楊厚易，張 凱，過民龍

（廣東省建筑科學(xué)研究院集團(tuán)股份有限公司 廣州 510500）

0 引言

南方沿海地區(qū)的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)長期處于高氯鹽侵蝕環(huán)境之中，氯鹽環(huán)境下的結(jié)構(gòu)耐久性評定是近年來日益受到重視的一項性能指標(biāo)，各國每年花費(fèi)大量資金、人力和時間用于修復(fù)受氯鹽侵蝕的道路和橋梁，修復(fù)這些建筑物的費(fèi)用往往超過了其建造費(fèi)用，因此，氯鹽侵蝕環(huán)境下的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性相關(guān)評定方法受到科研人員、結(jié)構(gòu)設(shè)計者、維護(hù)人員的廣泛關(guān)注。

氯鹽環(huán)境是混泥土結(jié)構(gòu)在服役過程中的一種危險環(huán)境，環(huán)境中氯離子穿透保護(hù)層到達(dá)鋼筋表面造成鋼筋銹蝕，進(jìn)而引起結(jié)構(gòu)脹裂［1］。各國通過研究氯離子在混泥土內(nèi)的運(yùn)動規(guī)律，提出了各種模型來預(yù)測內(nèi)部鋼筋的脫鈍時間與保護(hù)層開裂時間［2-4］。西安建筑科技大學(xué)的牛荻濤等人針對混凝土結(jié)構(gòu)耐久性起草了相關(guān)評定標(biāo)準(zhǔn)，于2007年由中國工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)會批準(zhǔn)發(fā)布，即《混凝土結(jié)構(gòu)耐久性評定標(biāo)準(zhǔn)：CECS 220∶2007》［5］。2019 年，《既有混凝土結(jié)構(gòu)耐久性評定標(biāo)準(zhǔn)：GB/T 51355—2019》［6］對文獻(xiàn)［5］中的內(nèi)容進(jìn)行了修訂和補(bǔ)充。但文獻(xiàn)［5］與文獻(xiàn)［6］中，對于氯鹽環(huán)境下的混凝土鋼筋脫鈍時間與保護(hù)層銹脹開裂時間的計算模型十分復(fù)雜，難以通過整理公式獲得解析解，對標(biāo)準(zhǔn)的推廣與應(yīng)用帶來不便。對于這類難以獲得解析解的模型公式，通常采用數(shù)值進(jìn)化算法［7］進(jìn)行求解，但數(shù)值進(jìn)化算法存在局部最優(yōu)、求解結(jié)果不穩(wěn)定、運(yùn)算時間不確定等一系列問題，使得數(shù)值進(jìn)化算法存在計算風(fēng)險。本文對文獻(xiàn)［5］與文獻(xiàn)［6］中難以獲得解析解的鋼筋脫鈍模型與保護(hù)層銹脹開裂模型構(gòu)建了目標(biāo)函數(shù)，并通過進(jìn)化算法中最具有代表性的PSO 算法［8-10］對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了求解，分析了PSO 算法對于氯鹽環(huán)境下鋼筋混凝土耐久性評定中的穩(wěn)定性、安全性、可用性。

1 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建

1.1 鋼筋脫鈍模型目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建

在文獻(xiàn)［5］與文獻(xiàn)［6］中，進(jìn)行氯鹽環(huán)境下鋼筋混凝土耐久性評估的一個難點在于對鋼筋脫鈍時間和保護(hù)層銹脹開裂時間的計算。鋼筋脫鈍時間ti的計算模型如下所示：

當(dāng)ti≤t1時，ti可由式⑴求得：

當(dāng)ti＞t1時，ti=t1+t2，t2通過式⑵與式⑶求得：

式⑵中：

式中：ti為鋼筋脫鈍時間（a）；t1為混凝土表面氯離子濃度穩(wěn)定時間（a）；c為混凝土保護(hù)層厚度（mm）；D為氯離子擴(kuò)散系數(shù)（m2/a）；C（x，t）為t時刻檢測時x深度處的氯離子濃度（kg/m3）；Cs為實測混凝土表面氯離子濃度（kg/m3）；

式⑴～⑶可知，獲得鋼筋脫鈍時間ti的解析解十分困難。為了求解上述模型，本文首先構(gòu)建了模型的目標(biāo)函數(shù)，再利用PSO 算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而完成對模型的求解。對式⑴進(jìn)行整理，ti≤t1時，鋼筋托鈍時間誤差函數(shù)如式⑷所示，其中△E（ti）ti>t1為誤差函數(shù)值：

