張 瑾

(西安文理學(xué)院 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710065)

1 引言與主要結(jié)果

設(shè)p為奇素?cái)?shù),g為整數(shù)。如果對(duì)所有整數(shù)1≤i≠j≤p-1,有(gi-gj,p)=1,則稱g為模p的原根[1-2]。眾所周知,原根在數(shù)論研究中扮演著重要的角色,這是因?yàn)槿鬵是模p的一個(gè)原根,則g,g2,…,gp-2及gp-1構(gòu)成模p的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系。這一事實(shí)極大地方便了很多數(shù)論問(wèn)題的研究。在這一領(lǐng)域,許多學(xué)者研究了原根的基本性質(zhì),并得到了不少有意義的研究結(jié)果。例如,文獻(xiàn)[3]證明了以下結(jié)果:設(shè)p為足夠大的奇素?cái)?shù)。則對(duì)于任意整數(shù)a,b和c滿足(abc,p)=1,至少有2個(gè)模p的原根α和β，使得同余式aα+bβ≡c(modp)成立。

文獻(xiàn) [4] 證明了更強(qiáng)的結(jié)果，由此不難推出更一般的結(jié)論:

設(shè)p為足夠大的奇素?cái)?shù),ui和vi為滿足(u1u2v1v2,p)=1的整數(shù)。則對(duì)任意整數(shù)1≤a≠b≤p-1滿足(ab,p)=1,存在模p的3個(gè)原根α,β和γ，使得以下同余方程成立:

u1α+v1γ≡a(modp)

u2β+v2γ≡b(modp)

有關(guān)模p原根和有限域Fq(其中Fq為一個(gè)特征為p的q元有限域) 上的本原元的論文可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[3-19],這里不再一一列舉。

本文考慮有關(guān)模p原根的如下問(wèn)題:

如果成立,令N(p)表示所有這樣a的個(gè)數(shù)。此時(shí),N(p)有哪些漸近性質(zhì)?

類似地,令M(p)表示所有使得a,a2+1和a2-1為模p原根的a的個(gè)數(shù)。

本文使用初等方法,特征和及模p原根的特征函數(shù)的估計(jì)研究N(p)和M(p)的漸近性質(zhì),并得到了2個(gè)漸近公式，即

定理1對(duì)任意奇素?cái)?shù)p,有漸近公式

定理2對(duì)任意奇素?cái)?shù)p,有漸近公式

顯然定理在有限域Fq中也成立。由定理可得以下2個(gè)推論:

推論2設(shè)p為充分大的奇素?cái)?shù)。則至少存在一個(gè)整數(shù)1

定理4對(duì)任意素?cái)?shù)p≡1(mod 4),有漸近公式

由定理3 和定理4 可得以下推論:

推論4設(shè)素?cái)?shù)p≡1(mod 4)足夠大,則至少存在一個(gè)無(wú)平方因子整數(shù)1

在定理3和定理4中,只考慮p≡1(mod 4)的情況。若p≡3(mod 4),無(wú)法處理一些特殊特征和的估計(jì),因此不能得到相應(yīng)的結(jié)果。這或許是一個(gè)公開(kāi)的問(wèn)題。

2 引 理

為了完成主要結(jié)果的證明,需要以下幾個(gè)引理。引理的證明可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1-2]。

引理1設(shè)p為奇素?cái)?shù),則對(duì)任意滿足(a,p)=1的整數(shù)a,有恒等式

其中e(y)=exp(2πiy),μ(n) 為莫比烏斯函數(shù),且ind(a)為相應(yīng)于原根gmodp的a的指標(biāo)。

證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2] 的命題2.2。

引理2設(shè)p為奇素?cái)?shù),χ1,…,χr為模p的狄利克萊特征,且至少有一個(gè)為模p的非主特征。令f(x) 為一個(gè)d次整系數(shù)多項(xiàng)式。則對(duì)于不同整數(shù)對(duì)a1,…,ar,有估計(jì)

證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[20] 的引理17，有關(guān)內(nèi)容見(jiàn)文獻(xiàn)[21]。

引理3設(shè)p為奇素?cái)?shù),則對(duì)模p的任意3個(gè)特征χ,ψ和λ(不全為主特征),有估計(jì)

(1)

若χ為模p的奇特征,即χ(-1)=-1,則有

(2)

因?yàn)?個(gè)特征χ,ψ和λ不全為模p的主特征,則由式(1)和式(2)可得引理3。

引理4設(shè)p為任意素?cái)?shù),則對(duì)模p的主特征χ0,有漸近公式

證明由莫比烏斯函數(shù)的性質(zhì)可得

(3)

即證引理4。

引理5設(shè)p為奇素?cái)?shù)且p≡1(mod 4),N為滿足1

證明因?yàn)閜≡1(mod 4),則有整數(shù)1

(4)

若1

以及估計(jì)

可得

(5)

結(jié)合式(4)和式(5)可得引理5。

引理6設(shè)p為奇素?cái)?shù)且p≡1(mod 4)。則對(duì)模p的任意3個(gè)特征χ,ψ和λ(不全為主特征),有估計(jì)

λ(d4a2-1)=

V1+V2

(6)

由引理5可得估計(jì)

(7)

由估計(jì)可得

(8)

結(jié)合式(6),(7)和式(8)可得估計(jì)

即證引理6。

3 定理的證明

為簡(jiǎn)單起見(jiàn),只證定理1和定理3。類似可得定理2和定理4。

(9)

現(xiàn)分別估計(jì)式(9)中的Wi，i=1,2,…,8。顯然

(10)

設(shè)ω(n)表示n的不同素因子個(gè)數(shù)。注意

由引理3可得估計(jì)

(2ω(p-1)-1)3

(11)

類似地,可得估計(jì)

(2ω(p-1)-1)2

(12)

(2ω(p-1)-1)2

(13)

(2ω(p-1)-1)2

(14)

(15)

(2ω(p-1)-1)

(16)

(2ω(p-1)-1)

(17)

結(jié)合式(9)～(17)可得漸近公式

其中誤差項(xiàng)E(p)滿足估計(jì)

即證定理1。

其中誤差項(xiàng)E1(p) 滿足估計(jì)

即證定理2。

證明(定理3) 由式(9)可得

(18)

由式(18),引理4,引理6及定理1的證明思想,可得漸近公式

即證定理3。

類似地,可推出漸近公式

所有結(jié)果得以證明。