聶肇坤， 曾 巖， 李 剛

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室, 大連 116024)

1 引 言

水下航行體作為螺栓法蘭連接的多級式結(jié)構(gòu)，在航行時會因摩擦、接觸、間隙和預(yù)緊力等連接非線性特性[1]產(chǎn)生橫縱耦合動力響應(yīng)，甚至引起連接結(jié)構(gòu)破壞。因此，螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)可靠性對水下航行體設(shè)計有著重要意義[2,3]。

以往的航行體總體設(shè)計一般通過建立線性簡化模型進行結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析，如橫向響應(yīng)以梁模型分析和縱向響應(yīng)以彈簧-質(zhì)量模型分析[4]。對螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)，梁模型中在節(jié)點折算為等效線性彎曲彈簧[5]；彈簧-質(zhì)量模型中將其折算到相鄰彈簧。上述方法忽略連接非線性特征，無法考慮橫縱方向響應(yīng)的耦合特性，其預(yù)測誤差將影響結(jié)構(gòu)設(shè)計。

目前，此類連接結(jié)構(gòu)研究主要集中于動力學(xué)分析[6,7]和非線性模型兩方面[8-10]。雖然欒宇等[9]提出基于拉壓雙線性彈簧的連接結(jié)構(gòu)機理模型模擬其拉壓不同剛度及橫縱耦合特性，揭示了連接結(jié)構(gòu)某些動力學(xué)特性并提出需經(jīng)動力學(xué)修正的簡化建模方法，但難以用于預(yù)研及總體分析。對此，文獻[11]提出了新的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)簡化動力學(xué)建模方法，結(jié)合艙段線性梁模型，僅需靜力實驗或有限元分析實現(xiàn)連接結(jié)構(gòu)非線性的航行體總體動力學(xué)建模，并能有效預(yù)測非線性動力響應(yīng)。

水下航行體在水中高速運動時，會在表面低壓區(qū)形成空泡，當(dāng)運動到氣液交界面時，空泡發(fā)生潰滅沖擊航行體表面，誘發(fā)巨大的動力響應(yīng)，可能造成結(jié)構(gòu)破壞[12,13]。這種水動力載荷不確定性與連接結(jié)構(gòu)非線性，使航行體總體設(shè)計面對巨大挑戰(zhàn)。周春曉等[14]考慮潰滅載荷隨機性，開展了航行體動力響應(yīng)可靠性分析；李明等[15]基于線性梁模型，考慮載荷隨機性在總體設(shè)計層面開展航行體可靠性優(yōu)化設(shè)計。受限于動力學(xué)模型精度，上述工作只考慮截面彎矩指標(biāo)判定結(jié)構(gòu)安全狀態(tài)，而在連接結(jié)構(gòu)設(shè)計中，應(yīng)考慮不同內(nèi)力組合開展強度校核[16]。當(dāng)前的連接結(jié)構(gòu)可靠性研究，往往在精細設(shè)計環(huán)節(jié)以強度校核為目標(biāo)，沒有考慮外載隨機性影響。如張慶雅等[17]使用工程簡化算法計算螺栓法蘭結(jié)構(gòu)應(yīng)力，計算結(jié)構(gòu)在不同外載荷下的模糊可靠度。周紅等[18]考慮結(jié)構(gòu)尺寸隨機性，使用有限元方法獲得結(jié)構(gòu)強度，以矩方法分析結(jié)構(gòu)可靠性。張九民等[19]考慮艙段材料屬性和強度參數(shù)隨機性，使用響應(yīng)面法分析結(jié)構(gòu)可靠性。而對于水下航行體總體設(shè)計，水動力外載是最大的隨機性來源。將非線性總體動力學(xué)分析與強度分析結(jié)合，考慮隨機載荷下結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)，建立內(nèi)力組合作用下連接結(jié)構(gòu)強度的失效準則，以此開展可靠性分析能夠更好地指導(dǎo)總體設(shè)計。

本文采用文獻[11]提出的連接結(jié)構(gòu)簡化動力學(xué)建模方法實現(xiàn)水下航行體總體建模，結(jié)合現(xiàn)有水動力載荷隨機模型，計算動力響應(yīng)的隨機內(nèi)力樣本，以等效靜載方式作用到螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)精細模型上，建立以最大Mises應(yīng)力為基準的極限狀態(tài)函數(shù)曲面，通過最大熵方法開展連接結(jié)構(gòu)可靠性分析；并建立了一套基于等效彎矩的連接結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，將連接結(jié)構(gòu)的軸力和剪力通過最大 Mises 應(yīng)力等效的方式折算為等效彎矩，實現(xiàn)了與現(xiàn)有水下航行體可靠性分析指標(biāo)的統(tǒng)一。

