羅文龍，周 驊，趙 麒，朱文龍

（1.貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽(yáng)550025；2.貴州民族大學(xué)機(jī)械電子學(xué)院，貴陽(yáng)550025）

1 引言

電機(jī)作為運(yùn)動(dòng)控制中最常用的執(zhí)行器，廣泛應(yīng)用于工業(yè)各個(gè)領(lǐng)域以及人們的日常生活中。有限轉(zhuǎn)角電機(jī)是在精準(zhǔn)定位的情況下可在一定角度范圍內(nèi)驅(qū)動(dòng)負(fù)載的無刷直流電機(jī)[1]。它利用電子換向裝置代替機(jī)械換向裝置，結(jié)構(gòu)相對(duì)于直流電機(jī)更為簡(jiǎn)單，工作更為穩(wěn)定，同時(shí)具有比交流電機(jī)更好的調(diào)速性能，控制精度更高，因此常被用于高性能的有限角度驅(qū)動(dòng)器，在工業(yè)各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，所以對(duì)其控制系統(tǒng)的要求也越來越高。在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，既要考慮成本、開發(fā)周期等問題，又要對(duì)控制性能有較高的要求。對(duì)有限轉(zhuǎn)角電機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行建模和研究，通過模型仿真來測(cè)試控制效果，既能節(jié)省人力物力，又方便對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)[2]。

2 有限轉(zhuǎn)角電機(jī)建模

有限轉(zhuǎn)角電機(jī)是一種特殊的無刷直流電機(jī)?？梢愿鶕?jù)無刷直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型得到有限轉(zhuǎn)角電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。

2.1 繞組電壓方程

在理想條件下，根據(jù)基爾霍夫電壓原理得到無刷直流電機(jī)繞組電壓平衡方程[3-4]如下：

式中：uA、uB、uC為三相電機(jī)繞組的端電壓；iA、iB、iC為電機(jī)的繞組電流；eA、eB、eC為反電動(dòng)勢(shì)；R為電機(jī)繞組電阻；L為相繞組電感；M為每?jī)上嗬@組間的互感；ρ為微分算子d/dt。

此處建模的有限轉(zhuǎn)角電機(jī)是單項(xiàng)電機(jī)繞組，電壓電流都只有一項(xiàng)，不存在繞組間的互感M，只存在繞組電感L?？筛鶕?jù)式(1)得到有限轉(zhuǎn)角電機(jī)的電壓平衡方程：

以及電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式：

其中ke為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)，ω為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。根據(jù)上述方程，在Simulink里建立電壓方程模塊，如圖1所示。

圖1 繞組電壓方程模塊

2.2 電磁轉(zhuǎn)矩與電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)電磁轉(zhuǎn)矩方程，可得到電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩：

式中，KT為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)。由此式可見電磁轉(zhuǎn)矩與電流i成正比。在考慮負(fù)載轉(zhuǎn)矩的情況下，電機(jī)機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程[5-6]為：

式中，J為轉(zhuǎn)子負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；D為粘性阻尼系數(shù)；k為彈簧的剛度；T為電磁轉(zhuǎn)矩；ML為負(fù)載轉(zhuǎn)矩?？芍?，電磁轉(zhuǎn)矩與負(fù)載轉(zhuǎn)矩經(jīng)過加、乘運(yùn)算后再通過積分模塊可得到角速度，再對(duì)角速度做積分即可得到角度位置信號(hào)。再對(duì)上述方程在Simulink里建立方程模塊，如圖2所示。

圖2 電磁轉(zhuǎn)矩與機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程模塊

將圖1、圖2的兩個(gè)模塊相連，得到電機(jī)整體模型，如圖3所示。由機(jī)械運(yùn)動(dòng)模塊獲得的角速度通過反電動(dòng)勢(shì)系統(tǒng)的乘法模塊輸入到電壓平衡模塊，并且由電壓平衡模塊得到的電流通過電磁扭矩的乘法模塊得到電磁扭矩。電機(jī)模型整體封裝后的狀態(tài)如圖4所示。

