李雨珊,薛 紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

1 金融市場數(shù)學(xué)模型

1.1 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格模型

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格{S(t),t≥0}滿足隨機(jī)微分方程

(1)

μt=<μ,Xt>,μ:=(μ1,μ2,…,μN(yùn))∈RN

σt=<σ,Xt>,σ:=(σ1,σ2,…,σN)∈RN

其中<·,·>表示向量的內(nèi)積,{Xt,t≥0}為連續(xù)時(shí)間Markov鏈,表示不同市場經(jīng)濟(jì)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換。{Xt,t≥0}的取值空間為{e1,e2,…，eN},其中ei=(0,…,1,0,…,0)∈RN;(μi,σi)為第i個(gè)狀態(tài)時(shí)的標(biāo)的資產(chǎn)期望收益率和波動(dòng)率。Markov鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(2)

式中：pij(t)=P{σ(s+t)=σj|σ(s)=σi}。

根據(jù)Wick積分[20]，求得隨機(jī)微分方程(1)的解為

(3)

當(dāng){Xt,t≥0}為單狀態(tài)Markov鏈時(shí),即退化為文獻(xiàn)[9]中分?jǐn)?shù)Black-Scholes定價(jià)模型,此時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足

(4)

式(4)的解為

(5)

式(4)、(5)中標(biāo)的資產(chǎn)期望收益率μ、波動(dòng)率σ均為常數(shù)。

1.2 參數(shù)估計(jì)

(6)

極差為

(7)

Hurst建立如下關(guān)系:

(R/S)n=KnH

(8)

式中：K為常數(shù)；H為Hurst指數(shù)。對式(8)兩端取對數(shù)，并進(jìn)行最小二乘回歸分析，即可求出H的估計(jì)值。

1.2.2 期望收益率與波動(dòng)率 依據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù),采用移動(dòng)平均模型估計(jì)日波動(dòng)率，即用過去M天的收益率動(dòng)態(tài)地估計(jì)下一天的波動(dòng)率σd，

(9)

式中：

(10)

(11)

將σd、μd轉(zhuǎn)化為年波動(dòng)率。假設(shè)每年交易天數(shù)為252 d,故

(12)

μy=252μd

(13)

2 歐式期權(quán)定價(jià)

2.1 歐式期權(quán)保險(xiǎn)精算價(jià)格

設(shè)C(K,T,Xt),P(K,T,Xt)分別為到期日為T,執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看漲和看跌期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格,由文獻(xiàn)[21]知：

C(K,T,Xt)=E[(exp(-μt(Xt)T)S(T)-

exp(-rt(Xt)T)K)+]

(14)

P(K,T,Xt)=E[(exp(-rt(Xt)T)K-

exp(-μt(Xt)T)S(T))+]

(15)

其中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S(T)的貼現(xiàn)值為

exp(-μt(Xt)T)S(T)

執(zhí)行價(jià)格K的貼現(xiàn)值為

exp(-rt(Xt)T)K

特別地,在分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型中,到期日為T、執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看漲和看跌期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格[22]為

C(K,T)=S(0)N(d1)-

exp(-rT)KN(d2)

(16)

P(K,T)=exp(-rT)KN(-d2)-

S(0)N(-d1)

(17)

式中：

2.2 蒙特卡洛模擬法

一般情形下,式(16)、(17)無法得到具體計(jì)算表達(dá)式,因此選擇蒙特卡洛模擬法對期權(quán)價(jià)格進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算。具體模擬計(jì)算步驟如下:

1) 將距到期日時(shí)間[0,T]劃分成n個(gè)小區(qū)間[ti,ti+1],i=0,1,…,n-1；

2) 確定分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的有限維分布

其中Cn=(σij)n×n,

|ti-tj|2H),i,j=1,2,…n

3) 對Cn進(jìn)行Cholesky分解[23],分解因子矩陣為

4) 生成一組服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)列向量G，G=(G1,G2,…Gn)T～N(0,In×n)。

6) 由式(3)知標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的離散形式為

S(ti)=S0exp(μti(Xti)ti-

(18)

其中S(ti)表示ti時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格；

7) 根據(jù)式(14)、式(15)計(jì)算該條路徑下期權(quán)零時(shí)刻價(jià)格；

8) 重復(fù)步驟2)到步驟7),通過模擬m條樣本軌道,計(jì)算零時(shí)刻看漲期權(quán)及看跌期權(quán)價(jià)格的平均值Cmc、Pmc：

