黃 坤，白宇帥，張春云，崔 苗

(大連理工大學，工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧省空天飛行器前沿技術(shù)重點實驗室，遼寧 大連 116024)

J.Bear[1]于1983年提出多孔介質(zhì)具有三個特點：多相、固體骨架大且孔隙窄和孔隙相互連接.隨著人們對多孔介質(zhì)認知的提升，可以將多孔介質(zhì)總結(jié)成由多相材料所組成的物質(zhì)，其固體部分被稱為骨架，剩余空間被稱為孔隙，類型包括氣相和液相，孔隙可以連通，根據(jù)連通與否分為開孔和閉孔材料.根據(jù)多孔固體的孔隙率、孔隙形狀及孔隙的微觀結(jié)構(gòu)，通?？煞譃槿N多孔介質(zhì)類型[2]：(1)泡沫型，孔隙以三維空間填充的多面體構(gòu)成，固體呈連續(xù)三維網(wǎng)狀分布(如球形、橢球形、多面體)，通常稱為泡沫體(如泡沫金屬[3]，泡沫塑料[4]，泡沫碳[5-6]，蜂窩體).(2)顆粒型，介質(zhì)內(nèi)固體以顆粒形狀排列，代表單元未固結(jié)，非剛性，以相對松散堆積的組合，其中顆粒被顆粒間孔網(wǎng)絡(luò)包圍(如土壤，沙子，礫石或碎石[7]).(3)纖維型，以縫合或編織制成，或以機械，化學或物理方式將纖維粘合成隨機的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)(如衣物[8-9]，纖維編織材料[10]，氣凝膠[11]).

圖1 通過隨機四參數(shù)法生成的多孔介質(zhì)(將邊界平滑處理)

多孔介質(zhì)具有密度小、導熱系數(shù)低、隔熱性好等特點，在石油開采[12]、地質(zhì)工程[13]、地球環(huán)境科學與技術(shù)[14]、能源儲存[15-16]、鑄造加工[17]、核反應(yīng)[18]和航天[19]等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值.多孔介質(zhì)內(nèi)的傳熱不僅與固、氣相介質(zhì)本身的熱物理特性有關(guān)，還與多孔介質(zhì)中固相網(wǎng)絡(luò)和孔隙結(jié)構(gòu)有關(guān)，對多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)如圖1所示，進行傳熱數(shù)值模擬非常困難，這是因為除了需要考慮各相的熱傳導，當溫度較高時，需要考慮輻射傳熱[20]的影響，當存在流體流動時，還需要考慮對流換熱的影響.采用等效導熱系數(shù)來描述多孔介質(zhì)的傳熱性能，是簡化多孔介質(zhì)內(nèi)傳熱模擬的一種常用方法.然而由于多孔介質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，等效導熱系數(shù)預(yù)測模型不具有通用性.研究表明，將經(jīng)驗參數(shù)(通過實驗或理論方法獲得)與理論模型相結(jié)合，能提高模型等效導熱系數(shù)的預(yù)測精度.此外，多孔介質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多孔介質(zhì)的導熱系數(shù)有時還呈現(xiàn)出各向異性[21]但是目前大部分的模型都將多孔介質(zhì)視為各向同性材料，這也是目前需要解決的關(guān)鍵性問題之一.

多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)的研究包括實驗研究、理論分析和數(shù)值模擬[22-25]三種手段，下面將對上述三個方面進行綜述.