圖3 有限轉(zhuǎn)角電機(jī)整體模型

圖4 有限轉(zhuǎn)角電機(jī)模型封裝

3 電機(jī)控制系統(tǒng)

電機(jī)控制系統(tǒng)主要由三環(huán)PID、前饋系統(tǒng)、PWM和電壓逆變器模塊組成，如圖5所示。指令位置與有限轉(zhuǎn)角電機(jī)的位置反饋的差值作為位置環(huán)輸入，而位置環(huán)的輸出與前饋增益和速度反饋的差值作為速度環(huán)的輸入。速度環(huán)的輸出與速度反饋的差值經(jīng)過速度環(huán)PID調(diào)節(jié)和PWM模塊，轉(zhuǎn)化為PWM波形并經(jīng)過H橋模塊來控制調(diào)節(jié)電機(jī)。

圖5 電機(jī)控制系統(tǒng)框圖

3.1 PID閉環(huán)控制

PID控制由比例控制（Proportional）、積分控制（Integral）和微分控制（Derivative）組成。其輸入是由電機(jī)反饋的值與給定的理想值決定的，而輸入經(jīng)過PID調(diào)節(jié)后的輸出又反過來作用于電機(jī)，這個(gè)控制過程稱為閉環(huán)控制。

本電機(jī)控制系統(tǒng)采用電流環(huán)、速度環(huán)、位置環(huán)三閉環(huán)控制系統(tǒng)。電流環(huán)作為第一環(huán)，是由于PID的調(diào)節(jié)即是根據(jù)電動(dòng)機(jī)反饋的電流進(jìn)行的，電動(dòng)機(jī)輸入電流接近設(shè)定的理想值，在轉(zhuǎn)矩模式下，由電流環(huán)控制電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩，因此該環(huán)的運(yùn)算最小且動(dòng)態(tài)響應(yīng)最快；速度環(huán)作為第二環(huán)，其輸入為第一環(huán)的輸出與反饋電流的差值；位置環(huán)作為最外環(huán)，其輸入為給定的理想位置，在位置環(huán)控制模式下，系統(tǒng)執(zhí)行了所有三個(gè)環(huán)計(jì)算，所以其運(yùn)算響應(yīng)的時(shí)間較長(zhǎng)[7-8]。

3.2 PWM生成模塊

電動(dòng)機(jī)的調(diào)速可以通過控制電樞電壓實(shí)現(xiàn)。電壓容易做到連續(xù)調(diào)節(jié)，便于實(shí)現(xiàn)無級(jí)調(diào)速，平滑性好，調(diào)速損耗小，電機(jī)運(yùn)行效率高。PWM波就是通過改變電壓大小來控制直流電機(jī)轉(zhuǎn)速的調(diào)制電波，通過改變一個(gè)方波在一個(gè)給定周期中占有的時(shí)間長(zhǎng)度，可以得到一個(gè)可變的有效電壓輸出。占空比是指導(dǎo)通時(shí)間（即高電平時(shí)間）在整個(gè)周期所占的百分比，即：

式中t為高電平持續(xù)時(shí)間；T為波形的周期。平均電壓為：

式中，通常情況下，VL取0。平均電壓與占空比成正比。由于信號(hào)在高電平與低電平之間切換非?？欤载?fù)載僅能識(shí)別電壓的平均值。本系統(tǒng)得到占空比輸出公式為：

其中Vref是輸入電機(jī)兩端的電壓；Vmin為最小參考電壓；Vmax為最大參考電壓。當(dāng)Vref=Vmin時(shí)，占空比最小為0；當(dāng)Vref=Vmax時(shí)，占空比最小為100。

3.3 前饋系統(tǒng)

