賀 丹， 劉海洋

(1.沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽 110136；2.西安交通大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

1 引 言

微尺寸蜂窩[1]在微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)中具有顯著的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，可用于制備微型電極[2]、微型能量存儲(chǔ)和轉(zhuǎn)換設(shè)備[3]、微傳感器[4]和超級(jí)電容[5]等。為保證構(gòu)件滿足強(qiáng)度、剛度、耐久性和可靠性等指標(biāo)，對(duì)蜂窩的力學(xué)性能進(jìn)行預(yù)測(cè)十分必要。

Gibson等[6]基于梁理論，給出了一種蜂窩芯層面內(nèi)和面外等效模量簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，但在推導(dǎo)過程中并未考慮壁板伸縮變形對(duì)面內(nèi)剛度的影響，導(dǎo)致了蜂窩芯層材料彈性剛度矩陣奇異[7]。富明慧等[7,8]將此影響加以考慮，對(duì)Gibson的結(jié)論作出修正，克服了剛度矩陣奇異的缺陷。Becker[9,10]考慮了面板對(duì)芯層的約束效應(yīng)，并將蜂窩胞壁等效為薄板，以各胞壁應(yīng)變場(chǎng)為未知量，通過能量法求解了不同芯層高度蜂窩的等效模量，發(fā)現(xiàn)面板的存在會(huì)使得蜂窩芯層的等效模量隨芯層高度變化而改變，芯層等效模量與高度之間具有非線性函數(shù)關(guān)系，此現(xiàn)象稱為高度效應(yīng)。Li等[11,12]則認(rèn)為等效模量不僅和尺寸有關(guān)，還和受力狀態(tài)有關(guān)，采用三角級(jí)數(shù)來模擬蜂窩胞壁位移場(chǎng)，研究了蜂窩等效模量的計(jì)算方法，并討論了等效模量與芯層高度之間的關(guān)系。

當(dāng)蜂窩的壁厚處于微納米量級(jí)時(shí)，材料的尺度效應(yīng)[13-16]可能會(huì)對(duì)蜂窩的力學(xué)性能產(chǎn)生影響。尺度效應(yīng)是指當(dāng)材料的尺寸進(jìn)入微納米尺度時(shí)，其強(qiáng)度和剛度隨材料尺寸變化而變化的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象難以通過經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論進(jìn)行解釋，因此研究者提出了諸如應(yīng)變梯度[13]和偶應(yīng)力[16-20]等理論，在這些理論的本構(gòu)方程中，存在若干個(gè)和材料尺寸相關(guān)的尺度參數(shù)，從而具備了描述尺度效應(yīng)的能力。Yang等[21]提出了一種修正偶應(yīng)力理論，其中僅包含一個(gè)材料尺寸參數(shù)，十分便于工程應(yīng)用。基于這種理論，已有大量關(guān)于微納米板和梁結(jié)構(gòu)的研究工作見諸報(bào)道[22-25]。Zhu等[26-28]基于修正偶應(yīng)力理論，研究了不考慮面板約束的微尺寸六邊形、三角形和正方形蜂窩芯層面內(nèi)外五個(gè)獨(dú)立彈性參數(shù)的計(jì)算方法。張春浩等[29]基于該理論建立了芯層Y模型，并給出了考慮尺度效應(yīng)的蜂窩面內(nèi)等效模量計(jì)算方法，討論了蜂窩壁厚對(duì)其等效模量的影響，得出微尺寸蜂窩芯層等效模量將隨壁厚尺寸減小而增大的結(jié)論。

綜上所述，文獻(xiàn)[6，8]未考慮高度效應(yīng)、受力形式和尺度效應(yīng)；Becker[9,10]未考慮受力形式和尺度效應(yīng)；Li等[11,12]未考慮尺度效應(yīng)；而文獻(xiàn)[26-29]則僅考慮了尺度效應(yīng)。因此，本文綜合考慮蜂窩受力形式、尺度效應(yīng)以及面板約束引起的高度效應(yīng)，分別給出了剪切和扭轉(zhuǎn)工況下的六邊形微尺寸蜂窩等效剪切模量的計(jì)算過程，并討論了蜂窩芯層高度和胞壁厚度對(duì)等效剪切模量的影響。