1 實驗研究

多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)的實驗方法主要包括以下三種：

1.1 穩(wěn)態(tài)實驗方法

Amani等[26]通過新型防護熱板法[27]研究開孔材料孔隙率為92.7%，尺寸為80 mm×80 mm×40 mm的鋁合金泡沫的導熱系數(shù)，借助X射線斷層攝影技術(shù)提取金屬泡沫的幾何特征，通過FEM方法獲得其等效導熱系數(shù)并與實驗結(jié)果進行對比.防護熱板法設(shè)備由樣品、冷卻板、加熱板、隔熱材料以及相關(guān)電氣設(shè)備組成，借助珀爾帖模塊來控制冷卻板和加熱板的溫度，通過傳熱區(qū)域產(chǎn)生的一維溫度梯度來準確測量等效導熱系數(shù).該實驗需要1 h～2 h進入穩(wěn)態(tài)條件，忽略橫向的熱傳遞，只考慮一維垂直熱傳遞，通過熱阻法計算材料的等效導熱系數(shù).由于實驗盡可能地減少了自然對流的影響，此外，在低于75 ℃時可忽略熱輻射的影響，因此，鋁合金泡沫的等效導熱系數(shù)的預(yù)測精度較高.

Rottmann等[28]使用防護熱板法測量孔隙率在84%～98%的真空膨脹珍珠巖的等效導熱系數(shù)，并利用瞬態(tài)熱線法測量材料的表觀熱導率.實驗溫度最高達800 ℃，其在計算過程中考慮了熱輻射對導熱系數(shù)的影響，并且將固體的等效導熱系數(shù)與表觀消光系數(shù)進行聯(lián)系.通過將防護熱板法和瞬態(tài)熱線法對比發(fā)現(xiàn)，防護熱板法低估了輻射效應(yīng)對傳熱的貢獻，將防護熱板法和瞬態(tài)熱線法相結(jié)合能夠很好地確定考慮熱輻射影響的等效導熱系數(shù).

在防護熱板中加入熱流量計[29]可以提高等效導熱系數(shù)的預(yù)測精度.Florez等[30]構(gòu)建了一種用于測量熱管燒結(jié)多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)的設(shè)備.實驗裝置包括三個主要部分：加熱器、樣品架和冷卻器.尺寸為85 mm×10 mm×2 mm銅片與多孔樣品串聯(lián)在一起作為通量計，將熱量通過熱傳導傳遞到樣品.樣品的熱通量測量值為兩個通量計測量值的平均.防護熱板中的溫度分布與下部通量計、樣品和上部通量計測得的溫度分布非常相似，所以熱板可以起到輻射屏蔽作用.將系統(tǒng)放置在抽空的聚碳酸酯管內(nèi)，避免了來自測試樣品的對流傳熱.測試溫度在20 ℃～80 ℃之間.通過連接到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的T型熱電偶測量得到溫度，然后進行數(shù)據(jù)處理.

(1)

Moayeri等[31]研究了影響多孔涂層材料等效導熱系數(shù)的因素，主要包括粉末形狀、表面粗糙度以及孔隙率.研究中Cu-Ni粉末分為球形平滑、不規(guī)則平滑和不規(guī)則粗糙三種各類型，孔隙率包括20%、30%和40%.等效導熱系數(shù)的測定實驗示意圖以及熱電偶的位置如圖2所示.

圖2 測量樣品等效導熱系數(shù)的實驗裝置[32]

圖2中的9個K型熱電偶等間距放置，可以得到多孔介質(zhì)的等效導熱系數(shù)為

(2)

公式中：ΔTCu為銅棒上測量點的溫度差；ΔTtablet為多孔樣品上測量點的溫度差；KCu為銅棒的導熱系數(shù)(這里KCu=372 W/(m·K)).從實驗結(jié)果可以看出Maxwell模型與等效導熱系數(shù)實驗值比較相近，并且球形粉末相對更加匹配該模型；表面粗糙度對等效導熱系數(shù)的影響大于粉末形狀.