根據(jù)誤差函數(shù)，鋼筋脫鈍時間的目標(biāo)函數(shù)如式⑸所示，其中E（ti）ti≤t1的最優(yōu)解即是誤差函數(shù)值△E（ti）ti≤t1最接近0時的參數(shù)ti：

同理，當(dāng)ti＞t1時，ti=t1+t2，其中t1為定值，在ti＞t1的情況下，模型ti的求解問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榱藢2的求解，因此對式⑶進(jìn)行整理，t2的誤差函數(shù)如式⑹所示：

當(dāng)ti＞t1時，t2目標(biāo)函數(shù)為：

1.2 保護(hù)層銹脹開裂模型目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建

對于保護(hù)層銹脹開裂時間tcr的計算公式如下：

其中ti為鋼筋脫鈍時間；tc為鋼筋開始銹蝕至保護(hù)層開裂時間。tc的計算方法如式⑼所示，其中δcr為保護(hù)層開裂時的鋼筋臨界銹蝕深度；λcl為氯鹽侵蝕環(huán)境下保護(hù)層開裂前鋼筋平均年銹蝕速率：

保護(hù)層開裂時的鋼筋臨界銹蝕深度δcr可根據(jù)鋼筋直徑、保護(hù)層厚度、混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行計算，在構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時，可將該值錢視為定值。而λcl則根據(jù)式⑽進(jìn)行估算：

式中：i為鋼筋腐蝕電流密度。

鋼筋腐蝕電流密度的計算公式為：

式中：Csl為鋼筋表面氯離子濃度（kg/m3）；mcl為局部環(huán)境系數(shù)；ρ為混凝土電阻率（KΩ/cm）。

而鋼筋表面氯離子濃度Csl如式⑿所示：

其中Cs0為混凝土制備時氯離子的摻入量；c為保護(hù)層厚度。結(jié)合式⑻～⑿，想要對保護(hù)層銹脹開裂時間tcr進(jìn)行求解，需要求解鋼筋腐蝕電流密度，而求解鋼筋腐蝕電流密度則需要求解鋼筋表面氯離子濃度Csl，即式⑿，這是又是一個關(guān)于tcr的函數(shù)。因此，要得到tcr的解析解是十分困難的。

結(jié)合式⑻～⑿可得tcr的誤差函數(shù)△E（tcr）：

tcr的目標(biāo)函數(shù)則可表示為：

2 PSO算法的求解

2.1 問題的抽象

數(shù)值進(jìn)化算法借鑒了大自然中生物的行為或物理現(xiàn)象，如種群進(jìn)化、魚群覓食、鳥類捕食等。PSO 算法則是最具代表性的一種數(shù)值進(jìn)化算法，其具有廣泛的適用性，特別適用于各種模型不確定或難以獲得解析解的情況下的求解。

本文采用了數(shù)值進(jìn)化算法中的PSO 算法來對氯鹽侵蝕環(huán)境混凝土結(jié)構(gòu)耐久性評定中的鋼筋脫鈍模型和保護(hù)層銹脹開裂模型進(jìn)行求解，該算法源于對鳥類捕食行為的研究，利用群體中的個體對信息的共享，使整個群體的運(yùn)動在問題的求解空間中產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而獲得最優(yōu)解。

目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解則是目標(biāo)函數(shù)取最小值時，對應(yīng)參數(shù)ti、t2與tcr的值。為了獲得最優(yōu)解，可以在目標(biāo)函數(shù)解空間中投放一定數(shù)量的“粒子”，粒子i在目標(biāo)函數(shù)解空間中的位置表示為xi，在解空間中的前進(jìn)速度和方向表示為vi，對于粒子在解空間中的每次移動，即xi的每次取值，都可以通過目標(biāo)函數(shù)獲得對應(yīng)的適應(yīng)度值，每個粒子在移動過程中會計算自身的適應(yīng)度值，當(dāng)前粒子適應(yīng)度值的絕對值的最小值所對應(yīng)的解空間位置記為pBest，即為當(dāng)前粒子的最優(yōu)位置。此外，所有粒子的pBest所對應(yīng)的適應(yīng)度值的絕對值的最小值所對應(yīng)的解空間位置稱為gBest，即gBest是所有pBest中的最優(yōu)位置。這樣就完成了求解問題的抽象，每個粒子的pBest可以看作是同伴的經(jīng)驗，每個粒子根據(jù)自己的經(jīng)驗和同伴中最好的經(jīng)驗來決定下一步的移動，從而利用群體智慧完成解空間的尋優(yōu)任務(wù)。