2 蜂窩胞壁的應(yīng)變能

依據(jù)Yang等[21]提出的修正偶應(yīng)力理論，三維彈性體的應(yīng)變能定義為

(1)

(2)

位移矢量ui與轉(zhuǎn)角矢量θi之間的關(guān)系為

(3)

(4)

式中l(wèi)m為材料尺寸參數(shù)，λ和μ為L(zhǎng)ame常數(shù)，其與彈性模量E，泊松比v之間的關(guān)系為

λ=Ev/[(1+v)(1-2v)] ，μ=E/[2(1+v)]

(5)

在推導(dǎo)微尺寸蜂窩等效模量的過程中，可將蜂窩各胞壁簡(jiǎn)化為微尺寸薄板，其位移場(chǎng)可取為[30]

u1=us(x,y)-z[?w(x,y)/?x]

u2=vs(x,y)-z[?w(x,y)/?y]

u3=w(x,y)

(6)

設(shè)板厚為t，并將式(1)應(yīng)變能U拆分為由應(yīng)力和應(yīng)變耦合得到的U1，以及偶應(yīng)力和曲率耦合得到的U2，則U=U1+U2，綜合式(2～6)，得到U1和U2的表達(dá)式分別為

(7)

(8)

式中D為板的彎曲剛度，εs x和εs y為中性面的拉伸應(yīng)變，即

εs x=us,x，εs y=vs,y

(9)

因此，當(dāng)微尺寸板的位移場(chǎng)〈us,vs,w〉為已知時(shí)，板的應(yīng)變能便可通過式(7，8)求得。

3 微納米薄壁蜂窩等效模型

考慮一個(gè)典型的六邊形蜂窩特征單元REV[11]，如圖1所示，其中斜胞壁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，厚度為t；直胞壁長(zhǎng)度為h，厚度為t′=2t，斜胞壁與水平線夾角為θ，各胞壁垂直紙面方向長(zhǎng)度為b?？紤]到結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，可只分析圖2所示1/8 REV以簡(jiǎn)化問題。1/8 REV可視為由厚度均為t及z方向長(zhǎng)度均為b/2的三塊薄板組成，其中板EFHG和ABDC的第三方向長(zhǎng)度為h/2，板CDFE的第三方向長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

圖1 蜂窩特征單元

圖2 1/8蜂窩特征單元

根據(jù)能量均勻化理論，圖1虛線所圍均勻體的總勢(shì)能應(yīng)與蜂窩特征單元總勢(shì)能相等，即

(10)

(11)

(12)

4 不同工況下微納米薄壁蜂窩的等效剪切模量計(jì)算

4.1 剪切工況

假設(shè)在蜂窩面板施加面內(nèi)剪切初應(yīng)變?chǔ)肵 Y，如圖3所示，由于面板與蜂窩芯層為固接，且面板剛度遠(yuǎn)大于芯層，因此芯層將隨面板發(fā)生剪切變形，斜胞壁將因端點(diǎn)水平位移不同而產(chǎn)生線應(yīng)變?chǔ)舠,

圖3 蜂窩REV剪切變形

(13)

變形后的結(jié)構(gòu)無法滿足平衡方程，因此應(yīng)力將在芯層上重新分布，從而產(chǎn)生如圖4所示的附加位移場(chǎng)，直至達(dá)到平衡位置。應(yīng)力的重分布將極大降低蜂窩剛度，使得等效剪切模量對(duì)高度敏感[11,12]。

圖4 剪切工況下1/8 REV各壁板附加位移

考慮到蜂窩芯層的邊界形式和變形特點(diǎn)，板EFGH的附加位移函數(shù)可取為[11]

