jì)與優(yōu)化、切削力建模分析、顫振辨識(shí)與抑制等多個(gè)方面開展了深入研究[2-5]。

3D-EVC 主要是通過(guò)壓電驅(qū)動(dòng)器輸出位移，經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)的傳遞與合成來(lái)實(shí)現(xiàn)橢圓振動(dòng)軌跡輸出，而壓電陶瓷材料固有的遲滯非線性將會(huì)影響其加工精度及系統(tǒng)內(nèi)部的穩(wěn)定性[6]。 然而針對(duì)3D-EVC 系統(tǒng)遲滯補(bǔ)償?shù)南嚓P(guān)研究并不詳盡，大多數(shù)研究對(duì)此采取忽略處理。

選用準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)膲弘娺t滯模型描述系統(tǒng)的遲滯非線性是遲滯補(bǔ)償研究的重要基礎(chǔ)。 壓電遲滯建模的方法眾多， 最常用的就是采用數(shù)學(xué)模型建模。該類數(shù)學(xué)模型類別眾多，表達(dá)形式各有不同，其中就包含Preisach 模型[7]、Duhem 模型[8]和Bouc-Wen[9]模型等。 Bouc-Wen 模型是一種具有表達(dá)形式簡(jiǎn)潔直觀特點(diǎn)的微分方程類數(shù)學(xué)模型，選擇該模型可在節(jié)省大量復(fù)雜建模運(yùn)算的同時(shí)，更好地服務(wù)于控制策略的設(shè)計(jì)。

參數(shù)辨識(shí)方法的優(yōu)劣決定了模型辨識(shí)精度的高低。 近年來(lái)，諸如蝙蝠算法[10]、粒子群算法[11]、蟻群算法等[12]一系列元啟發(fā)式人工智能算法在參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域得到了廣泛關(guān)注。 然而，傳統(tǒng)算法的提出與建立都遵循某些固定的機(jī)理，這就導(dǎo)致這一類算法都存在一定缺陷，如易早期收斂、尋優(yōu)能力弱等。 因此，為了提高參數(shù)辨識(shí)精度和能力，針對(duì)傳統(tǒng)算法的改進(jìn)就顯得尤為重要。

本文針對(duì)3D-EVC 系統(tǒng)進(jìn)行遲滯建模和復(fù)合控制策略的設(shè)計(jì)，以補(bǔ)償系統(tǒng)的遲滯非線性。 利用Bouc-Wen 模型描述3D-EVC 系統(tǒng)的遲滯非線性，并采用改進(jìn)的花授粉算法對(duì)模型中的未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，最終根據(jù)所建立的模型設(shè)計(jì)了“前饋-PID反饋”復(fù)合控制策略以補(bǔ)償系統(tǒng)遲滯非線性，還通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)證明該復(fù)合控制策略的有效性。

1 3D-EVC 系統(tǒng)壓電遲滯模型的建立

非共振型3D-EVC 裝置如圖1 所示，該裝置利用內(nèi)部的壓電疊堆驅(qū)動(dòng)Y1、Y2和Z 三個(gè)軸向柔性鉸鏈，促使刀尖形成三維橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡。 壓電疊堆由壓電陶瓷材料構(gòu)成，其固有的遲滯非線性會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)無(wú)法按照給定的理想輸入來(lái)輸出三維橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡。 本文利用Bouc-Wen 遲滯模型描述3D-EVC系統(tǒng)輸入電壓與輸出位移之間的關(guān)系，通過(guò)該模型來(lái)準(zhǔn)確刻畫3D-EVC 系統(tǒng)存在的復(fù)雜遲滯現(xiàn)象，為后續(xù)復(fù)合控制策略的設(shè)計(jì)奠定高精度的理論模型基礎(chǔ)。

圖1 3D-EVC 裝置結(jié)構(gòu)

1.1 Bouc-Wen 模型

Bouc-Wen 滯回模型最早是被用來(lái)表示早期的模擬金屬阻尼器精度較高的實(shí)用滯回模型。 現(xiàn)在，Bouc-Wen 模型已被廣泛應(yīng)用于描述土木、 機(jī)械等領(lǐng)域中的非線性現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

在正常加工狀態(tài)下，3D-EVC 系統(tǒng)的三相驅(qū)動(dòng)均屬于低頻率輸入，因此式（1）中的Fx″（t）可忽略不計(jì)。 為了保證系統(tǒng)的可靠性，每次進(jìn)行測(cè)量數(shù)據(jù)采集時(shí)，均需對(duì)位移傳感器進(jìn)行重新標(biāo)定，因此式（1）中的初始位移也可忽略不計(jì)。

