李君誼，莫時(shí)旭，鄭艷

(1.桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院，廣西 桂林541004；2.廣西建筑新能源與節(jié)能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林541004)

1 引言

在國家大力推行下，鋼-混組合結(jié)構(gòu)在工程中得到廣泛應(yīng)用。矩形鋼管混凝土在工程應(yīng)用中，薄壁鋼板受彎矩和剪力同時(shí)作用，易發(fā)生局部屈曲；薄壁鋼-混凝土組合墻在抵抗水平作用時(shí)，鋼板受剪切作用，也會(huì)發(fā)生屈曲。彈性支承上矩形板面內(nèi)受壓作用下的屈曲問題已有相關(guān)文獻(xiàn)，而彈性支承上矩形板面內(nèi)剪切受力條件下的屈曲問題國內(nèi)相關(guān)研究較少。實(shí)際工程中已知薄板剪切屈曲的臨界強(qiáng)度，可以避免其發(fā)生剪切屈曲，具有工程應(yīng)用意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對矩形薄板的屈曲問題進(jìn)行了大量分析研究。國外學(xué)者Timshenko等[1]在能量法的基礎(chǔ)上提出了不同情況下矩形薄板的彈性屈曲理論計(jì)算模型；國內(nèi)學(xué)者邊宇虹[2]用變分法對四邊簡支的矩形板的穩(wěn)定問題進(jìn)行了研究；莫時(shí)旭等[3]用Ritz能量變分法對方形鋼管混凝土局部屈曲問題進(jìn)行了試驗(yàn)研究；毛佳等[4]采用Ritz能量變分法對彈性支承上薄板屈曲進(jìn)行了研究；童根樹等[5]采用有限元法對四邊簡支矩形板在各聯(lián)合作用下的彈性屈曲問題進(jìn)行了研究分析；本文采用Rayleigh-Ritz法（瑞利-里茲法）推導(dǎo)了基于彈性基底的周邊簡支約束矩形板面內(nèi)剪切受力條件下的屈曲理論計(jì)算公式，具有理論指導(dǎo)意義。

2 理論計(jì)算

Rayleigh-Ritz法，是應(yīng)用勢能駐值原理求解穩(wěn)定問題的一種很重要的近似方法，此法采用具有幾個(gè)廣義坐標(biāo)的位移函數(shù)近似地代替真實(shí)的位移曲線，將原來為無限個(gè)變量的泛函變分問題變?yōu)橛邢迋€(gè)變量的函數(shù)極值問題來處理。根據(jù)勢能駐值原理的極值條件，用導(dǎo)數(shù)求極值問題的方法，可以將求解微分方程的問題變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程的問題。

假設(shè)屈曲薄板的撓度曲面為下列級數(shù)形式：

式中，ai為待定參變數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)，i=1,2,3,…,n；φi（z）為滿足幾何邊界條件的已知函數(shù)，z為自變量，φi為對應(yīng)函數(shù)，這些函數(shù)任意選擇且線性無關(guān)。

將公式(1)代入總勢能∏=U+V的表達(dá)式，從而使總勢能變?yōu)榫哂衝個(gè)參變數(shù)ai的函數(shù)。這樣，總勢能的∏變分δ∏，δ∏=δ（U+V）就可以用與各參變數(shù)變分ai相對應(yīng)的增量之和來表達(dá)：

式中，∏為總勢能；U為彈性體應(yīng)變能；V為外力勢能。

若彈性體系的變形處于平衡狀態(tài)，則應(yīng)滿足勢能駐值條件，將公式（2）帶入δ∏=0，得：

因?yàn)閰⒆償?shù)ai變分是微小的任意數(shù)值，欲滿足式（3），只有：

從而得到下列方程組：

此方程組有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零，從而得到穩(wěn)定方程式。解此穩(wěn)定方程，即可求得平衡狀態(tài)的荷載。