(19)

(20)

圖 1 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格樣本軌道Fig.1 Sample tracks of underlying asset price

例2歐式看漲期權(quán)價(jià)格模擬計(jì)算:采用例1標(biāo)的資產(chǎn)數(shù)據(jù),考慮一個(gè)3個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán),執(zhí)行價(jià)格K=2.6。利用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算該期權(quán)價(jià)格，結(jié)果見表1。

表 1 不同模擬次數(shù)下歐式看漲期權(quán)的模擬價(jià)格Tab.1 European call option price under different simulation times

由表1可知,當(dāng)模擬次數(shù)達(dá)到1 600次以上時(shí),期權(quán)模擬價(jià)格趨于穩(wěn)定。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)選取

選取上證50ETF期權(quán)交易數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行實(shí)證分析,數(shù)據(jù)來源于Wind,中國債券信息網(wǎng)。

1) 選取標(biāo)的資產(chǎn)50ETF樣本數(shù)據(jù),區(qū)間為2015年2月11日—2020年11月13日(1 401個(gè)交易日),獲取每日收盤價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,確定波動(dòng)率等參數(shù)。

2) 選取2018年3月12日上市的不同到期日、不同執(zhí)行價(jià)格的上證50ETF看漲期權(quán)合約樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行隱含波動(dòng)率分析。

3) 選取2020年10月9日上市,到期日分別為2020年11月25日、2020年12月23日及2021年3月24日的上證50ETF期權(quán)合約(看漲期權(quán)合約39份，看跌期權(quán)合約39份)進(jìn)行期權(quán)數(shù)值模擬分析。

3.2 數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

運(yùn)用Matlab軟件,分析上證50ETF價(jià)格的自相關(guān)系數(shù)及看漲期權(quán)隱含波動(dòng)率,結(jié)果如圖2、3所示。

圖 2 上證50ETF價(jià)格自相關(guān)系數(shù)Fig.2 Autocorrelation of SH50ETF

圖 3 看漲期權(quán)隱含波動(dòng)率曲面圖Fig.3 Implied volatility surface of call options

從圖2可看出，自相關(guān)系數(shù)衰減的速度很慢,且沒有落入2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi),因此上證50ETF價(jià)格序列具有長記憶性。利用1)中的上證50ETF樣本數(shù)據(jù),采用1.2.1中R/S估計(jì)法，得到Hurst指數(shù)估計(jì)值為0.618 6,進(jìn)一步說明了上證50ETF的收益率序列具有長相依性。

從圖3可看出,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率并不是常數(shù),而是呈現(xiàn)出明顯的“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象。

分別用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的期權(quán)定價(jià)模型(F-RM模型)、幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的期權(quán)定價(jià)模型(B-RM模型)、分?jǐn)?shù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型(F-BS模型)對3)中選擇的期權(quán)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。

3.3 參數(shù)確定

選取2019年1月2日到2019年12月31日的上證50ETF價(jià)格,利用Matlab軟件,模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度曲線,如圖4所示。圖4(a)、(b)、(c)依次為幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的資產(chǎn)價(jià)格收益率概率密度曲線、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下資產(chǎn)價(jià)格收益率概率密度曲線、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的資產(chǎn)價(jià)格收益率概率密度曲線。

(a)幾何布朗運(yùn)動(dòng)+機(jī)制轉(zhuǎn)換 (b)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng) (c)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)+機(jī)制轉(zhuǎn)換圖 4 不同環(huán)境下模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率序列概率密度Fig.4 Probability density of underlying asset price return rate in different environments

由圖4可以看出,分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型較好地?cái)M合了真實(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率概率密度曲線。

3.4 上證50ETF期權(quán)價(jià)格數(shù)值模擬

利用2.2蒙特卡洛模擬方法,模擬計(jì)算3.1中樣本數(shù)據(jù)3),分別得到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的期權(quán)定價(jià)模型(F-RM模型)、幾何布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的期權(quán)定價(jià)模型(B-RM模型)和分?jǐn)?shù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型(F-BS模型)的數(shù)值模擬結(jié)果,如表2所示。