有限轉(zhuǎn)角電機(jī)要求系統(tǒng)具有高增益，以保證系統(tǒng)具有良好的快速性、穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性，以及抗干擾能力。然而，增益過高可能引起不穩(wěn)定，特別是PID控制器中的積分控制器增益。而在傳統(tǒng)PID控制中，僅當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)位置跟蹤誤差，就給電機(jī)發(fā)送一個(gè)運(yùn)動(dòng)指令，即系統(tǒng)僅會(huì)在以及落后于期望軌跡之后才會(huì)采取行動(dòng)。這就導(dǎo)致電機(jī)的上升時(shí)間、超調(diào)量等動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能不夠理想，因此此處根據(jù)期望軌跡計(jì)算需要的速度，將其直接送到速度環(huán)而不必等待先產(chǎn)生一個(gè)誤差，即加入前饋系統(tǒng)對(duì)控制進(jìn)行優(yōu)化。

當(dāng)速度前饋增益為Kvff時(shí)，前饋方程為：

式中，up(t)是位置環(huán)的輸出，Kd為電機(jī)反饋回來的電流增益。

速度前饋可以消除跟蹤誤差，然而，如果Kvff增益值設(shè)置得太高，速度前饋會(huì)引起超調(diào)，因?yàn)镵vff增益值設(shè)置得太高，在速度曲線的加/減速區(qū)間會(huì)產(chǎn)生大的誤差尖峰；而Kvff增益值過低，則會(huì)導(dǎo)致跟蹤誤差過大，即超調(diào)量較大，所以需要進(jìn)行多次仿真實(shí)驗(yàn)來整定Kvff前饋增益值。

除了包含如前所述各模塊以外，還利用switch模塊實(shí)現(xiàn)H橋的功能來決定控制電機(jī)的電壓的方向。根據(jù)上述原理，在Simulink里建立電機(jī)控制系統(tǒng)模塊，如圖6所示。

圖6 電機(jī)控制系統(tǒng)模塊

4 仿真分析

在Simulink上搭建有限轉(zhuǎn)角電機(jī)及三環(huán)PID控制系統(tǒng)。其中電機(jī)模型里驅(qū)動(dòng)線圈電阻為0.52Ω；線圈電感為7.68mH；反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)為0.181；給定的理想位置響應(yīng)為初始值為1s時(shí)間內(nèi)由0變?yōu)?的階躍響應(yīng)。在經(jīng)過大量仿真調(diào)試后，三環(huán)PID控制系統(tǒng)最終控制參數(shù)確定為：

仿真結(jié)果如圖7所示。經(jīng)分析可知，相比于傳統(tǒng)三閉環(huán)PID控制系統(tǒng)，加入前饋的三閉環(huán)PID控制系統(tǒng)提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。調(diào)節(jié)時(shí)間即上升時(shí)間為0.7s，遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)PID的3.5s，相當(dāng)于傳統(tǒng)PID最大超調(diào)量的15.8%。前饋消除了跟蹤誤差，沒有產(chǎn)生超調(diào)現(xiàn)象，電機(jī)系統(tǒng)能更快地將電機(jī)調(diào)節(jié)至穩(wěn)定狀態(tài)?？梢姡哂星梆佅到y(tǒng)優(yōu)化的三閉環(huán)PID控制系統(tǒng)控制性能良好，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID的表現(xiàn)。

圖7 仿真結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)有限轉(zhuǎn)角無刷直流電機(jī)工作原理和特點(diǎn)，分析了無刷直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，依據(jù)PID控制原理，在MATLAB的Simulink模塊里完成對(duì)有限轉(zhuǎn)角電機(jī)的建模，加入前饋系統(tǒng)對(duì)三環(huán)PID控制系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化。在調(diào)整參數(shù)并進(jìn)行仿真后，該控制系統(tǒng)不僅沒有出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，而且控制性能穩(wěn)定，動(dòng)態(tài)指標(biāo)良好，控制效果已超越了傳統(tǒng)三閉環(huán)PID控制系統(tǒng)。該設(shè)計(jì)目前已應(yīng)用于某些有限轉(zhuǎn)角電機(jī)控制的實(shí)際應(yīng)用中。