(m=2i-1)(14)

式中a0，ai和bi為待定參數(shù)，N為三角級(jí)數(shù)展開項(xiàng)數(shù)，理論上N需取至無窮，但實(shí)際取前10項(xiàng)便可保證計(jì)算精度，故本文N取10。

對(duì)于板CDFE，附加位移函數(shù)可取為[11]

us=a0(2/b)x

(15)

除附加位移場(chǎng)產(chǎn)生的線應(yīng)變以外，板CDFE沿局部坐標(biāo)y2的線應(yīng)變?chǔ)舮還應(yīng)包括式(13)基礎(chǔ)應(yīng)變?chǔ)舠,

εy=εs-?vs/?y

(16)

對(duì)于板ABDC，附加位移函數(shù)可選為[11]

(17)

(18)

(19)

由于應(yīng)力重新分布過程中外力做功為0，故系統(tǒng)總勢(shì)能與總應(yīng)變能相等，即

πint=U1+U2

(20)

根據(jù)最小勢(shì)能原理，真實(shí)位移使系統(tǒng)總勢(shì)能取極值，故系統(tǒng)總勢(shì)能對(duì)待定參數(shù)的偏導(dǎo)等于0，即

(21)

4.2 扭轉(zhuǎn)工況

假設(shè)在蜂窩面板施加矢量方向與面板平行的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)變?chǔ)耎，REV會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)變?chǔ)肵 Y

(22)

式中βX ′ Y=βX/(h+lsin ?)。板CDFE因邊EF和邊CD水平位移不同而產(chǎn)生線應(yīng)變，其中邊EC的線應(yīng)變?yōu)?/p>

εs=(UE-UC)cosθ/L=-γX Ysinθcosθ

(23)

在局部坐標(biāo)系x2-C-y2中，線應(yīng)變沿x2方向線性分布[10]，且在邊EC取得最大值，因此有

εs(x)=-ακ(b/2-x)

(24)

式中κ=βX ′ Y為板的扭轉(zhuǎn)曲率，α=sinθcosθ。

圖5變形后的結(jié)構(gòu)同樣無法滿足平衡方程，因此應(yīng)力將重新分布，各胞壁將產(chǎn)生附加位移場(chǎng)，如圖6所示，對(duì)于板EFHG，根據(jù)邊界條件和位移形式選取的附加位移函數(shù)為[11]

圖5 1/8 REV扭轉(zhuǎn)變形

圖6 扭轉(zhuǎn)工況下1/8 REV各壁板附加位移

(25)

對(duì)于板CDFE，附加位移函數(shù)可取為[11]

(26)

考慮式(23)基礎(chǔ)應(yīng)變?chǔ)舠(x)，板CDFE的y1方向應(yīng)變應(yīng)為基礎(chǔ)應(yīng)變和附加位移產(chǎn)生的應(yīng)變之和,

(27)

對(duì)于板ABDC，附加位移函數(shù)可取為[11]

(28)

將式(25～28)代入式(2)，并將得到的應(yīng)變分量和曲率分量代入式(7，8)，得到每塊板的應(yīng)變能，進(jìn)而得到1/8 REV應(yīng)力與應(yīng)變耦合應(yīng)變能U1以及偶應(yīng)力與曲率耦合應(yīng)變能U2，如式(29，30)所示。

(29)

(30)