1.2 瞬態(tài)實驗方法

Penide-Fernandez等[32]研究了壓縮對柔性編制陶瓷纖維的各向異性導熱系數(shù)的影響，通過瞬態(tài)平面熱源法[33]如圖3所示.進行測量導熱系數(shù)，并將實驗結(jié)果與FEM建模仿真結(jié)果進行對比.實驗要求在溫度記錄時，瞬態(tài)加熱不能到達樣品邊界，其中最小輸出功率P0=35 mW，瞬態(tài)記錄時間t=10 s，樣品尺寸為40 mm×40 mm，厚度為0.55 mm.實驗采用熱盤TPS2200分析儀進行數(shù)據(jù)采集和后處理，該分析儀準確性>95%，可重復(fù)性>99%.

圖3 使用瞬態(tài)平面熱源法測量導熱系數(shù)[33]

對每個施加的載荷，進行了每組三個導熱系數(shù)的測量，每次測量的室內(nèi)溫度均保持在25±1 ℃.兩次測量之間使用30 min的等待時間，確保樣品在施加新的壓縮載荷后達到熱平衡和機械松弛.由于實驗過程中存在對流傳熱，測得的等效導熱系數(shù)比采用FEM求解得到的數(shù)值大.總體上看，F(xiàn)EM仿真模擬與瞬態(tài)平面源測量的導熱系數(shù)具有良好的一致性，應(yīng)用所提出的方法可以有效地獲得陶瓷織物的各向異性導熱系數(shù).

Nikpourian等[34]制備了一種高性能的多層氣凝膠超級隔熱材料[35]，借助防護熱板法設(shè)計了確定單層氣凝膠氈的等效導熱系數(shù)的實驗方法，并采用瞬態(tài)條件下的March方法計算多層隔熱材料的等效導熱系數(shù)，研究了其內(nèi)酚醛清漆樹脂濃度對氣凝膠氈的熱物理性質(zhì)的影響.計算多層隔熱材料等效導熱系數(shù)的實驗方法是將多層隔熱材料放置在長度0.1 m，外徑0.01 m，厚度0.001 m的黃銅圓管周圍，借助兩個氧化鋁泡沫對上下兩面進行隔熱，使用K型電偶獲得冷卻溫度曲線.

根據(jù)傅里葉定律，單層氣凝膠氈的等效導熱系數(shù)可以表示為

(3)

公式中：Q、L、A、(Th-Tc)分別為樣品的輸出熱通量、樣品的厚度、樣品的表面積以及加熱器和冷卻器之間的溫度梯度.

通過March方法可以得到多層氣凝膠氈的等效導熱系數(shù)

(4)

公式中：h、rH、rc、t分別為圓柱體的高度、外半徑、內(nèi)半徑和多層隔熱的厚度.將穩(wěn)態(tài)實驗和瞬態(tài)實驗相結(jié)合，能夠找到最佳氣凝膠氈層數(shù)：使用酚醛清漆氣凝膠的多層隔熱材料的最佳層數(shù)是12層.

1.3 考慮輻射或?qū)α饔绊懙膶嶒灧椒?/h3>

Mora-Monteros等[36]研究了陶瓷泡沫材料的等效導熱系數(shù)，通過實驗來測量輻射換熱量如圖4所示.該實驗使用洛桑聯(lián)邦理工學院45千瓦的高通量太陽模擬器(HFSS)，該模擬器由18個單元組成，每個單元可以提供(1.0～1.5)±0.1 MW·m2峰值的輻射通量，18個單元同時使用可以使峰值熱通量達到21.7 MW·m2.將樣品放置在HFSS的焦點處，使用紅外相機測量表面溫度，熱電偶測量內(nèi)部溫度.通過將實驗與數(shù)值模擬進行耦合，可以增加樣品測點的溫度計算值和實驗值之間的擬合度.多孔介質(zhì)的孔隙率、消光系數(shù)以及使用環(huán)境對等效導熱系數(shù)的影響比較大，其中使用致密涂層可以減少熱輻射對導熱系數(shù)測量的影響，通過將實驗與數(shù)值模擬進行耦合，是處理復(fù)雜使用條件，計算等效導熱系數(shù)的有效方法.