2 航行體結(jié)構(gòu)與載荷模型

2.1 考慮連接非線性的航行體簡化模型

根據(jù)文獻[11]提出的螺栓法蘭連接非線性簡化動力學(xué)模型,與艙段線性梁模型組合為總長13.4 m、直徑2.1 m、重59 t的總體簡化動力學(xué)模型,如圖1所示。各梁截面參數(shù)列入表1，且燃料等非結(jié)構(gòu)質(zhì)量折算到材料密度，兩個相同屬性連接結(jié)構(gòu)分別位于圖1所示各自法蘭接觸面兩側(cè)各50 mm區(qū)域內(nèi)，每個連接結(jié)構(gòu)兩個剛性端面都由12根共面剛性梁構(gòu)造，以12個分布半徑 1.04 m、拉伸剛度4.4×104kN/m 的彈簧、12個分布半徑0.84 m、壓縮剛度3.03×106kN/m的彈簧和剪切剛度4×105kN/m 的彈簧相連?；跈M向一階彎曲頻率一致，以彎曲剛度6.5×105kN/rad的線性梁節(jié)點彈簧代替非線性連接結(jié)構(gòu)得到航行體總體結(jié)構(gòu)的線性梁模型[5]用于對比。

圖1 水下航行體非線性簡化動力學(xué)模型

表1 梁截面參數(shù)

2.2 水動力外載荷特性

水下航行體高速運動形成空泡潰滅沖擊結(jié)構(gòu)表面，產(chǎn)生隨機橫向載荷易引發(fā)水下航行體破壞。本文根據(jù)已有研究成果[13-15]建立隨機橫向水動力載荷模型,載荷總體呈移動分布，隨時間沿軸向推進(圖2)，同時刻任一截面壓力分布近似余弦分布，各截面壓差時程曲線類正弦沖擊且峰值隨機(圖3)。上述實際結(jié)構(gòu)殼體表面水動力載荷依文獻[15]可轉(zhuǎn)換為梁模型節(jié)點力載荷，施加于考慮連接非線性的航行體簡化模型上計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)。

圖2 水動力載荷

圖3 各截面載荷時程曲線

3 連接結(jié)構(gòu)最大內(nèi)力響應(yīng)概率建模

3.1 航行體內(nèi)力響應(yīng)計算

設(shè)水動力載荷分布在距航行體頂端0.9 m～5.6 m的15個截面位置，各截面間隔0.3 m，截面壓差峰值為均值250 kPa、標(biāo)準差50 kPa的相互獨立高斯分布隨機變量。依文獻[15]將載荷施加到2.1節(jié)動力學(xué)模型上，可計算0.3 s內(nèi)的結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)，如圖4所示。

圖4 彎矩響應(yīng)的時空分布

3.2 最大熵方法原理

使用最大熵方法對水下航行體內(nèi)力響應(yīng)進行概率建模，基于樣本統(tǒng)計矩獲得概率分布最佳無偏估計。已知某連續(xù)分布隨機事件前m階統(tǒng)計矩為μi，設(shè)概率密度估計為p(x)，則其信息熵表示為

(1)

如果p(x)滿足

(i=0,1,2,…,m)(2)

且使H(X)最大化，則可作為概率密度的最佳估計。

假設(shè)p(x)表達式為

(3)

那么式(3)的待定系數(shù)λi可由優(yōu)化問題(4)求得，即

(4)

3.3 連接結(jié)構(gòu)最大內(nèi)力統(tǒng)計分析

以Monte Carlo方法抽取10000個水動力樣本，提取水下航行體一二級連接結(jié)構(gòu)端面的內(nèi)力時程響應(yīng)，計算其最大內(nèi)力響應(yīng)的前四階統(tǒng)計矩，列入表2。通過最大熵方法可獲得以上各最大內(nèi)力概率密度函數(shù)如圖5～圖7所示,MEM-lin和MEM-non分別為線性模型和非線性模型的最大熵方法估計結(jié)果，MCS -non為非線性模型Monte Carlo方法計算結(jié)果。

對比圖5～圖7的結(jié)果可知,與Monte Carlo結(jié)果對比，線性模型最大彎矩和最大剪力的估計均偏小且無法獲得橫向載荷引起的軸力響應(yīng)；而非線性模型能更準確地預(yù)測各最大內(nèi)力概率密度。