5 算例分析

可以看出，剪切和扭轉(zhuǎn)工況的等效剪切模量具有相同的上界，隨著芯層高度b的增加，兩種工況下的蜂窩等效剪切模量均表現(xiàn)為逐漸減小后趨于不變，即體現(xiàn)出高度效應(yīng)現(xiàn)象。這是由于面板與芯層存在較強(qiáng)的位移耦合[9]，當(dāng)芯層高度較低時(shí)，耦合效應(yīng)使芯層具有較大剛度，隨著芯層高度增大，耦合效應(yīng)逐漸減弱，當(dāng)芯層高度超出一定范圍時(shí)，面板對(duì)芯層的約束可以忽略不計(jì)，故等效剪切模量最終表現(xiàn)為不隨芯層高度變化的直線。而Zhu[26]在建立模型時(shí)未將這種位移耦合加以考慮，因此所得等效剪切模量結(jié)果是不隨芯層高度變化的直線，與Li經(jīng)典理論結(jié)果差異較大。t取值越小，等效剪切模量隨高度增加而衰減的速度越快，即蜂窩胞元尺寸較小時(shí)，其剛度對(duì)芯層高度的變化更為敏感。還可以看出，本文基于修正偶應(yīng)力理論的計(jì)算結(jié)果總是大于Li基于經(jīng)典理論的結(jié)果，且隨著胞壁厚度的降低，二者間的差異愈發(fā)明顯，即捕捉到了所謂的尺度效應(yīng)。觀察兩種工況下等效剪切模量隨芯層高度的衰減速度可發(fā)現(xiàn)，本文得到的等效剪切模量衰減速度小于Li的衰減速度。隨著蜂窩胞壁厚度增加，尺度效應(yīng)逐漸不明顯，兩組解之間衰減速度的差異也逐漸消失。因此，對(duì)于宏觀尺度蜂窩而言，高度效應(yīng)對(duì)等效模量的影響是非常顯著的；而當(dāng)蜂窩壁厚進(jìn)入微納米量級(jí)時(shí)，由于尺度效應(yīng)的存在，芯層的剛度變強(qiáng)，從而降低了面板約束和高度效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)等效模量的影響。換言之，當(dāng)尺度效應(yīng)變得顯著時(shí)，等效模量對(duì)芯層高度的敏感性將有所下降。比較圖7和圖8的衰減趨勢(shì)，可以看出扭轉(zhuǎn)工況時(shí)的等效剪切模量衰減速度低于剪切工況時(shí)的衰減速度，這是由于兩種工況的不同應(yīng)力分布方式導(dǎo)致的[11]。

圖7 剪切工況下蜂窩等效剪切模量

圖8 扭轉(zhuǎn)工況下蜂窩等效剪切模量

圖9 偶應(yīng)力理論與經(jīng)典理論等效剪切模量比值(b =200 μm)

6 結(jié) 論

(1) 當(dāng)芯層高度趨近于零時(shí)，剪切和扭轉(zhuǎn)工況的等效剪切模量具有相同的上界。隨著芯層高度b的增加，兩種工況下的蜂窩等效剪切模量均表現(xiàn)為逐漸減小后趨于不變，即體現(xiàn)出高度效應(yīng)現(xiàn)象。在這個(gè)過程中，扭轉(zhuǎn)工況下的等效模量衰減速度低于剪切工況，最終兩種工況會(huì)收斂于-不同的下界。

(2) 當(dāng)蜂窩胞壁的厚度進(jìn)入微納米尺度時(shí)，本文給出的等效剪切模量總是大于經(jīng)典理論的解，即描述了尺度效應(yīng)。胞壁厚度越小，尺度效應(yīng)越明顯；而當(dāng)厚度t遠(yuǎn)大于尺度參數(shù)時(shí)，尺度效應(yīng)消失，此時(shí)本方法預(yù)測(cè)的模量與經(jīng)典理論一致。

(3) 對(duì)于經(jīng)典理論而言，蜂窩胞元尺寸越小，等效剪切模量隨高度增加而衰減至最小值的速度越快。而基于修正偶應(yīng)力理論所得等效剪切模量的衰減速度明顯低于經(jīng)典理論，即當(dāng)尺度效應(yīng)變得顯著時(shí)，等效模量對(duì)芯層高度的敏感性將有所下降，這種現(xiàn)象會(huì)隨胞壁厚度增大而逐漸消失。