圖4 Mora-Monteros 實驗原理[36]

在上述的三種方法中，穩(wěn)態(tài)方法需要達到熱通量和內(nèi)部溫度的穩(wěn)定，這種方法比較耗時，且對儀器設(shè)備和實驗操作要求較高，常見的方法有防護熱板法；瞬態(tài)方法在加熱材料的同時測量材料溫度的響應(yīng)，其中瞬態(tài)平面熱源法最具代表性，該類方法具有測試時間短、溫度變化不大和對材料內(nèi)部影響小等特點，能夠快速、高精度地測量多孔介質(zhì)材料的導熱系數(shù)；考慮熱輻射/熱對流的影響時，實驗更為復(fù)雜.

2 理論分析

多孔介質(zhì)模型的構(gòu)造通常采用孔道網(wǎng)格模型、分形理論、等效導熱系數(shù)模型(如串聯(lián)、并聯(lián)、Maxwell-Eucken 模型等)、隨機四參數(shù)生長法、基于掃描圖像進行二值化等.多孔介質(zhì)的導熱性能一方面取決于固體骨架和孔隙內(nèi)流體的導熱系數(shù)，另一方面與固體骨架的空間結(jié)構(gòu)(孔隙大小、形狀和空間分布)也有關(guān)系，因此通常用宏觀意義上的等效導熱系數(shù)來描述多孔材料的導熱性能.由于多孔介質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)在局部與電阻網(wǎng)絡(luò)相似，可以類比電阻求熱阻來計算等效熱導率，其中使用串聯(lián)、并聯(lián)思想求多孔結(jié)構(gòu)等效熱導率的方法最常見.

2.1 基本模型

對于物理結(jié)構(gòu)簡單，只考慮熱傳導的各向同性非均勻多孔材料，Cleland等[37]將其歸結(jié)為以下五種基本模型，如表1所示.

表1 兩相材料的五個基本等效導熱結(jié)構(gòu)模型

表1中，K為等效導熱系數(shù)，k1，k2為各相的導熱系數(shù)，v1，v2為相應(yīng)介質(zhì)體積分數(shù).結(jié)合這5種模型可以確定一定物理結(jié)構(gòu)多孔材料的導熱系數(shù)范圍，其中等效導熱系數(shù)計算結(jié)果以EMT模型為下限，Maxwell-Eucken 1模型為上限.基于以上五個基本結(jié)構(gòu)模型，通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的體積分數(shù)可得到不同的多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)模型.通過這種方式獲得的等效導熱系數(shù)不依賴于經(jīng)驗參數(shù)，并且每種組合模型都具有相應(yīng)的物理基礎(chǔ).

2.2 修正模型

以上的基本模型適用性很廣，但對于如表1中所示的Maxwell-Eucken模型和EMT模型，計算精度不高，需要根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化和修正，其中常用的方法是等效熱阻模型.首先分層計算不同結(jié)構(gòu)的導熱系數(shù)，再借助串并聯(lián)的思想來計算周期性結(jié)構(gòu)的等效導熱系數(shù)，以此來估算整個模型的等效導熱系數(shù)，與基本模型相比，可以提高等效導熱系數(shù)的預(yù)測精度.

Chan等[38]推導了適用于飽和介質(zhì)的石墨烯涂層金屬泡沫的等效導熱系數(shù)的理論模型，解決了以往模型無法處理石墨烯涂層的能力.由于金屬泡沫結(jié)構(gòu)具有一定的均勻性，可以采用半經(jīng)驗的方式處理其幾何結(jié)構(gòu)，此外，金屬泡沫的結(jié)構(gòu)是周期性的，可以用晶胞的導熱系數(shù)來表示金屬泡沫的等效導熱系數(shù).因此，可以通過單位晶格來導出等效導熱系數(shù)方程.單位晶胞可分為五層結(jié)構(gòu)，如圖5所示.分別求出各層的等效導熱系數(shù)后，可通過串聯(lián)方法求出單位晶胞的等效導熱系數(shù)ke，如公式(5)所示.

