梁 偉，陸安江，鄒 倩

（貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽(yáng)550025）

1 引言

信號(hào)在采集和傳輸過(guò)程中受到采集儀器和傳輸環(huán)境的影響，不可避免會(huì)加入一些噪聲信號(hào)，對(duì)目標(biāo)信號(hào)識(shí)別和檢測(cè)的性能造成影響。在信號(hào)的分析過(guò)程中，首先要濾除目標(biāo)信號(hào)的噪聲。信號(hào)經(jīng)傳統(tǒng)的傅里葉變換后，有用信號(hào)和噪聲的頻譜在頻域中重疊在一起，小波去噪克服了此種不足，使其在信號(hào)分析、圖像處理和信號(hào)去噪等方面得到了廣泛的應(yīng)用。近年來(lái)，由于以往的硬閾值函數(shù)在閾值處的不連續(xù)性及軟閾值函數(shù)中信號(hào)的原始小波系數(shù)與估計(jì)的小波系數(shù)之間存在恒定偏差，影響了去噪效果[1]。為達(dá)到更好的去噪效果，目前對(duì)于閾值函數(shù)的研究也越來(lái)越多。然而，在目前的閾值函數(shù)的改進(jìn)方法中，大多文獻(xiàn)都是基于參考硬軟閾值函數(shù)的分段函數(shù)進(jìn)行修改。這些改進(jìn)的閾值分段函數(shù)在一定程度上可以改善去噪效果，但對(duì)于原始小波的系數(shù)小于閾值系數(shù)的舍去和大于閾值系數(shù)的保留，沒(méi)有一定的延緩，如果當(dāng)閾值選擇不好時(shí)，可能直接將有用信號(hào)濾掉或?qū)⒃肼曅盘?hào)保留下來(lái)。

針對(duì)此類問(wèn)題，提出一種基于反正切函數(shù)的非分段閾值函數(shù)，該函數(shù)在閾值處具有連續(xù)性和以硬閾值函數(shù)為漸近線，克服了硬軟閾值函數(shù)的不足，同時(shí)具有簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可調(diào)節(jié)功能。

2 小波閾值去噪原理

一個(gè)含噪聲信號(hào)的數(shù)學(xué)表示為：

式中，s(t)為目標(biāo)信號(hào)；x(t)為凈信號(hào)；σε(t)為純?cè)肼?；σ為噪聲的?qiáng)度。

對(duì)目標(biāo)信號(hào)s(t)的去噪處理，即是抑制對(duì)應(yīng)的純?cè)肼曅盘?hào)σε(t)，從而得到凈信號(hào)x(t)。在信號(hào)濾波過(guò)程中，在頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行濾波時(shí)，根據(jù)凈信號(hào)與純?cè)肼曅盘?hào)在頻域中所處的頻譜分布的位置不同進(jìn)行分離，從而對(duì)噪聲進(jìn)行抑制或?yàn)V除[2-3]。然而，當(dāng)信號(hào)頻譜和噪聲頻譜在頻域重疊時(shí)，在頻域中將不能把凈信號(hào)和純?cè)肼曅盘?hào)分開(kāi)，在此種情況下，基于頻域的濾波是無(wú)效的[4]。而對(duì)有用信號(hào)進(jìn)行小波變換后的系數(shù)，和對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行小波變換后的系數(shù)，是根據(jù)它們?cè)谛〔ㄗ儞Q域中的幅值來(lái)區(qū)分的。在通常情況下，經(jīng)過(guò)小波變換處理后，凈信號(hào)比純?cè)肼曅盘?hào)的系數(shù)幅值小[5]。

經(jīng)典的閾值處理函數(shù)有硬閾值分段函數(shù)和軟閾值分段函數(shù)兩種，定義如下：

硬閾值分段函數(shù)：

軟閾值分段函數(shù)：

式中，wwjj,k,k為在小波域中的原始小波系數(shù)為在小波域中經(jīng)過(guò)處理后的估計(jì)小波系數(shù)；sgn為符號(hào)函數(shù)；λ為閾值。硬閾值分段函數(shù)和軟閾值分段函數(shù)的函數(shù)圖像[6]如圖1所示，此處取閾值λ=2。

