樸勇杰

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002 )

2008年， Bashirov等[1]首次提出了乘積度量空間的概念，并研究了該空間上的一些基本性質(zhì).隨后， Florack等[2]和Bashirov等[3]對乘積度量空間的性質(zhì)做了進一步研究.2012年, ?zavsar等[4]在乘積度量空間上引進了如下乘積壓縮映射的概念，并給出了若干個乘積壓縮映射的不動點存在定理.

設(shè)(X,d)是乘積度量空間，稱映射f：X→X為乘積壓縮映射[4]是指存在λ∈[0,1)使得

(1)

文獻[4]還給出了如下形式的乘積度量空間上Banach型不動點定理.

定理1完備的乘積度量空間(X,d)上的任何乘積壓縮映射f必有唯一不動點.

在文獻[4]研究的基礎(chǔ)上，文獻[5-8]的作者通過引進五元實函數(shù)并利用弱交換性、弱相容性等條件給出了乘積度量空間上的4個映射的公共不動點存在性定理，這些結(jié)果很好地推廣了乘積度量空間上(公共)不動點定理.

顯然，定理1是完備實度量空間上Banach不動點定理[9]在乘積度量空間上的表現(xiàn)形式.在乘積度量空間上稱具有如下條件

(2)

顯然，如下條件

d(fx,fy)≤[d(x,y)]α[d(x,fy)]β[d(y,fx)]γ,?x,y∈X

(3)

是式(1)和式(2)的推廣形式，其中α,β,γ≥0,α+2max{β,γ}<1.

稱滿足式(3)的映射f為Banach - Chaterjia型壓縮映射.文獻[10]的作者引進了如下一個函數(shù)類：γ∈Γ， 當(dāng)且僅當(dāng)γ: [1,+∞)3→[1,+∞)滿足： ①γ關(guān)于每個變量是連續(xù)的且單調(diào)遞增的； ②存在k∈[0,1)使得當(dāng)x,y≥1且x≤γ(y,xy,1)或x≤γ(y,1,xy)時成立x≤yk.同時文獻[10]的作者還給出了在乘積度量空間上滿足γ- 隱式壓縮條件映射的唯一不動點存在性定理(定理2和定理3):

定理2設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間,且f：X→X為映射.如果存在γ∈Γ使得d(fx,fy)≤γ(d(x,y),d(x,fy),d(y,fx)),?x,y∈X， 則f在X中存在不動點.進一步,如果γ滿足對任何x>1,x>γ(x,x,x), 則f有唯一不動點.

定理3設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間，且f:X→X為映射.如果f滿足條件式(3)， 則f在X存在唯一不動點.

定義1[1]設(shè)X是非空集合，稱映射d：X×X→[0,+∞)是X上的乘積度量是指d滿足如下條件：

(i)對任何x,y∈X，d(x,y)≥1, 且d(x,y)=1 ?x=y；

(ii)對任何x,y∈X，d(x,y)=d(y,x)；

(iii)對任何x,y,z∈X，d(x,z)=d(x,y)d(y,z).

如果X和d滿足上述條件，則稱(X,d)為乘積度量空間.

例1[6]設(shè)X=R并定義d(x,y)=e|x-y|,?x,y∈X， 則(X,d)是乘積度量空間.

定義2[1]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列且x∈X.若對任何積性開球Bε(x)={y∈X:d(x,y)<ε},ε>1, 存在自然數(shù)N， 且當(dāng)n>N時xn∈Bε(x)成立, 則稱序列{xn}乘積收斂于x∈X, 并記為xn→x(n→∞).

引理1[4]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列且x∈X, 則

xn→x(n→∞) ?d(xn,x)→1 (n→∞).

定義3[4]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列.若對任何ε>1, 存在自然數(shù)N使得n,m>N時成立d(xn,xm)<ε， 則稱序列{xn}為乘積柯西序列.

引理2[4]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中的序列,則{xn}是乘積柯西序列當(dāng)且僅當(dāng)d(xn,xm)→1 (m,n→∞).

定義4[4]如果乘積度量空間(X,d)中的每個乘積柯西序列都是乘積收斂的，則稱(X,d)是完備的.

引理3[4]設(shè)(X,d)是乘積度量空間, {xn}和{yn}是X中的兩個序列且x,y∈X， 則

xn→x,yn→y(n→∞) ?d(xn,yn)→d(x,y) (n→∞).

定理4設(shè)(X,d)是完備的乘積度量空間，f:X→X為映射.如果對任何x,y∈X,

(4)

其中α、β、γ是3個實數(shù)，使得α+min{β,γ}≥0且α+2max{β,γ}≤1， 則f在X中存在唯一不動點，且稱滿足式(4)的f為C*- 壓縮映射.

證明任取x0∈X, 并根據(jù)xn +1=fxn,?n=0,1,2,…構(gòu)造一個序列{xn}.由給定的α、β、γ條件可得0≤α+min{β,γ}≤α+β≤1-β和0≤α+min{β,γ}≤α+γ≤1-γ, 因此β≤1和γ≤1.

如果α+β=0, 則根據(jù)式(4)知對任何n=0,1,2,…, 有

(5)

整理式(5)并利用定義1中的條件(iii)可得

(6)

(8)

(9)

假設(shè){xn}不是乘積柯西序列,則存在實數(shù)ε(ε>1)使得對任意自然數(shù)k存在兩個自然數(shù)m(k)和n(k)(m(k)>n(k))， 且滿足

d(xm(k),xn(k))>ε,d(xm(k) -1,xn(k))≤ε.

(10)

由式(10)和定義1中的條件(iii)可得ε

(11)

再根據(jù)定義1中的條件(iii)可得：

(12)

(13)

在式(12)和式(13)的兩邊取k→∞, 則根據(jù)u=1和式(11)可得：

(14)

(15)

由式(4)知對任何的k=0,1,2,…, 有

整理上式并取n→∞可得：

注1 在定理3中要求α、 β、 γ滿足α,β,γ≥0， α+2max{β,γ}<1， 但在定理4中利用連續(xù)函數(shù)限制壓縮條件后就可將定理3中的α、 β、γ的條件放寬至α+min{β,γ}≥0， α+2max{β,γ}≤1， 且不要求α、 β、 γ一定是非負(fù)的.因此定理4較好地推廣和改進了定理3， 特別是把“小于1”放寬至“小于等于1”.