圖5 晶胞分層結(jié)構(gòu)[38]

(5)

公式中：ke為等效導熱系數(shù)，L1，L2，L3，L4，L5分別為各層的高度.通過與實驗數(shù)據(jù)進行對比，該模型計算的等效導熱系數(shù)誤差在0.30%～1.91%.采用該模型有助于設(shè)計包含多孔結(jié)構(gòu)復(fù)合材料的熱管理系統(tǒng)(TMS).通過研究骨架面積和石墨烯面積比對石墨烯覆蓋的金屬泡沫-石蠟復(fù)合材料等效導熱系數(shù)的影響，發(fā)現(xiàn)石墨烯涂層可以顯著提高金屬泡沫的等效導熱系數(shù).此外，該模型可用于其他泡沫周期結(jié)構(gòu)的等效導熱系數(shù)的估算.

不飽和多孔介質(zhì)在地熱資源開發(fā)、二氧化碳封存、干燥和相變材料等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，其中確定等效導熱系數(shù)對探索其傳熱機理具有重要作用.Shen等[39]建立了不飽和多孔介質(zhì)中導熱的分型模型，基于孔隙和固相構(gòu)建了多孔介質(zhì)的分形毛細管束表征體單元(RVE)模型如圖6所示.分形模型中的所有參數(shù)都具有特定的物理意義，分形維數(shù)的引入可以捕獲非飽和多孔介質(zhì)的孔隙尺度特征.這種模型假設(shè)橫截面上的毛細管直徑遵循分形定律，顯示了各向同性多孔介質(zhì)中的流動路徑，其中毛細管的橫截面可以視為大小不同的圓形.

圖6 多孔介質(zhì)的分形毛細管束模型示意圖[39]

通過等效熱阻方法可以計算不飽和多孔介質(zhì)的等效導熱系數(shù)：

(6)

公式中：LR為RVE的代表長度；A為RVE的橫截面積；Rg、Rw、Rs分別為非濕潤階段、濕潤階段和不飽和多孔介質(zhì)的總熱阻.該方法構(gòu)建了不飽和多孔介質(zhì)導熱系數(shù)的通用模型，與實驗數(shù)據(jù)吻合較好.通過探索等效導熱系數(shù)與孔隙率以及液體飽和度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)等效導熱系數(shù)取決于固體、氣體與液相的導熱系數(shù)之比.

圖7 具有不均勻水膜模型的粒子[40]

Chen等[40]通過瞬態(tài)平面熱源法測量潮濕二氧化硅氣凝劑的等效導熱系數(shù)，該實驗測量過程中水分變化小于1%，對模型影響可以忽略不計，通過實驗數(shù)據(jù)驗證預(yù)測潮濕二氧化硅氣凝劑的等效導熱系數(shù)的理論模型.首先構(gòu)建了具有不均勻水膜結(jié)構(gòu)的分形相交球的多孔介質(zhì)模型如圖7所示，然后推導了該模型的等效導熱系數(shù).由于氣凝劑中傳熱過程比較復(fù)雜，借助參考溫度下的部分實驗數(shù)據(jù)，通過線性擬合獲得經(jīng)驗系數(shù)

β(T)=βref+B1(T-Tref)，

(7)

公式中：β為不均勻系數(shù)，是連接區(qū)域內(nèi)到球形表面上的最大水膜厚與最小水膜厚度之比，下標ref指參考情況；B1為相對材料類型具有正值的經(jīng)驗參數(shù).兩個階段等效導熱系數(shù)為

(8)

(9)

公式中：λunit-z、λunit_xy為通過等效電路方法求得，γ可以通過公式(10)求得.