2.2 求解尋優(yōu)規(guī)則

本文所采用的PSO 算法會在解空間中隨機(jī)的投放一定數(shù)量的粒子，即求解問題的隨機(jī)解，每一輪計算過程中，根據(jù)每個粒子的適應(yīng)度，計算每個粒子在解空間中的最佳位置pBest以及全局最優(yōu)位置gBest，根據(jù)pBest與gBest來指導(dǎo)粒子群在解空間的運(yùn)動趨勢，不斷地朝著最優(yōu)解的位置前進(jìn)，即數(shù)值進(jìn)化。對于k個粒子而言，找到每個粒子的pBest與全局唯一的gBest后，第i個粒子的運(yùn)動方式如下所示：

式中：xi為粒子i當(dāng)前在解空間中的位置；為粒子i在解空間中下一次移動的大小和方向；△xi為粒子i在解空間移動的大小和方向；Si為第i個粒子的記憶項；ω為慣性系數(shù)；Pi為第i個粒子的自我認(rèn)知項；Gi為第i個粒子的群體認(rèn)知項；c1為局部權(quán)重因子；c2為全局權(quán)重因子；rand_num為隨機(jī)數(shù)，其值介于（0，1）；pBesti為粒子i的最優(yōu)位置；gBesti為全局最優(yōu)位置。

式⒂～⒅中，記憶項Si表示粒子下一次的移動受到上一次移動的影響，自我認(rèn)知項Pi和群體認(rèn)知項Gi則體現(xiàn)了個體經(jīng)驗與群體智慧對尋優(yōu)求解的引導(dǎo)，其中c1和c2則用于調(diào)整二者的尋優(yōu)傾向。ω為慣性系數(shù)，該參數(shù)控制了記憶項對下一次移動的影響程度，其為動態(tài)的非負(fù)值，該值的設(shè)定方式較為靈活，通常采用線性遞減的策略：

式中：Rate為擾動概率；rand0_1為0～1之間的隨機(jī)數(shù)；max_speed為粒子的最大速度；Epoch為總的進(jìn)化次數(shù)；epoch為當(dāng)前的進(jìn)化次數(shù)。慣性系數(shù)ω讓PSO 算法在開始階段讓部分粒子擁有較高的運(yùn)動速度，使得算法有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，隨著進(jìn)化的不斷進(jìn)行，慣性系數(shù)逐漸減小，使得求解精度更高，收斂速度更快，即擁有較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力。

圖1 PSO算法流程Fig.1 Chart of PSO Algorithm

本文則通過PSO 算法強(qiáng)大的尋優(yōu)求解能力，對式⑺與式⒂進(jìn)行求解，從而實現(xiàn)對鋼筋脫鈍時間ti和保護(hù)層銹脹開裂時間tcr的求解。

3 算法安全性、穩(wěn)定性、可用性研究

對于PSO 算法而言，不同的解空間模型會影響算法的準(zhǔn)確度、求解速度及穩(wěn)定性。目標(biāo)函數(shù)的解空間存在多極值點會導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)，也可能導(dǎo)致求解結(jié)果不穩(wěn)定，使得PSO 算法存在求解風(fēng)險。因此，在使用PSO 算法之時，要結(jié)合實際求解模型，對算法求解的安全性進(jìn)行評估，在滿足安全性的基礎(chǔ)上，調(diào)整進(jìn)化算法的參數(shù)，進(jìn)一步對求解的穩(wěn)定性和可用性進(jìn)行評估。

3.1 算法安全性評估

PSO 算法的安全性指的是算法陷入局部最優(yōu)的可能性，PSO 算法陷入局部最優(yōu)的可能性越大，算法的安全性越低，會導(dǎo)致對模型求解存在多解問題。但如果誤差函數(shù)是單調(diào)的，那么目標(biāo)函數(shù)的解空間必然只有一個極值點，PSO 算法必定不會陷入局部最優(yōu)解。因此PSO 算法的安全性可以通過誤差函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行判斷。

