吳忠強(qiáng)，王國(guó)勇，謝宗奎，盧雪琴，何怡林

(燕山大學(xué) 河北省工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

1 引 言

隨著能源危機(jī)的日益加重，新能源汽車代替燃油汽車成為各國(guó)可持續(xù)發(fā)展的重要舉措。相對(duì)于傳統(tǒng)汽車,電動(dòng)汽車在能量補(bǔ)給速度方面存在一定的劣勢(shì)，因此動(dòng)力電池充放電成為制約電動(dòng)汽車推廣的關(guān)鍵因素。動(dòng)力電池模型的建立以及模型參數(shù)的精確辨識(shí)是對(duì)電池電量進(jìn)行高效利用和優(yōu)化控制的前提[1～3]。

蓄電池模型是研究蓄電池充放電性能的主要載體。常用的蓄電池模型主要有等效電路模型和電化學(xué)模型[4]。電化學(xué)模型主要研究動(dòng)力電池內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)過(guò)程，是一種精確的電池模型，由于計(jì)算復(fù)雜，僅適用于理論研究[5]；等效電路模型是目前應(yīng)用最廣泛的電池模型，由電池內(nèi)阻、極化電容和電壓源等理想電路元件組成，采用線性變參數(shù)方法(linear parameter varying, LPV)來(lái)模擬蓄電池的非線性工作特性[6]。等效電路模型精度略低于電化學(xué)模型，但相比電化學(xué)模型具有參數(shù)少、計(jì)算簡(jiǎn)單、便于實(shí)時(shí)估計(jì)等優(yōu)點(diǎn)[7]。目前，常用的等效電路模型有Rint模型、RC模型、PNGV模型和Thevenin模型等。Thevenin模型具有更好的動(dòng)態(tài)適應(yīng)性，可以很好地模擬電池的動(dòng)態(tài)特性且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單[8]，在蓄電池的建模及荷電狀態(tài)(SOC)估計(jì)中的應(yīng)用也最廣泛[9]。

目前，常用的等效電路模型參數(shù)辨識(shí)方法有最小二乘法，遺傳算法，粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法等。文獻(xiàn)[10,11]采用最小二乘法對(duì)電池等效電路模型中各元件參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。最小二乘法原理簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)、收斂速度快，但只適用于線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)?；谶z傳算法的等效電路模型參數(shù)辨識(shí)[12,13]，是將估計(jì)出的參數(shù)做I-V擬合，利用每次迭代減小誤差得到參數(shù)，適用于非線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)，但設(shè)定參數(shù)較多，編程復(fù)雜，優(yōu)化時(shí)間較長(zhǎng)?；诹Ｗ尤簝?yōu)化算法的蓄電池參數(shù)辨識(shí)[14,15]，該算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，搜索速度快，易于工程實(shí)現(xiàn)[16]，但易陷入局部最優(yōu)，全局搜索能力差。近幾年，許多智能優(yōu)化算法也被應(yīng)用到蓄電池等效電路模型的參數(shù)辨識(shí)中。文獻(xiàn)[17]采用布谷鳥算法辨識(shí)電池模型參數(shù)，該算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)少，在處理優(yōu)化問(wèn)題時(shí)不需要重新匹配參數(shù)，缺點(diǎn)是辨識(shí)電池模型參數(shù)時(shí)容易陷入局部最優(yōu)，迭代后期種群更新緩慢。文獻(xiàn)[18]采用細(xì)菌覓食算法對(duì)蓄電池模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，該算法并行搜索，不易陷入局部最優(yōu)，魯棒性強(qiáng)，找到全局最優(yōu)解的概率高，但是算法的收斂速度較慢。