(10)

公式中：φ為材料的孔隙率.研究表明，低孔隙率模型的等效導熱系數(shù)比高孔隙率的等效導熱系數(shù)對含水量的變化比較敏感.與Bjurstr?m模型[41]等預(yù)測氣凝劑等效導熱系數(shù)的模型相比，該方法增加了一層水膜，引入水膜相對不均勻系數(shù)β，可以還原潮濕多孔介質(zhì)的模型，在預(yù)測潮濕氣凝膠材料等效導熱系數(shù)時的精度較高.

Kaddouri等[42]結(jié)合孔隙形態(tài)，提出了一種確定多孔材料等效導熱系數(shù)的模型，結(jié)合均勻化方法計算多孔材料的等效導熱系數(shù)

λeff?λMaxl+Aln(r)，

(11)

(12)

公式中：λMaxl為Maxwell模型的等效導熱系數(shù)；λp、λm分別為孔和基體的導熱系數(shù)；A為一個常量(A=0.7λmP(1-P)2)；r為橢圓短軸與長軸之比.通過加入長寬比考慮了微觀孔隙結(jié)構(gòu)，與數(shù)值模擬結(jié)果吻合較好，能夠更加準確地預(yù)測多孔結(jié)構(gòu)材料的等效導熱系數(shù).

2.3 考慮輻射或?qū)α鞯哪Ｐ?/h3>

在高溫條件下，多孔介質(zhì)內(nèi)部的傳熱需要考慮輻射熱傳遞.Kiradjiev等[43]對Maxwell類型的三個模型進行了概括，得到了孔隙內(nèi)考慮輻射熱傳遞的等效導熱系數(shù)，結(jié)果表明，在高溫條件下，輻射熱傳遞對多孔介質(zhì)的等效導熱系數(shù)的影響較大.三種模型的等效導熱系數(shù)計算公式如下：

(1)Maxwell輻射模型

(13)

(2)EMT輻射模型

(14)

(3)DEMT模型

(15)

公式中：k、kr分別為固體和輻射導熱系數(shù)；φ為球形顆粒所占的體積分數(shù).這些模型基于孔隙率以及孔隙內(nèi)的輻射效應(yīng)，得到了固體導熱系數(shù)、材料孔隙率的等效導熱系數(shù)表達式.通過模擬發(fā)現(xiàn)，隨著溫度的升高，等效導熱系數(shù)的變化逐漸平緩，這種漸進有界的等效導熱系數(shù)模型更接近實際的物理現(xiàn)象，對于工程應(yīng)用具有重要意義，為材料設(shè)計提供新的思路.

Munagavalasa等[44]推導了雙尺度多孔介質(zhì)的溫度平衡方程，該方程控制了非飽和流動過程中的能量分布，其中等效導熱系數(shù)是方程式中一個非常重要的參數(shù).由于使用連續(xù)性方程、動量方程和能量方程的無量綱形式，可將等效導熱系數(shù)無量綱化，從而推導出無量綱化等效導熱系數(shù)張量，提高了數(shù)值模擬穩(wěn)定性.研究了進口速度、界面體積通量在多孔介質(zhì)飽和與非飽和情況下對等效導熱系數(shù)的影響，結(jié)果表明，雙尺度飽和多孔介質(zhì)中測得的等效導熱系數(shù)可以用于流動入口后的不飽和區(qū)域，與是否存在局部熱平衡無關(guān)，隨著絲束間距離的增加，等效導熱系數(shù)增大.

多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)理論分析大都是基于等效熱阻法，首先根據(jù)多孔介質(zhì)的周期性結(jié)構(gòu)將其拆分成層與層，然后采用串、并聯(lián)方法來求解周期性結(jié)構(gòu)的等效導熱系數(shù)，以此作為模型的等效導熱系數(shù)，這種方法對于周期性結(jié)構(gòu)非常具有參考性.當多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜時，等效導熱系數(shù)計算困難，并且考慮輻射或?qū)α鲿r，進一步增加了等效導熱系數(shù)的預(yù)測難度，目前理論研究相對較少.