社交電商將互動、討論、分享、溝通、關(guān)注等多種社交元素綜合運(yùn)用到電子商務(wù)交易的過程。這些社交元素會產(chǎn)生裂變效應(yīng)，由客戶去分裂出新客戶，從而產(chǎn)生低成本的客戶流量。以拼多多為代表的社交電商平臺更是將裂變功能發(fā)揮得淋漓盡致。根據(jù)QuestMobile研究數(shù)據(jù)顯示，截至2017年12月，拼多多的用戶規(guī)模僅次于手機(jī)淘寶和京東排列第三名。在用戶的活躍度方面，拼多多僅次于手機(jī)淘寶，已經(jīng)超過了京東和唯品會。拼多多這種短時間的客戶流量爆發(fā)，正是得益于微信的社交生態(tài)網(wǎng)，借助小程序的嵌入來實現(xiàn)購買鏈接在網(wǎng)購用戶的朋友圈里以及微信群里快速傳播從而實現(xiàn)客戶的裂變。

當(dāng)ti≤t1時，對式⑷進(jìn)行關(guān)于自變量ti的求導(dǎo)，可得：

其中k、c、D均為大于0的常數(shù)，可證明當(dāng)ti≤t1時，ti的誤差函數(shù)為單調(diào)遞減。

同理可得，當(dāng)ti＞t1時當(dāng)對式⑹進(jìn)行關(guān)于自變量t2的求導(dǎo)，可得

可見，對于式⑹而言，t2在解空間中是單調(diào)變化的，單調(diào)性取決于C1與Cs的大小。

對于tcr的求解的安全性，可以將式⑾進(jìn)行關(guān)于自變量tcr的求導(dǎo)，可得：

其中保護(hù)層厚度c、氯離子擴(kuò)散系數(shù)D、保護(hù)層銹脹開裂時間tcr是大于0的值，可得：

進(jìn)一步地，P2 恒大于0，因此可得式■23恒大于0，即可證明式⑾為單調(diào)遞增的函數(shù)。

結(jié)合上述結(jié)論，鋼筋脫鈍模型與保護(hù)層銹脹開裂模型的誤差函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，可證明其目標(biāo)函數(shù)有且僅有一個極值點。因此通過PSO 算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解是安全的，不存在陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險。各模型的目標(biāo)解空間分布如圖2 所示，各模型的輸入?yún)?shù)取值如下所示：混凝土表面氯離子聚集系數(shù)k=1.571 14 kg/m3，保護(hù)層厚度c=0.06 m，鋼筋表面溫度T=30 ℃，混凝土表面氯離子濃度達(dá)到穩(wěn)定值的時間t1=10 a，鋼筋脫鈍時間ti=0∶0.1∶200 a，中間變量t2=0∶0.1∶200 a，保護(hù)層銹脹開裂時間tcr=0∶0.1∶200 a，氯離子擴(kuò)散系數(shù)D=2.739 25×10-5m2/a，混凝土表面氯離子濃度Cs=5 kg/m3，混凝土制備時氯離子摻入量Cs0=1 kg/m3，t時刻x深度處色氯離子濃度C（x，t）=1 kg/m3，中間變量C1=0.020 601 2 kg/m3，混凝土電阻率ρ=3.68 KΩ/cm，局部環(huán)境系數(shù)mcl=4.5 null，保護(hù)層開裂時鋼筋臨界銹蝕深度δcr=0.087 6 mm。

圖2 目標(biāo)函數(shù)解空間分布Fig.2 Spatial Distribution of Objective Function Solution

3.2 算法可用性評估

在證明了算法的安全性之后，需要對算法的可用性進(jìn)行評估，可用性指的是算法的求解速度是否滿足夠迅速，是否滿足使用場景的需求。穩(wěn)定性與可用性主要受到算法參數(shù)與解空間分布的影響，本文所使用的PSO 算法的參數(shù)包括：minPos、maxPos為尋優(yōu)下限、上限；Size為粒子群的粒子個數(shù)；c1為粒子局部加速度；c2為粒子全局加速度；Epoch為最大進(jìn)化次數(shù)；Rate為擾動率；max_speed為粒子的最大速度；△E為進(jìn)化停止條件。