圖1 硬閾值及軟閾值函數(shù)圖像

由圖中可見(jiàn)，硬閾值分段函數(shù)由于在λ處不連續(xù)，使重構(gòu)后的信號(hào)存在偽吉布斯效應(yīng)及振鈴現(xiàn)象；軟閾值分段函數(shù)盡管在λ處是連續(xù)的，但是在系數(shù)大于閾值絕對(duì)值的地方，原始小波系數(shù)和估計(jì)小波系數(shù)存在恒定偏差，對(duì)濾波效果存在影響[7]。

3 非分段閾值函數(shù)設(shè)計(jì)

針對(duì)硬、軟閾值函數(shù)的不足，目前，大多數(shù)文獻(xiàn)都是參考硬、軟閾值函數(shù)的分段函數(shù)形式進(jìn)行設(shè)計(jì)，直接將估計(jì)小波系數(shù)中小于原始值的系數(shù)舍去，這對(duì)閾值選取的精度提出了要求[8-9]。而此處提出的非分段函數(shù)在閾值處是將系數(shù)進(jìn)行縮小一半處理，在閾值左右的系數(shù)進(jìn)行一個(gè)逐漸縮放系數(shù)的方法進(jìn)行過(guò)渡，從而對(duì)閾值選取的精度要求降低了；另外，本非分段函數(shù)引入?yún)?shù)，可以通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)在硬、軟閾值函數(shù)之間的切換，以及調(diào)整在閾值附近的系數(shù)的縮放程度，并改進(jìn)硬閾值函數(shù)在閾值處的不連續(xù)性和軟閾值函數(shù)的恒定偏差等問(wèn)題。

反正切函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

在數(shù)學(xué)上，此函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且具有兩條漸近線。在此引入?yún)?shù)m，使函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

其中m可以影響曲線的彎曲程度，m值越大，曲線越彎曲。在此，利用反正切函數(shù)圖像的特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的平移和伸縮變換設(shè)計(jì)如下非分段閾值函數(shù)：

從式(6)中可以分析得到該非分段閾值函數(shù)具有的三個(gè)特性：

①該閾值函數(shù)在定義域是連續(xù)的，即函數(shù)在閾值處是連續(xù)的;

③該函數(shù)曲線的彎曲程度受引入?yún)?shù)m影響，m越大，曲線的彎曲程度越大，且該閾值函數(shù)圖像越來(lái)越靠近硬閾值函數(shù)圖像，當(dāng)m向0.2由大到小靠近時(shí)，該閾值函數(shù)圖像越來(lái)越靠近軟閾值函數(shù)圖像，即該函數(shù)可以在很大程度上兼顧硬、軟閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，并且可以在它們之間進(jìn)行調(diào)節(jié)。

不同參數(shù)m下的不同非分段閾值函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2 不同m下的分段閾值函數(shù)曲線

4 非分段函數(shù)的閾值設(shè)計(jì)

在小波閾值去噪算法中，閾值的選取十分重要，將直接影響信號(hào)的去噪質(zhì)量，實(shí)際的閾值應(yīng)該是恰好大于噪聲信號(hào)的幅值小波系數(shù)時(shí)，濾波效果才最好。此處所設(shè)計(jì)的非分段函數(shù)對(duì)閾值精準(zhǔn)度要求并不那么嚴(yán)格，因其在閾值附近對(duì)小波系數(shù)處理的方式不同，采取系數(shù)壓縮的方式進(jìn)行逐漸過(guò)渡，從而可以壓縮保留閾值附近的有用信號(hào)的小波系數(shù)和削減閾值附近的噪聲信號(hào)的小波系數(shù)，達(dá)到更好的去噪效果[10-11]。