3 數(shù)值模擬

3.1 有限元法

Zhou等[25]建立多尺度有限元模型來分析基質(zhì)及復(fù)合材料的等效導熱系數(shù)，結(jié)合纖維增強復(fù)合材料等效導熱系數(shù)的理論模型對二氧化硅/酚醛復(fù)合材料的等效導熱系數(shù)進行預(yù)測.首先通過不同孔隙率下多孔基質(zhì)的等效導熱系數(shù)FEM分析，確定預(yù)測各種孔隙率下多孔基質(zhì)等效導熱系數(shù)合適的理論模型擬合函數(shù)

(16)

(17)

隨后借助FEM分析微尺度的紗線模型如圖8所示，以及不同基體孔隙率、溫度和纖維體積分數(shù)復(fù)合材料的等效導熱系數(shù)，與文獻中模型進行對比并擬合，對紗線模型的橫向和軸向?qū)嵯禂?shù)預(yù)測選擇了合適的理論模型.通過采用Lewis和Nielsen模型[45]來求解紗線的最佳幾何形狀參數(shù)，得出平紋復(fù)合材料面外導熱系數(shù)的預(yù)測公式.

圖8 紗線復(fù)合材料的多尺度建?？蚣躘25]

Carson等[46]使用有限元方法模擬多孔介質(zhì)的等效導熱系數(shù)，有限差分法、邊界元法等方法[47]也有相關(guān)研究.有限元方法的優(yōu)點是對不規(guī)則幾何形狀和空間可變的物性及邊界條件的適應(yīng)性比較好.通過FEM研究了二維多孔介質(zhì)內(nèi)顆粒的大小和形狀、連續(xù)相和分散相，顆粒物之間的接觸程度對等效導熱系數(shù)的影響，其中顆粒物的接觸比顆粒大小及形狀對多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)的影響大.對于分散相和連續(xù)相，其內(nèi)部材料導熱系數(shù)和孔隙率雖然相同，但是具有不同的等效導熱系數(shù)，這為新的等效導熱系數(shù)預(yù)測模型提供了參考，即多孔介質(zhì)內(nèi)的顆粒接觸程度、分散性比內(nèi)部顆粒大小或形狀對等效導熱系數(shù)影響更大，準確確定這些參數(shù)能更好地提高模型對不同材料的等效導熱系數(shù)預(yù)測精度.

Bourih等[48]研究了蓮花型多孔材料的等效導熱系數(shù)，借助Kaddouri提出的改進式Maxwell模型[42]來估算蓮花型多孔材料的等效導熱系數(shù)，并通過兩步均勻化方法來驗證該模型的準確性.蓮花型多孔材料是由長圓柱孔組成，孔洞沿單一方向排列，形態(tài)像蓮花.他們采用了基于RVE的有限元均勻化方法預(yù)測了不同體積的多相蓮花型多孔材料的等效導熱系數(shù)，并與兩步均勻化方法如圖9所示，以及理論模型結(jié)果進行對比，發(fā)現(xiàn)兩步均勻化方法預(yù)測等效導熱系數(shù)的精度較高，證明了Kaddouri提出的預(yù)測模型能夠準確地估計多相蓮花型多孔材料的等效導熱系數(shù).

圖9 直接均勻化方法和兩步式均勻化方法[47]

Gong等[48]建立單壁碳納米管氣凝膠的三維模型，使用非晶格蒙特卡羅方法研究了多孔材料的熱傳導，結(jié)合數(shù)值模擬和實驗，計算了四種滲透氣體之間的熱邊界電阻.在數(shù)值模擬中，計算等效導熱系數(shù)的公方為

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公式中：Kg為純氣體的導熱系數(shù)；Ta為沿熱通量方向的溫度分布；Tg為氣體的溫度.數(shù)值模擬研究了單壁碳納米管氣凝膠的體積分數(shù)、形態(tài)、長度和直徑對等效導熱系數(shù)的影響，并且開發(fā)的介觀模型可以用于研究其他類型的氣凝膠以及高孔隙率的多孔材料的導熱性能.