表 2 不同模型下上證50ETF期權(quán)的模擬價(jià)格Tab.2 SH50ETF option simulation prices in different models

到期日看漲期權(quán)實(shí)際價(jià)格F-RMF-BSBS-RM看跌期權(quán)實(shí)際價(jià)格F-RMF-BSBS-RM2020-12-230.263 6 0.276 6 0.297 1 0.297 7 0.058 8 0.031 1 0.021 0 0.024 92020-12-230.198 4 0.201 5 0.234 1 0.231 2 0.092 7 0.074 4 0.048 1 0.052 9 2020-12-230.142 2 0.140 8 0.155 9 0.151 8 0.137 0 0.094 3 0.078 0 0.085 6 2020-12-230.101 3 0.089 9 0.123 0 0.135 9 0.193 6 0.145 6 0.130 2 0.141 2 2020-12-230.070 6 0.059 0 0.049 1 0.057 5 0.264 9 0.213 1 0.190 1 0.203 6 2020-12-230.048 8 0.040 7 0.028 9 0.030 5 0.346 0 0.268 4 0.233 7 0.282 6 2020-12-230.035 7 0.026 3 0.012 7 0.019 5 0.431 9 0.379 8 0.364 5 0.371 2 2020-12-230.026 4 0.015 4 0.006 1 0.008 3 0.514 4 0.476 1 0.448 0 0.456 6 2020-12-230.020 0 0.009 3 0.005 4 0.006 7 0.609 3 0.584 2 0.570 4 0.557 1 2021-03-240.418 1 0.437 8 0.455 8 0.441 6 0.060 4 0.036 8 0.021 2 0.036 2 2021-03-240.371 3 0.390 2 0.422 8 0.430 5 0.071 8 0.043 0 0.033 4 0.039 5 2021-03-240.308 7 0.327 2 0.349 6 0.351 4 0.086 0 0.059 6 0.041 1 0.051 5 2021-03-240.253 8 0.263 1 0.284 6 0.281 3 0.119 1 0.072 6 0.055 9 0.065 4 2021-03-240.208 0 0.209 7 0.224 4 0.233 1 0.160 5 0.112 7 0.106 0 0.117 9 2021-03-240.162 4 0.153 4 0.146 9 0.186 2 0.211 2 0.162 7 0.148 7 0.154 4 2021-03-240.128 9 0.136 2 0.103 1 0.162 8 0.268 4 0.214 5 0.189 8 0.196 5 2021-03-240.101 3 0.110 0 0.081 2 0.115 3 0.334 0 0.313 8 0.283 1 0.273 8 2021-03-240.080 0 0.071 9 0.063 2 0.068 7 0.408 7 0.353 8 0.322 0 0.335 2 2021-03-240.448 0 0.462 6 0.490 5 0.486 9 0.477 3 0.396 5 0.376 2 0.407 7 2021-03-240.065 1 0.059 5 0.032 9 0.072 1 0.563 1 0.495 2 0.465 7 0.477 1

3.5 誤差分析

平均相對誤差(EMAPE)為

均方誤差(EMAE)為

EMAE注重測量模型定價(jià)偏離實(shí)際價(jià)格的方向及幅度,EMAPE注重測量定價(jià)誤差的相對幅度,EMSE注重測量定價(jià)誤差的絕對幅度。由表2可計(jì)算出不同期權(quán)定價(jià)模型的平均絕對誤差、平均相對誤差及均方誤差,結(jié)果如表3所示。對于上證50ETF期權(quán)而言,分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的期權(quán)定價(jià)模型各種誤差均較小,優(yōu)于其他模型,因此能更好的適用于實(shí)際金融市場。

4 結(jié) 語

本文考慮標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的長程相依性及“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象,建立了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的期權(quán)定價(jià)模型,利用保險(xiǎn)精算方法和蒙特卡洛模擬對歐式期權(quán)價(jià)格進(jìn)行數(shù)值模擬分析,并選取上證50ETF樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和實(shí)證模擬計(jì)算。研究結(jié)果表明:分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下具有機(jī)制轉(zhuǎn)換的期權(quán)定價(jià)模型優(yōu)于其他傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型,其數(shù)值模擬價(jià)格與真實(shí)市場價(jià)格偏差較小。因此，該模型更適用于實(shí)際金融市場,為投資者提供決策依據(jù)。