針對(duì)上述算法在蓄電池參數(shù)辨識(shí)中的問(wèn)題，本文提出了一種基于改進(jìn)蟻獅優(yōu)化算法(improved ant lion optimization, IALO)的蓄電池參數(shù)辨識(shí)方法。針對(duì)蟻獅優(yōu)化算法(ant lion optimization, ALO)存在收斂速度較慢與精度較低的問(wèn)題，引入混沌Logistic映射初始化，使初始化群體遍及解空間，有利于尋找全局最優(yōu)解；引入自適應(yīng)慣性權(quán)重加隨機(jī)柯西變異策略，提高算法收斂速度；引入精英反向?qū)W習(xí)策略提高群體的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)解。將3種改進(jìn)策略相結(jié)合，加快了ALO算法的收斂速度，提高算法的尋優(yōu)精度。

2 蟻獅優(yōu)化算法

ALO算法是2015年由Seyedali等[19]提出的一種新型智能優(yōu)化算法，受到蟻獅捕食螞蟻過(guò)程中不斷尋找優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解啟發(fā)而提出的。

螞蟻隨機(jī)游走表達(dá)式為：

xt=[0,cumsum(2r(t1)-1),cumsum, (2r(t2)-1),…,cumsum(2r(tN)-1)

(1)

式中：xt為第t次迭代過(guò)程中螞蟻隨機(jī)游走后的位置;cumsum為累加和；N為螞蟻的數(shù)目；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；r(t)為一個(gè)隨機(jī)函數(shù)值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(2)

式中：rand為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

螞蟻隨機(jī)游走受到蟻獅陷阱收縮影響，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(3)

(4)

當(dāng)螞蟻在陷阱周圍隨機(jī)移動(dòng)時(shí)，蟻獅會(huì)繼續(xù)挖洞，使螞蟻慢慢移向自己，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(5)

(6)

式中:T為最大的迭代次數(shù)；w為能夠調(diào)整螞蟻移向蟻獅的速度：

(7)

為保證螞蟻在搜索空間內(nèi)隨機(jī)游走，使用式(8)處理：

(8)

螞蟻當(dāng)前的位置為:

(9)

式中：At為第t次迭代通過(guò)輪盤賭方式選擇的在蟻獅周圍隨機(jī)游走的螞蟻；Et為第t次迭代在精英蟻獅周圍隨機(jī)游走的螞蟻。

蟻獅捕到螞蟻后，位置更新公式為:

(10)

ALO算法中輪盤賭的選擇機(jī)制、螞蟻的隨機(jī)游走確保了對(duì)搜索空間的開發(fā)能力，蟻獅陷阱的自適應(yīng)性提高了算法的收斂效率[20]。

算法實(shí)現(xiàn)步驟為：

步驟1：設(shè)置參數(shù)，最大迭代次數(shù)T、螞蟻和蟻獅的數(shù)目分別為N和M、適應(yīng)度函數(shù)維數(shù)D，以及位置變量的上限bu和下限bl。

步驟2：隨機(jī)初始化螞蟻和蟻獅的位置，并分別保存在位置矩陣pAnt和pAntlion中，適應(yīng)度值保存在FAnt和FAntlion中，將適應(yīng)度進(jìn)行排序，選出其中適應(yīng)度值最大的蟻獅作為精英蟻獅個(gè)體EAntlion。

(11)

(12)

(13)

(14)

An,d=bl,d+rand(0,1)(bu,d-bl,d)

(15)

Lm,d=bl,d+rand(0,1)(bu,d-bl,d)

(16)

式中：n=1,2,…,N；d=1,2,…,D；An,d表示第n只螞蟻第d維搜索空間的位置；m=1,2,…,M；Lm,d表示第m只蟻獅第d維搜索空間的位置；bu,d、bl,d為第d維搜索空間的上下限；f[An,1…An,D]表示第n只螞蟻適應(yīng)度值；f[Ln,1…Ln,D]表示第n只蟻獅適應(yīng)度值。

步驟4：游走后的螞蟻根據(jù)式(10)與當(dāng)前位置最好的蟻獅對(duì)比，重新調(diào)整最佳蟻獅的位置。如果蟻獅的位置超出了最遠(yuǎn)邊界bu或者bl，則按照最遠(yuǎn)邊界處理，t=t+1。