綜合考慮以上因素后的Bouc-Wen 模型表達(dá)式可表達(dá)為：

式中：a0、a1、a2、A、β、γ、n 均為待辨識(shí)參數(shù)。

1.2 改進(jìn)花授粉算法

花授粉算法作為一種新型的群智能優(yōu)化算法，近年來(lái)被用以解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。 該算法受啟發(fā)于自然界的花授粉過(guò)程[13]，執(zhí)行尋優(yōu)操作依靠全局授粉（全局搜索）和局部授粉（局部搜索）兩個(gè)階段。

全局授粉階段的表達(dá)式為：

局部授粉階段的表達(dá)式為：

為了提高算法的收斂速度和尋優(yōu)能力，在花授粉算法前期引入粒子群算法使其更靠近最優(yōu)解范圍，從而提高尋優(yōu)速度；在算法后期，引入自調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)換概率p 來(lái)調(diào)節(jié)全局搜索和局搜索在整個(gè)搜索過(guò)程中的比例，從而提高收斂速度。

自調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)換概率p 可表示為：

式中：TM為最大迭代次數(shù)； t 為當(dāng)前迭代次數(shù)。

通過(guò)引入前期粒子群算法（PSO）和自調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)換概率p 后，經(jīng)改進(jìn)的花授粉算法（IFPA）將在一定程度上克服傳統(tǒng)算法的弊端，從而提高自身算法的尋優(yōu)能力、加快尋優(yōu)收斂速度，并為獲得更高精度的Bouc-Wen 遲滯模型提供有效的算法辨識(shí)手段。

1.3 模型參數(shù)辨識(shí)

為了對(duì)Bouc-Wen 模型中含有的未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)， 從而準(zhǔn)確描述3D-EVC 系統(tǒng)壓電遲滯特性，本文通過(guò)如圖2 所示實(shí)驗(yàn)平臺(tái)得到一定頻率下的輸入電壓-輸出位移曲線； 對(duì)3D-EVC 系統(tǒng)給予一個(gè)正弦激勵(lì)信號(hào)： y（t）=5+5sin（100πt+π/2），得到在該正弦激勵(lì)信號(hào)下的激勵(lì)相應(yīng)曲線；利用改進(jìn)后的花授粉算法對(duì)Bouc-Wen 模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)； 通過(guò)辨識(shí)得到3D-EVC 系統(tǒng)Bouc-Wen 模型（表1）。

表1 3D-EVC 系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

本文選用均方根誤差（MSE）作為模型辨識(shí)的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)，用來(lái)評(píng)價(jià)模型辨識(shí)精度。均方根誤差（MSE）表達(dá)式為：

式中：xe為實(shí)際輸出位移數(shù)據(jù)；xm為模型輸出位移數(shù)據(jù)；N 為數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)。

3D-EVC 系統(tǒng)具有Y1、Y2和Z 三個(gè)軸向， 每一個(gè)軸向子系統(tǒng)都可被視作為一個(gè)單輸入、輸出子系統(tǒng)。 由于三個(gè)軸向子系統(tǒng)的壓電遲滯模型參數(shù)辨識(shí)方法一致，本文以Y1軸向子系統(tǒng)為例進(jìn)行研究。 驗(yàn)證改進(jìn)后的花授粉算法針對(duì)Bouc-Wen 模型參數(shù)辨識(shí)的效果見圖3。

圖3 Y1 軸向子系統(tǒng)遲滯擬合

由圖3 可得，Y1軸向子系統(tǒng)的最大建模誤差為0.5074 μm、建模精度為98.24%。 由Y1軸向子系統(tǒng)遲滯曲線擬合及系統(tǒng)建模誤差可見，利用改進(jìn)后的花授粉算法辨識(shí)得到的Bouc-Wen 模型可有效地描述3D-EVC 系統(tǒng)所表現(xiàn)出的壓電遲滯非線性，具有較高的建模精度。

2 基于壓電遲滯模型的3D-EVC 系統(tǒng)復(fù)合控制策略

2.1 前饋補(bǔ)償控制策略

前饋補(bǔ)償控制策略是3D-EVC 系統(tǒng)復(fù)合控制策略的基礎(chǔ)。 由式（2）可知，本文選用的Bouc-Wen模型表達(dá)式有線性部分和遲滯非線性兩部分，因此不同于其他遲滯模型需求解復(fù)雜的遲滯逆模型數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)進(jìn)行前饋補(bǔ)償，Bouc-Wen 模型僅需對(duì)遲滯分量部分的電壓進(jìn)行補(bǔ)償，即可補(bǔ)償系統(tǒng)所表現(xiàn)的遲滯非線性。