不同的尋優(yōu)求解問題擁有不同的解空間，在面對不同解空間時，上述各參數(shù)對求解結(jié)果的影響程度各不相同。針對鋼筋脫鈍時間ti與保護(hù)層銹脹開裂時間tcr的解空間，PSO 算法所采用的基礎(chǔ)測試參數(shù)如表1所示。

表1 PSO算法參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter Setting of PSO Algorithm

在3.1 節(jié)中，已證明誤差函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，在運(yùn)算精度要求不高的情況下可采用數(shù)值迭代的方式來尋找誤差函數(shù)接近0 時的參數(shù)值，其中數(shù)值迭代的最小步進(jìn)值即是求解的精度，但在求解精度要求較高的情況下，其運(yùn)算速度是無法接受的。PSO 算法則可以在保證精度的前提下，實現(xiàn)問題的高速求解。本文使用C++對算法進(jìn)行實現(xiàn)，在Intel I7 9850H 平臺進(jìn)行測試，模型輸入采用表1 所示參數(shù)，PSO 算法采用表1 所示參數(shù)，通過保護(hù)層銹脹開裂模型tcr的求解來展示兩種算法在求解時間上的差異，結(jié)果如表2所示。

表2 數(shù)值迭代算法與PSO算法求解的時間差異Tab.2 Time Difference between Numerical Iterative Algorithm and PSO Algorithm

從表2可知，在不同求解精度的情況下，PSO 算法對模型的求解速度相較于數(shù)值迭代算法擁有數(shù)量級的優(yōu)勢，在求解精度為10-6的數(shù)量級上，PSO 算法的求解時間僅為0.356 619 s，可見PSO 算法對于本文所述的模型求解問題具備極好的可用性。

3.3 算法穩(wěn)定性評估

PSO 算法的穩(wěn)定性是指求解結(jié)果可以達(dá)到的穩(wěn)定精確度。對于PSO 算法的穩(wěn)定性，可根據(jù)多次模型求解，統(tǒng)計目標(biāo)函數(shù)均值、目標(biāo)函數(shù)方差進(jìn)行評估。本文在大氣區(qū)氯鹽侵蝕環(huán)境下，針對目標(biāo)函數(shù)⑸、⑺、⒁，采用表1 與表2 的參數(shù)進(jìn)行100 次重復(fù)求解，目標(biāo)函數(shù)求解結(jié)果如圖3～圖5 所示。統(tǒng)計了誤差函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)的均值與方差，如表3所示。從表3可知，在表2 設(shè)置的參數(shù)下，PSO 算法對誤差函數(shù)的求解均達(dá)到了進(jìn)化停止條件，誤差函數(shù)均值達(dá)到了10-7的數(shù)量級，求運(yùn)算方差極小，達(dá)到了10-11的數(shù)量級。圖3～圖5 可知，PSO 算法的求解結(jié)果僅在10-4數(shù)量級上存在較小的波動，能夠保證在10-3數(shù)量級，即可以對鋼筋脫鈍時間ti與保護(hù)層銹脹開裂時間tcr實現(xiàn)精確到“小時”級的預(yù)測。綜上所述，PSO 算法對鋼筋脫鈍模型與保護(hù)層銹脹開裂模型求解可達(dá)到10-3級別的穩(wěn)定性，其求解精度滿足科研與工程要求。

圖3 PSO算法對ti的求解結(jié)果Fig.3 The Result of PSO Algorithm for ti

圖4 PSO算法對t2的求解結(jié)果Fig.4 The Result of PSO Algorithm for t2

圖5 PSO算法對tcr的求解結(jié)果Fig.5 The Result of PSO Algorithm for tcr

表3 粒子加速度對求解的影響Tab.3 Time Difference between Numerical Iterative Algorithm and PSO Algorithm

4 結(jié)論

本文針對PSO 算法在氯鹽侵蝕環(huán)境混凝土結(jié)構(gòu)耐久性評定中的應(yīng)用展開研究，通過PSO 算法來對耐久性評定中難以獲得解析解的鋼筋脫鈍時間與保護(hù)層銹脹開裂時間模型進(jìn)行求解，并通過穩(wěn)定性、安全性和可用性三個維度對PSO 算法求解上述模型的結(jié)果進(jìn)行評估和論證，對于氯鹽侵蝕環(huán)境混凝土結(jié)構(gòu)耐久性評定中的模型求解，滿足求解的安全性，實現(xiàn)了“小時”級別的求解精度和快速的求解速度，滿足科研與工程應(yīng)用的需求。