步驟5：判斷是否達(dá)到算法的最大迭代次數(shù)或精度。若達(dá)到，則獲得最佳蟻獅位置；否則轉(zhuǎn)至步驟3。

3 改進(jìn)ALO算法

針對(duì)ALO算法在函數(shù)尋優(yōu)過(guò)程中存在的估計(jì)精度不高、收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，提出3點(diǎn)改進(jìn)：(1) 混沌Logistic映射初始化；(2) 自適應(yīng)慣性權(quán)重加隨機(jī)柯西變異；(3) 精英反向?qū)W習(xí)。

3.1 混沌Logistic映射初始化

文獻(xiàn)[21]將混沌Logistic映射應(yīng)用到蜂群算法初始化中，提高了蜂群算法的尋優(yōu)精度。在優(yōu)化算法中，初始化種群的方式?jīng)Q定了初始種群的多樣性，從而決定了尋優(yōu)的速度以及解的質(zhì)量。多數(shù)情況下隨機(jī)初始化產(chǎn)生的初始種群多樣性較差，在一定程度上影響了求解的效率。本文采用混沌Logistic映射初始化種群，有望提高種群的多樣性和遍歷性。

利用混沌算法產(chǎn)生初始解的過(guò)程為：

1) 通過(guò)式(16)隨機(jī)產(chǎn)生M個(gè)蟻獅初始解，通過(guò)式(17)將其映射到Logistic方程的定義域內(nèi)：

(17)

2) 用Logistic方程進(jìn)行迭代產(chǎn)生混沌序列：

(18)

式中：μ為3.57到4之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)μ取4時(shí)，完全進(jìn)入混沌狀態(tài)。

3) 將產(chǎn)生的混沌序列映射回原來(lái)的定義域內(nèi)：

(19)

3.2 自適應(yīng)慣性權(quán)重加隨機(jī)柯西變異

文獻(xiàn)[22]提出了一種非線性慣性權(quán)重下降策略并應(yīng)用到鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm, WOA)中，慣性權(quán)重對(duì)智能優(yōu)化算法的收斂速度和全局尋優(yōu)能力都有重要影響。實(shí)驗(yàn)證明，較大的慣性權(quán)重有利于粒子全局尋優(yōu)，反之，則利于局部開發(fā)。文獻(xiàn)[23]引入柯西變異策略并應(yīng)用到PSO算法中，有利于增加種群多樣性以減小陷入局部最優(yōu)的概率。為了提高ALO算法的尋優(yōu)能力，本文提出一種以當(dāng)前最優(yōu)蟻獅位置為中心的自適應(yīng)慣性權(quán)重加隨機(jī)柯西變異策略，協(xié)調(diào)全局搜索和局部開發(fā)能力，進(jìn)而提高算法收斂速度與尋優(yōu)能力，表達(dá)式為：

(20)

Lm,d=WLm,d+z1z2Cauchy(0,1) ×(EAntlion,d-Lm,d)

(21)

式中：W(t)為第t次迭代的權(quán)重值；g、h為自適應(yīng)權(quán)重常數(shù)項(xiàng)因子；z1、z2為0到1之內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；Cauchy(0,1)是服從標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的隨機(jī)數(shù)；EAntlion,d為蟻獅最優(yōu)個(gè)體。

3.3 精英反向?qū)W習(xí)策略

策略2中采用的隨機(jī)柯西變異策略變異范圍的中心為最優(yōu)個(gè)體位置，這一定程度上限定了個(gè)體變異的多樣性，因此，為了進(jìn)一步增加算法尋優(yōu)過(guò)程中種群多樣性，群體更新過(guò)程中引入精英反向?qū)W習(xí)策略。Shahryar等[24]已證明反向候選解可以更大概率接近全局最優(yōu)解，反向?qū)W習(xí)策略現(xiàn)已被成功應(yīng)用到粒子群算法[25]、差分進(jìn)化算法[26]等算法的優(yōu)化中，用于拓展種群的搜索區(qū)間，提高算法的性能。