本文簡支邊界計(jì)算模型見圖1，矩形薄板受剪屈曲后縱向?yàn)檫B續(xù)n個(gè)半波，即為n階屈曲模態(tài)。

圖1 簡支邊界計(jì)算簡圖

取一階屈曲模態(tài)及二階屈曲模態(tài)研究具有代表性，因此取位移函數(shù)為：

式中，A為位移函數(shù)中波長的振幅；a為矩形薄板長度；b為矩形薄板寬度；α為節(jié)線斜率；x、y分別為X方向和Y方向的分位移。

位移函數(shù)滿足上下邊界：

位移函數(shù)滿足節(jié)線邊界上：

式中，位移函數(shù)上下邊界滿足y=0，y=b時(shí)，位移函數(shù)ω(x,y)=0；節(jié)線邊界滿足ω對x求偏導(dǎo)數(shù)為0。

板彎曲應(yīng)變能U、彈性支承勢能Uk和軸向載荷Nxy及軸向荷載做功V分別為：

式中，U為板彎曲應(yīng)變能；D為矩形薄板單寬抗彎剛度；E為鋼材彈性模量；t為薄板厚度；ν為鋼材泊松比。

式中，Uk為彈性支承勢能；K為彈性支承剛度；ω為矩形薄板受剪屈曲后的位移函數(shù)ω（x，y）。

式中，V為軸向荷載做功；Nxy為軸向荷載。

根據(jù)最小勢能原理，可求得臨界狀態(tài)的軸向荷載：

式中，κ為屈曲系數(shù)；b為矩形薄板寬度。

3 參數(shù)影響分析

3.1 長寬比影響分析

假設(shè)彈性支承剛度K=0，取不同的長寬比γ（γ≥1.5），然后對節(jié)線斜率α求導(dǎo)，求出使屈曲系數(shù)κ取最小值的節(jié)線斜率α，最后帶入α得出臨界屈曲系數(shù)（見表1），臨界屈曲系數(shù)與不同長寬比的關(guān)系，如圖2所示。

圖2 本文與文獻(xiàn)[1]簡支邊界κ-γ曲線

由表1可以得出：對于長矩形薄板（γ≥1.5），本文理論計(jì)算值與文獻(xiàn)[1]的計(jì)算值平均偏差為9.16%；對于長矩形薄板（γ≥2），偏差小于1.67%。在工程實(shí)際應(yīng)用中長矩形薄板（γ≥2）的情況更多。

表1 簡支邊界下不同長寬比的臨界屈曲系數(shù)

3.2 支承剛度影響分析

假設(shè)矩形薄板長為2 m，寬為1 m（γ=2），即方形薄板；板厚為0.03 m；鋼材彈性模量為2.1×1011Pa；取不同的K，得出相應(yīng)的臨界屈曲系數(shù)（見表2），臨界屈曲系數(shù)與支承剛度的關(guān)系如圖3所示。

圖3 本文簡支邊界κ-K曲線

表2 簡支邊界下不同支承剛度的臨界屈曲系數(shù)

由圖3可以得出：臨界屈曲系數(shù)隨著支承剛度的單調(diào)遞增，即支承剛度越大，對長矩形薄板的側(cè)向約束越強(qiáng)，臨界屈曲系數(shù)越大。

4 結(jié)論

1）本文采用Rayleigh-Rite法計(jì)算彈性支承上簡支約束長矩形薄板面內(nèi)剪切作用下臨界屈曲系數(shù)，計(jì)算所得的臨界屈曲系數(shù)與文獻(xiàn)[1]計(jì)算所得數(shù)據(jù)略有偏差，證明此理論方法可行。

2）彈性支承的剛度越大，對長矩形薄板的側(cè)向邊界約束越強(qiáng)，長矩形薄板屈曲越困難。

3）對于高階屈曲形態(tài)的長矩形薄板，如縱向屈曲為n個(gè)斜向半波，可假設(shè)函數(shù)為來求解，從而得出在不同長寬比下完整的臨界屈曲系數(shù)曲線。