圖5 兩種模型一二級連接面最大彎矩概率密度

圖6 兩種模型一二級連接面最大剪力概率密度

圖7 兩種模型一二級連接面最大軸力概率密度

4 螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)可靠性分析

考慮到螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)強度失效效應(yīng)以最大應(yīng)力為直接判據(jù)，而螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)在任意時刻都受彎矩、軸力和剪力的共同作用，因此不能單純以一種內(nèi)力的最大值判別結(jié)構(gòu)可靠性。為此本節(jié)提出水下航行體連接結(jié)構(gòu)可靠性分析流程，如 圖8 所示。首先，利用隨機水動力載荷作用下的水下航行體連接非線性簡化動力學(xué)模型計算內(nèi)力響應(yīng)樣本；基于精細連接結(jié)構(gòu)模型建立不同內(nèi)力共同作用下連接結(jié)構(gòu)的應(yīng)力強度失效準則(極限狀態(tài)面)；基于內(nèi)力響應(yīng)樣本和應(yīng)力強度失效準則，對連接結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力/等效彎矩響應(yīng)進行統(tǒng)計矩計算，由最大熵方法估計概率密度；最后，在給定的許用安全指標(biāo)下完成失效概率估計。

圖8 連接結(jié)構(gòu)可靠性分析流程

4.1 軸彎剪共同作用下連接結(jié)構(gòu)強度失效準則

連接結(jié)構(gòu)端面所受軸力、剪力和彎矩都會對其應(yīng)力強度產(chǎn)生影響。通過對連接結(jié)構(gòu)精細模型進行軸力、彎矩和剪力組合加載作用下的等效靜力分析，可獲得結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力，來判定結(jié)構(gòu)應(yīng)力強度失效狀態(tài)。

以水下航行體一二級連接面的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)為例，建立圖9的精細模型，其端框均布12個M18螺栓，艙段材料為2A14鋁合金，螺栓與螺母等連接件材料為30CrMnSiNi2A高強度合金鋼，材料屬性列入表3。

圖9 連接結(jié)構(gòu)有限元模型及其截面尺寸

由于螺栓和法蘭所用材料不同，因此連接結(jié)構(gòu)可能的失效模式共有兩種，螺栓屈服失效和法蘭屈服失效。文獻[17]指出，螺栓破壞往往引起結(jié)構(gòu)動力特性突變，導(dǎo)致發(fā)射任務(wù)失敗。而法蘭與殼體為一個整體，法蘭達到屈服一般會使結(jié)構(gòu)應(yīng)力重新分布，此時結(jié)構(gòu)仍可繼續(xù)承載。而實際結(jié)構(gòu)中，往往使用螺栓盒來加強法蘭螺孔周圍結(jié)構(gòu)強度。由靜力分析可知，當(dāng)連接結(jié)構(gòu)受到400 kN·m彎矩載荷作用時，其受拉側(cè)螺栓根部出現(xiàn)最大Mises應(yīng)力，此時螺栓根部已有大部分區(qū)域進入屈服，最大塑性應(yīng)變?yōu)?.2%，而法蘭僅在螺栓孔附近局部屈服，最大塑性應(yīng)變?yōu)?.5%；在軸彎剪共同作用下，連接結(jié)構(gòu)靜力分析結(jié)果也是如此。因此，失效分析僅考慮軸向拉力與彎矩、剪力組合作用下螺栓的最大應(yīng)力。

由水下航行體結(jié)構(gòu)隨機動力響應(yīng)計算結(jié)果可知，此連接結(jié)構(gòu)最大彎矩響應(yīng)約為300 kN·m，最大剪力響應(yīng)約為120 kN，最大軸力響應(yīng)約為150 kN。因此，為建立應(yīng)力強度失效準則，彎矩取0～400 kN·m，軸力和剪力均取0～200 kN，構(gòu)成內(nèi)力組合樣本空間，利用精細模型施加端面內(nèi)力組合樣本，建立載荷與最大Mises應(yīng)力的關(guān)系。即先計算來自結(jié)構(gòu)動力學(xué)隨機響應(yīng)的不同內(nèi)力組合作用下的最大 Mises 應(yīng)力樣本值，再對內(nèi)力組合樣本空間的其他樣本點進行插值，計算其對應(yīng)的最大Mises應(yīng)力。一般航行體結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準允許結(jié)構(gòu)局部進入塑性，而當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生大范圍塑性則判定其失效，因此根據(jù)螺栓材料屈服強度1240 MPa，假設(shè)結(jié)構(gòu)塑性極限強度為1250 MPa，即當(dāng)最大Mises應(yīng)力大于1250 MPa時認為結(jié)構(gòu)進入塑性失效狀態(tài)。由此，得到如圖10所示以軸力、剪力和彎矩為坐標(biāo)的連接結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力塑性失效狀態(tài)等值面，非常接近平面，這時軸力、剪力和彎矩幾乎線性相關(guān)，此極限狀態(tài)面可作為連接結(jié)構(gòu)塑性強度失效狀態(tài)的安全域邊界。同時，從圖11和圖12可以看出，指定剪力或彎矩后，結(jié)構(gòu)僅受軸力和彎矩作用時或僅受剪力和彎矩作用時，塑性失效邊界附近的最大Mises應(yīng)力等值線仍近乎于直線，可見彎矩與軸力間或彎矩與剪力間在特定的最大Mises應(yīng)力范圍內(nèi)都可視作線性相關(guān)，這意味著在塑性失效邊界附近可以利用彎矩來表征軸力或剪力對最大Mises應(yīng)力的影響。