精英反向?qū)W習(xí)策略過(guò)程為：

1) 根據(jù)現(xiàn)有種群生成其反向解種群：

(22)

2) 當(dāng)反向解超過(guò)邊界時(shí)，對(duì)反向解進(jìn)行重置：

(23)

(24)

(25)

式中：Ji,d代表第i個(gè)精英個(gè)體第d維搜索空間的位置,i=1,2,…,P；Pj,d代表第j個(gè)普通個(gè)體第d維搜索空間的位置,j=1,2,…,(N-P)。

4) 精英群體反向解和普通群體構(gòu)成新種群。

4 算法測(cè)試與分析

為了驗(yàn)證所提算法的優(yōu)越性，選取5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)將IALO與ALO、自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法(adaptive particle swarm optimization, APSO)和樽海鞘優(yōu)化算法(salp optimization algorithm, SSA)的性能進(jìn)行比較。設(shè)置算法參數(shù)：IALO算法中，自適應(yīng)權(quán)重常數(shù)項(xiàng)因子為：g=3、h=2。APSO算法中，學(xué)習(xí)因子c1=1.494 45、c2=1.494 45；慣性權(quán)值上下限ωmax=0.9，ωmin=0.4；速度更新上下限vmax=1，vmin=-1。SSA算法中，移動(dòng)方向概率閾值r3=0.5。4種算法種群規(guī)模、迭代次數(shù)、粒子空間維數(shù)統(tǒng)一設(shè)定為：n=40、T=500、D=10。4種算法分別獨(dú)立運(yùn)行10次，并對(duì)運(yùn)行所得的最優(yōu)值、均值與方差進(jìn)行比較，結(jié)果見(jiàn)表1。

從表1可看出，APSO最優(yōu)值達(dá)到10-4，ALO最優(yōu)值達(dá)到10-9，SSA的最優(yōu)值達(dá)到10-10，IALO最優(yōu)值達(dá)到零，IALO的尋優(yōu)精度優(yōu)于前3種算法。從測(cè)試函數(shù)的均值和方差可以看出，APSO對(duì)于測(cè)試函數(shù)的均值和方差大都在10-2和10-4左右，SSA對(duì)于測(cè)試函數(shù)的均值和方差大都在10-5和10-11左右，ALO算法對(duì)于測(cè)試函數(shù)的均值和方差大都在10-5與10-12左右，而IALO的對(duì)于測(cè)試函數(shù)的均值和方差大都在10-36和10-80左右，因此，相比較前3種算法，IALO具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性。

表1 PSO、SSA、ALO和IALO的估計(jì)精度Tab.1 Estimation accuracy of APSO，SSA，IALO and ALO

本文對(duì)4種算法的收斂速度也進(jìn)行了比較，將運(yùn)行10次的適應(yīng)度值取平均值，結(jié)果顯示：SSA對(duì)于多數(shù)測(cè)試函數(shù)迭代250～300次達(dá)到收斂，APSO對(duì)于多數(shù)測(cè)試函數(shù)迭代200～250次達(dá)到收斂，ALO對(duì)于多數(shù)測(cè)試函數(shù)迭代150～200次達(dá)到收斂，IALO對(duì)于多數(shù)測(cè)試函數(shù)迭代5～20次就達(dá)到收斂，因此，相比前3種算法，IALO收斂速度更快。

5 蓄電池建模與參數(shù)辨識(shí)

選用的電池模型為三階戴維南等效電路模型[27]，如圖1。

圖1 三階電池模型Fig.1 Third-order model of a battery

電路中包含1個(gè)理想電壓源、1個(gè)電阻，3個(gè)RC環(huán)。將3個(gè)RC環(huán)兩端的電壓作為狀態(tài)變量，電流作為輸入變量，模型端電壓作為輸出變量，列寫電池模型的離散狀態(tài)空間表達(dá)式：

(26)

(27)

