李海艷

(成都錦城學院 通識教育學院，四川 成都 611731)

0 引言

脈沖微分方程是數(shù)學領域的一個重要分支.有關非線性脈沖微分方程邊值問題解的問題，很多學者對其進行了研究[1]，這些文獻中涉及的方法很多，包括上下解方法、單調迭代技術、錐上的不動點定理、Leray-Schaudar原理等．此外，二階脈沖微分方程的邊值問題已經(jīng)被廣為研究[2]，但在這些文章中，作者總是假設非線性項f與一階導數(shù)x′(t)無關，或者非線性方程中不含h(t)．

筆者討論了如下邊值問題(BVP)：

(1)

筆者討論了一類二階脈沖微分方程的三點邊值問題，利用不動點指數(shù)理論獲得該問題正解的存在性定理，建立了一些該問題存在正解的充分條件．

1 預備知識

為了方便，筆者列出一些定義、注解和已知的結論．

令J0=[t0,t1],Jk=(tk,tk+1],k=1,2,…,m,t0=0,tm+1=1.PC[J,R]={xJ→R|x(t)，當t≠tk時連續(xù),存在,且當t≠tk時連續(xù),存在，且引入范數(shù)

顯然，PC[J,R]在‖·‖PC下構成一個Banach空間，PC1[J,R]在‖·‖下構成一個banach空間．

記PW[J,R]={x∈PC[J,R]|x′(t)在每個區(qū)間Jk的任意子集上絕對連續(xù)，k=1,2,…,m}.

定義1x稱為BVP(1)的一個正解，若x∈PW[J,R],x(t)>0,t∈J，且滿足(1)．

引理1[3]H?PC1[J,R]是相對緊集的充分必要條件為H中的諸函數(shù)x(t)及其導函數(shù)x′(t)都在J上一致有界且在每個Jk(k=1,2,…,m)上等度連續(xù).

1) 如果‖x‖≤‖Tx‖，對x∈?Ωρ，那么i(T,Ωρ,P)=0；

2) 如果‖x‖≥‖Tx‖，對x∈?Ωρ，那么i(T,Ωρ,P)=1．

引理3 設x∈PW[J,R]滿足:

則

引理4 設x∈PW[J,R]是BVP(1)的解，當且僅當x∈PC1[J,R]是下面脈沖積分方程的解．

其中

經(jīng)計算可得：

由于xJ→R+,x″(t)=-h(t)f(t,x(t),x′(t))≤0 ，可知x(t)在[0,1]上是凹的．令K={x∈P|x是凹的且其中γ如上所給．顯然P是E上的一個錐，K是P的一個子集．令Kr={x∈PC1[J,R]|‖x‖0．

定義算子TP→K，

筆者給出下面的假設：

(H1)假設對任意的r，r′>0，存在φ(t)∈L∞[0,1]，使得f(·,x1,x2)≤lφ(t)，其中(x1,x2)∈[0,r]×[0,r′],l=max{r,r′},t∈[0,1]．

其中，λ>0為一常數(shù)，

(H3)假設存在常數(shù)l0和b，其中

使得

為了方便，記

其中c>0,J=[0,1]．

引理6 假設(H1)、(H2)成立，那么TP→K是全連續(xù)算子，且T在P中的不動點是BVP(1)的一個正解．

證明很容易驗證(Tx)″(t)≤0，所以Tx是非負、凹的．

第一步，證明對任意的x∈P,Tx∈K．

若0<α<1，根據(jù)引理4及T的定義，由(Tx)(η)=x(η),αx(η)=x(1)，以及(Tx)(1)=x(1)，所以(Tx)(η)≥(Tx)(1)．

(2)

所以,由α(Tx)(η)=(Tx)(1)，得

即

(3)

這與Tx的凹性矛盾．所以由(Tx)(η)≤(Tx)(1)及Tx的凹性知

這表明

(4)

由式(2)～式(4)可知

接下來證明

因為

所以

綜上可知，TP→K．顯然,如果x是T在P中的不動點,則x滿足BVP(1)且是BVP(1)的一個正解．

第二步，證明T是全連續(xù)算子．

先證明T一致有界，假設S是D中的絕對有界集，即對任意的x∈S，

所以,T(S)中的諸函數(shù)及其導函數(shù)均在J上一致有界．

第三步，證明T在每個Jk(k=0,1,2,…,m)上等度連續(xù)．

于是有

所以Tx在每個Jk(k=0,1,2,…,m)上等度連續(xù)．

由引理1，T(S)是相對緊集，又結合(H1)、(H2)，易知Tx連續(xù)，故TP→K是全連續(xù)算子．

綜上可知，T在P中的不動點是BVP(1)的一個正解．證畢．

因此，由引理6的證明可知，T(K)?K．

2 主要結果

命題1 假設(H2)、(H4)成立，則存在r0>0，使得

i(T,Kr∩K,K)=1,?r>r0.

證明由(H4)可知，存在r0>0，滿足f(t,x,y)≤λ(‖x‖+‖y‖),x>r0或y>r0，t∈J.

又由(H2)知，對r0>0，存在φ(t)∈L∞[0,1]，使得

f(t,x,y)≤lφ(t),x,y∈[0,r0],t∈J.

因此對所有的x、y∈R+,t∈J，

f(t,x,y)≤λ(‖x‖+‖y‖)+lφ(t).

所以，令x∈Kr，使‖x‖=r>r0，

所以

‖Tx‖≤‖x‖,?x∈?Kr∩K.

由引理2中的2)，i(T,Kr∩K,K)=1．證畢．

命題2 假設存在c>0，有(H3)、(H5)成立，那么存在0

證明由(H5)知，存在0

取x∈Kρ，使得‖x‖=ρ，所以x∈?Kρ∩K．

由(Tx)″(t)≤0,?t∈J，有兩種情形：

對第一種情形，

對第二種情形,

所以

‖Tx‖ ≥‖x‖,?x∈?Kρ∩K.

由引理2中的1)，i(T,Kρ∩K,K)=0．證畢．

下面的定理是本文的主要結果.

定理1 假設存在c>0，有(H1)～(H5)成立，那么BVP(1)至少有一個正解．

證明由(H4)和命題1知，存在r>0，使得i(T,Kr∩K,K)=1．由(H5)和命題2知，存在0<ρ

所以BVP(1)至少有一個正解．證畢．

定理2 假設(H1)～(H3)、(H6)成立，此外，假定存在ρ2>0，使得

f(t,x,y)≤m0ρ2,x,y∈[0,ρ2],t∈J.

其中

則BVP(1)至少有一個正解．

證明對x∈?Kρ2，使得‖x‖∈ρ2，由命題1的證明，

所以

‖Tx‖≤‖x‖,?x∈?Kρ2∩K.

由引理2中的2)可知，i(T,Kρ2∩K,K)=1 ．

再由(H5)和命題2知，存在0<ρ