圖10 軸力、剪力和彎矩共同作用下結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力1250 MPa等值面

圖11 軸力和彎矩共同作用下結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力

圖12 剪力和彎矩共同作用下結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力

4.2 基于應(yīng)力塑性失效的連接結(jié)構(gòu)可靠性分析

對一二級連接面處的連接結(jié)構(gòu)，利用3.3節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)仿真得到的所有時刻內(nèi)力隨機樣本數(shù)據(jù)、由等效靜力分析得到非時變的最大Mises應(yīng)力樣本統(tǒng)計矩以及基于最大熵方法得到的如圖13的最大Mises應(yīng)力概率密度估計結(jié)果，與Monte Carlo結(jié)果對比可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)局部塑性令剛度退化，最大Mises應(yīng)力不再隨載荷增大而快速增加，導(dǎo)致最大Mises應(yīng)力樣本集中在1200 MPa～1250 MPa。這時，塑性失效邊界附近的概率密度函數(shù)突變，導(dǎo)致傳統(tǒng)整數(shù)階最大熵方法的估計誤差增大(圖13)；當(dāng)以1250 MPa為失效邊界時，Monte Carlo方法得到失效概率為2.63%，而最大熵方法估算結(jié)果為13.06%。

圖13 一二級連接面最大Mises應(yīng)力概率密度

4.3 基于最大等效彎矩的連接結(jié)構(gòu)可靠性分析

鑒于由最大熵方法直接對連接結(jié)構(gòu)最大 Mises 應(yīng)力開展可靠性分析的精度較差，需要設(shè)計新的可靠性分析對象來描述結(jié)構(gòu)塑性失效概率。考慮到最大Mises應(yīng)力樣本聚集在塑性失效應(yīng)力值附近，而連接結(jié)構(gòu)的各內(nèi)力在塑性極限狀態(tài)面附近線性相關(guān)，不妨將所有端面內(nèi)力載荷都折算為彎矩，以便將多變量(軸力、剪力和彎矩)輸入的最大Mises應(yīng)力極限狀態(tài)函數(shù)(極限狀態(tài)面)變換為單變量(彎矩)輸入的形式。從圖11和圖12可以看出，塑性失效邊界附近，最大Mises應(yīng)力等高線梯度方向恒定，即軸力和剪力分別折算的彎矩對最大Mises應(yīng)力極限狀態(tài)函數(shù)的影響是單調(diào)的。因此，將軸力/剪力轉(zhuǎn)換成等效彎矩，判定結(jié)構(gòu)是否塑性失效，從而快速分析連接結(jié)構(gòu)可靠性，以便在總體設(shè)計中實現(xiàn)。如在1250 MPa塑性失效邊界附近，將不同的彎矩和軸力組合樣本點以及不同的彎矩和剪力組合樣本點，都分別用各自最大Mises應(yīng)力等高線上的純彎矩樣本點代替，基于彎矩與軸力之間和彎矩與剪力之間的線性關(guān)系，可得連接結(jié)構(gòu)端面上彎矩與軸力換算系數(shù)為0.9549，彎矩與剪力的換算系數(shù)為0.1766。因此，連接結(jié)構(gòu)端面的等效彎矩Me q可表示為

Me q=|M|+0.1776|Q|+0.9549|T|

(5)

式中M，Q和T分別為連接結(jié)構(gòu)端面彎矩、剪力和軸力。式(5)是根據(jù)圖10的塑性極限狀態(tài)面附近的內(nèi)力組合樣本點換算關(guān)系建立的，在遠離極限狀態(tài)面處計算的等效彎矩可能不準確，但不影響結(jié)構(gòu)塑性狀態(tài)的失效概率估計精度。