假定輸入電壓為uI（t），經(jīng)前饋補(bǔ)償后的輸出電壓為uF（t），代入式（2）并整理得到：

由式（2）中的遲滯分量部分表達(dá)式可知，為了求得輸出量uF（t），首先利用uI（t）近似替代uF（t），求解得出遲滯分量估計(jì)值h^（t）。 此時(shí)，基于前饋補(bǔ)償?shù)腂ouc-Wen 模型表達(dá)式為：

由于近似計(jì)算導(dǎo)致遲滯分量部分產(chǎn)生誤差，因此系統(tǒng)實(shí)際輸出位移xA（t）為：

式中：hA（t）為實(shí)際遲滯分量。

綜上所述，利用前饋補(bǔ)償控制得到的系統(tǒng)誤差表達(dá)式為：

2.2 復(fù)合控制補(bǔ)償策略

前饋控制本質(zhì)上屬于一種開環(huán)控制，無(wú)法滿足系統(tǒng)對(duì)于持續(xù)穩(wěn)態(tài)的要求。 為了消除誤差，提高控制系統(tǒng)精度，本節(jié)將引入反饋控制搭建“前饋-PID反饋”復(fù)合控制策略。

在工業(yè)控制系統(tǒng)中，PID 控制已被廣泛應(yīng)用于多種系統(tǒng)回路的協(xié)同控制， 取得了一定的良好效果。PID 控制算法是一種基于偏差信號(hào)的控制算法，偏差的產(chǎn)生是由于被控對(duì)象實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)輸出，然后以反饋形式回饋到控制輸入端。PID 控制器的輸入、輸出關(guān)系為：

即：

其中，

3D-EVC 系統(tǒng)復(fù)合控制策略框圖見圖4。

圖4 復(fù)合控制策略

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文基于上節(jié)設(shè)計(jì)的“前饋-PID 反饋”復(fù)合控制策略對(duì)3D-EVC 系統(tǒng)進(jìn)行遲滯補(bǔ)償， 并采用圖2所示實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證。 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證時(shí)，以Y1軸向子系統(tǒng)為例，通過(guò)設(shè)定預(yù)期軌跡，采用上位機(jī)控制NI控制器， 并通過(guò)功率放大器作用至3D-EVC 裝置，最終通過(guò)位移傳感器返回?cái)?shù)據(jù)至上位機(jī)形成閉環(huán)，采集實(shí)際輸出軌跡以驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的復(fù)合控制策略的有效性。 圖5 是經(jīng)復(fù)合控制策略后系統(tǒng)遲滯跟蹤曲線圖，圖6 是Y1軸向子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)跟蹤軌跡曲線及誤差圖。

圖5 遲滯跟蹤曲線圖

圖6 Y1 軸向子系統(tǒng)跟蹤軌跡曲線及誤差

從圖5 和圖6 對(duì)Y1子系統(tǒng)的分析可看出，利用本文設(shè)計(jì)的復(fù)合控制策略對(duì)3D-EVC 系統(tǒng)進(jìn)行遲滯補(bǔ)償校正后，系統(tǒng)遲滯分量明顯減小，最大位移跟蹤誤差為0.304 μm。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，經(jīng)復(fù)合控制策略補(bǔ)償校正后的3D-EVC 系統(tǒng)，其遲滯現(xiàn)象得到明顯改善，系統(tǒng)的跟蹤性能也得到明顯的提升。

4 結(jié)論

壓電陶瓷材料固有的遲滯非線性是影響3DEVC 系統(tǒng)性能和裝置三維橢圓軌跡輸出的重要因素。 本文利用Bouc-Wen 模型描述系統(tǒng)壓電遲滯特性， 并利用改進(jìn)后的花授粉算法對(duì)Bouc-Wen 模型中的未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，以提高模型的參數(shù)辨識(shí)精度，還基于辨識(shí)得出的Bouc-Wen 模型設(shè)計(jì)“前饋-PID 反饋”復(fù)合控制策略，對(duì)3D-EVC 系統(tǒng)進(jìn)行遲滯補(bǔ)償研究，得到以下結(jié)論：

（1）利用復(fù)合控制策略補(bǔ)償3D-EVC 系統(tǒng)遲滯非線性后，系統(tǒng)的遲滯分量明顯較小，有效地減弱了遲滯性。

（2）以正弦信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)，系統(tǒng)位移跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，3D-EVC 系統(tǒng)在復(fù)合控制策略下具有較高的位移跟蹤性能， 其位移跟蹤誤差最大為0.304 μm，證明系統(tǒng)具有更好的魯棒性和跟蹤性能。