利用IALO算法對(duì)電池模型電阻、電容參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，將放電電流iL作為系統(tǒng)輸入，電池端電壓uL作為輸出，待辨識(shí)參數(shù)包括uoc、Δuoc、R0、R1、R2、R3、C1、C2以及C3等9個(gè)參數(shù)。算法的目標(biāo)函數(shù)為：

(28)

蓄電池是容量為12 V/50 A·h的鉛酸蓄電池，利用PITE 3980智能放電監(jiān)測(cè)儀采集電池組放電電壓、電流實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)見(jiàn)圖2。

圖2 蓄電池實(shí)驗(yàn)測(cè)試臺(tái)Fig.2 Test bench of battery

先采用4 A電流對(duì)蓄電池進(jìn)行放電1 h，靜置0.5 h;再采用3 A放電電流對(duì)蓄電池放電1 h，靜置0.5 h;最后采用2 A放電電流對(duì)蓄電池放電1 h。每隔4 min取1次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到的電池端電壓曲線見(jiàn)圖3，由圖可以看出：放電電流越大，電壓下降越快。

圖3 端電壓曲線Fig.3 Curve of terminal voltage

基于蓄電池的放電實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用ALO與IALO算法辨識(shí)模型參數(shù)。統(tǒng)一設(shè)置算法參數(shù)：種群規(guī)模n為30,最大迭代T為1 000，粒子空間維數(shù)D為9，辨識(shí)模型10次。分別取兩算法最優(yōu)適應(yīng)度值的9個(gè)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表2，端電壓的最優(yōu)估計(jì)曲線見(jiàn)圖4。

表2 模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Identification result of model parameters

由圖4可看出，IALO和ALO算法的辨識(shí)結(jié)果與測(cè)量值基本重合，均有較好的辨識(shí)精度。為了更清楚地觀察辨識(shí)結(jié)果，給出辨識(shí)結(jié)果的誤差曲線見(jiàn)圖5。圖中，ALO算法估計(jì)誤差值在-0.02～0.015之間；IALO算法估計(jì)誤差值在-0.005～0.006之間，辨識(shí)誤差較小。

圖4 端電壓擬合比較曲線Fig.4 Fitting curve of terminal voltage

圖5 端電壓估計(jì)誤差曲線Fig.5 Terminal voltage estimation average error curve

為了進(jìn)一步說(shuō)明IALO算法的準(zhǔn)確性，取10次辨識(shí)結(jié)果的均方誤差MSE、平均絕對(duì)百分比誤差MAPE和平均絕對(duì)誤差MAE作為擬合準(zhǔn)確率的評(píng)價(jià)指標(biāo)。均方誤差MSE是反映估計(jì)量與被估計(jì)量之間差異程度的一種度量；平均絕對(duì)百分比誤差MAPE反映預(yù)測(cè)效果；平均絕對(duì)誤差MAE是絕對(duì)誤差的平均值，能更好的反映預(yù)測(cè)值誤差的實(shí)際情況，3種評(píng)價(jià)指標(biāo)取值越小越好。兩算法3種誤差的平均值見(jiàn)表3。MSE、MAPE及MAE的定義分別為：

(29)

(30)

(31)

由表3可看出，IALO算法相比ALO算法的MSE、MAPE、MAE分別小2.252×10-4,4.207×10-4,2.866×10-3，辨識(shí)精度更高。

6 結(jié) 論

等效電路模型的選擇和模型參數(shù)的辨識(shí)精度，對(duì)蓄電池荷電狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)具有重要意義。提出了一種改進(jìn)蟻獅優(yōu)化算法，引入混沌Logistic映射初始化，有利于尋找全局最優(yōu)解；引入自適應(yīng)慣性權(quán)重加隨機(jī)柯西變異策略，有利于提高算法收斂速度；引入精英反向?qū)W習(xí)策略可以有效地提高群體的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)解。5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果表明：IALO相比于PSO，SSA，ALO算法尋優(yōu)精度更高，收斂速度更快，將IALO應(yīng)用于三階Thevenin等效電路模型參數(shù)辨識(shí)中，得到更小的估計(jì)誤差，驗(yàn)證了IALO算法的有效性。