根據(jù)3.3節(jié)隨機抽樣求出一二級連接面處的連接結(jié)構(gòu)最大等效彎矩統(tǒng)計矩，列入表4，通過最大熵方法得到其概率密度估計如圖14所示。由精細模型靜力分析結(jié)果可知，當(dāng)?shù)刃澗卮笥?27.8 kN·m時，連接結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力大于1250 MPa，結(jié)構(gòu)塑性失效，因此根據(jù)等效彎矩概率密度計算失效概率的危險閾值為327.8 kN·m，積分可知由等效彎矩得到的連接結(jié)構(gòu)失效概率為2.48%，與4.2節(jié)Monte Carlo結(jié)果的失效概率2.63%對比，預(yù)測精度提高到相對誤差僅為5.7%，已可滿足工程設(shè)計需求。

表4 一二級連接面最大等效彎矩統(tǒng)計矩

圖14 一二級連接面最大等效彎矩概率密度

4.4 基于等效彎矩的可靠性分析誤差討論

由于前述內(nèi)容所用樣本不考慮時間因素的影響，即對進入結(jié)構(gòu)塑性狀態(tài)時刻不同的樣本一起進行統(tǒng)計分析，因此，有必要基于相同時刻下的樣本，評估等效彎矩在結(jié)構(gòu)失效概率估計中的適用性。由于相同時刻的內(nèi)力組合樣本中，大多不能令連接結(jié)構(gòu)進入塑性狀態(tài)，因此需要考慮圖11和圖12中最大Mises應(yīng)力較小時(結(jié)構(gòu)處于彈性階段)的等高線曲線特征；雖然這時內(nèi)力組合樣本點處于這些等高曲線附近，但是如果作為失效邊界的最大Mises應(yīng)力等高線與1250 MPa的塑性極限狀態(tài)等高線平行(仍近乎為直線)，來自塑性極限狀態(tài)面的等效彎矩公式在估計失效概率時精度仍能得到保證。以150 ms時刻一二級連接面處的連接結(jié)構(gòu)內(nèi)力為例，由于多數(shù)樣本沒有令結(jié)構(gòu)進入塑性，其最大熵方法所得最大Mises應(yīng)力概率密度估計和等效彎矩概率密度估計的效果都較好，如圖15和圖16所示。

圖15 150 ms時刻一二級連接面最大Mises應(yīng)力響應(yīng)統(tǒng)計

圖16 150 ms時刻一二級連接面等效彎矩響應(yīng)統(tǒng)計

假設(shè)分別以1000 MPa，1100 MPa和1200 MPa的最大Mises應(yīng)力等高線為失效邊界(即設(shè)計許用強度極限)，由于這些等高線都幾乎平行于塑性極限狀態(tài)等高線，因此由表5可知，來自等效彎矩估計的連接結(jié)構(gòu)失效概率與最大Mises應(yīng)力直接得到的失效概率非常接近。等效彎矩估計的連接結(jié)構(gòu)失效概率略大于最大Mises應(yīng)力直接得到的失效概率，因為圖11和圖12所示的等高線曲線形式在等效彎矩換算時，非失效域一些樣本點劃進失效域內(nèi)從而高估失效概率，導(dǎo)致設(shè)計偏安全。

表5 不同強度極限下兩種方法失效概率對比

5 結(jié) 論

本文基于水動力載荷隨機模型與連接結(jié)構(gòu)非線性簡化模型計算連接結(jié)構(gòu)端面內(nèi)力響應(yīng)樣本，建立連接結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力極限狀態(tài)面，利用塑性極限狀態(tài)面上各內(nèi)力的線性相關(guān)性質(zhì)，提出了基于等效彎矩的可靠性分析方法。

(1) 考慮連接結(jié)構(gòu)非線性的簡化動力學(xué)模型能更準確獲得結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，實現(xiàn)連接結(jié)構(gòu)端面上軸力、剪力和彎矩共同作用下的應(yīng)力強度失效分析，建立起最大Mises應(yīng)力極限狀態(tài)面，以便開展連接結(jié)構(gòu)可靠性分析。

(2) 利用塑性極限狀態(tài)面的特性，可以將各內(nèi)力都統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為等效彎矩，來實現(xiàn)從多輸入(軸力、剪力和彎矩)變量的極限狀態(tài)函數(shù)到單輸入(彎矩)變量極限狀態(tài)函數(shù)的轉(zhuǎn)換，并且基于等效彎矩的連接結(jié)構(gòu)可靠性分析方法精度較好。