小波去噪算法的閾值選取方法有很多種，例如無(wú)偏估計(jì)、啟發(fā)式閾值、固定式閾值、極大極小閾值、全局閾值等，其中最為經(jīng)典的是全局閾值，其表達(dá)式為：

式中，σ為估計(jì)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差；Median(|wj,k|)為第一次小波變換后高頻系數(shù)絕對(duì)值的中值；0.6745為噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差的調(diào)整系數(shù)；N為信號(hào)長(zhǎng)度[12]。

5 MATLAB去噪仿真

為驗(yàn)證該非分段閾值函數(shù)的有效性，利用MATLAB進(jìn)行去噪仿真實(shí)驗(yàn)。仿真使用的目標(biāo)信號(hào)為blocks高斯白噪聲信號(hào)和bumps高斯白噪聲信號(hào)。濾波效果評(píng)價(jià)指標(biāo)為性噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE），SNR越高、RMSE越小，則表明濾波效果越好[13-14]。

分別用硬、軟閾值函數(shù)、文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[5]和非分段閾值函數(shù)進(jìn)行去噪仿真。仿真使用式(7)中的閾值λ。在文獻(xiàn)[4]中的閾值函數(shù)為分段函數(shù)且對(duì)于系數(shù)小于閾值的絕對(duì)值的函數(shù)沒(méi)有進(jìn)行壓縮，直接讓其為零；在文獻(xiàn)[5]中的閾值函數(shù)為分段函數(shù)在閾值附近的系數(shù)進(jìn)行了一定程度的壓縮，但是壓縮幅度沒(méi)有式(6)中的閾值函數(shù)的壓縮度大；文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]的閾值函數(shù)對(duì)閾值處的系數(shù)進(jìn)行完全的保留和完全的壓縮處理。仿真測(cè)試中的小波基函數(shù)均為db8且分層數(shù)均為5層。仿真效果如圖3和圖4所示，詳細(xì)數(shù)據(jù)結(jié)果由表1給出。

圖3 blocks信號(hào)去噪效果仿真結(jié)果

圖4 bumps信號(hào)去噪效果仿真結(jié)果

表1 不同閾值函數(shù)下的SNR與RMSE

從上述仿真結(jié)果可知：

對(duì)于兩種不同的含噪信號(hào)，新函數(shù)去噪效果都比傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)的要好，信噪比分別提高了18.57%和8.38%；均方誤差分別降低了34.82%和19.13%。

相比文獻(xiàn)[4]中的閾值函數(shù)，對(duì)于不同含噪信號(hào)，信噪比分別提高了1.33%和1.63%，均方誤差分別降低了3.62%和4.39%。

相比文獻(xiàn)[5]中的閾值函數(shù)，對(duì)于不同含噪信號(hào)，信噪比分別提高了16.87%和1.57%，均方誤差分別降低了48.45%和4.13%。

相比文獻(xiàn)[4]中不同類型的閾值函數(shù)，去噪效果相差不是很大，但對(duì)于文獻(xiàn)[5]中有相同趨勢(shì)的閾值函數(shù)在對(duì)blocks含噪信號(hào)上有很大的提升。

6 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)全面分析傳統(tǒng)小波去噪的硬、軟閾值函數(shù)及現(xiàn)有改進(jìn)的閾值函數(shù)的特征及其優(yōu)缺點(diǎn)，結(jié)合反正切函數(shù)圖像的特點(diǎn)，提出了一種區(qū)別于其它閾值函數(shù)的非分段閾值函數(shù)，并且在非分段閾值函數(shù)中引入了參數(shù)，以便調(diào)節(jié)參數(shù)大小來(lái)達(dá)到最好的去噪效果。通過(guò)對(duì)兩種含噪信號(hào)使用不同的閾值函數(shù)進(jìn)行去噪，對(duì)比仿真數(shù)據(jù)，所提出的非分段閾值函數(shù)的有效性及特有的優(yōu)點(diǎn)得到了驗(yàn)證。