Chikhi[49]使用COMSOL軟件研究了多孔生物復(fù)合材料的傳熱性能，通過理論模型研究了孔隙率、孔隙形狀和位置對等效導熱系數(shù)的影響.這種多孔生物復(fù)合材料由石膏、植物纖維和空氣構(gòu)成，可構(gòu)造一個平行六面體的RVE來研究導熱性能，借助FE COMSOL 軟件對Laplace方程進行數(shù)值求解獲得復(fù)合材料中的溫度分布.只考慮孔隙度時，數(shù)值模擬與理論模型結(jié)果一致，但是與實驗結(jié)果相差較大；在考慮孔隙微觀結(jié)構(gòu)時，數(shù)值模擬與實驗結(jié)果接近；纖維尺寸影響多孔生物復(fù)合材料等效導熱系數(shù)，而在同等空氣體積下，孔隙的位置和形狀對等效導熱系數(shù)沒有顯著影響.結(jié)果表明，數(shù)值模擬如果不考慮微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)，很難準確預(yù)測多孔材料的等效導熱系數(shù).

3.2 Lattice-Boltzmann方法

Wang等[23，50-52]將Lattice-Boltzmann方法(LBM)用于求解多孔介質(zhì)內(nèi)部流固耦合傳熱問題，該方法易于處理多種粒子之間的相互作用和復(fù)雜的幾何邊界條件，但是要求各相界面處的溫度和熱通量具有連續(xù)性，因此各相的體積熱容必須保持相同.該方法求解等效導熱系數(shù)公式為

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公式中：q為通過溫度差為ΔT和距離為L之間的介質(zhì)橫截面積為dA的穩(wěn)定熱通量，該模型不存在經(jīng)驗參數(shù).通過與實驗對比，發(fā)現(xiàn)輻射傳熱占有一定的比重，在標準氣壓、溫度286 K下，固體體積分數(shù)超過10%時，輻射傳熱占6%，考慮輻射傳熱后，模型精度有了一定的提升.將數(shù)值模擬與理論模型進行對比，發(fā)現(xiàn)開孔多孔介質(zhì)比顆粒型多孔介質(zhì)的等效導熱系數(shù)更高，與實際情況相符.他們開發(fā)了隨機四參數(shù)法和網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的隨機增長方法，用來生成二維多孔介質(zhì)隨機顆粒結(jié)構(gòu)和泡沫結(jié)構(gòu)，該方法符合多孔介質(zhì)的生長規(guī)律，在預(yù)測相關(guān)類型的材料時精度較高.

Lu等[53]采用LBM研究了纖維多孔介質(zhì)在真空下的等效導熱系數(shù)，參考了Wang等[52]的共軛傳熱控制方程，構(gòu)建了D3Q19單元的LBM求解器，該方法只需將其中兩個邊界設(shè)為第一類邊界條件(Thot=302 K，Tcold=298 K)，其他邊界設(shè)為絕熱邊界，LBM在處理復(fù)雜的微觀結(jié)構(gòu)具有一定的優(yōu)勢.研究了氣壓、纖維直徑以及取向?qū)Φ刃嵯禂?shù)的影響.結(jié)果表明，當纖維長度方向與傳熱方向一致性越高，隔熱性能越差，取向角到90°時，等效導熱系數(shù)最??；在高度真空的情況下，纖維直徑與取向角之間具有耦合作用，纖維的直徑越細，纖維取向?qū)Φ刃嵯禂?shù)影響越大，但是纖維直徑受纖維取向的影響較小.

Qin等[7]使用分形幾何理論來構(gòu)建砂巖多孔介質(zhì)不同尺寸樣品的模型，并且基于LBM來研究砂巖的傳熱性能與砂巖內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)的關(guān)系.采用的具有多松弛時間D3Q19單元的LBM用于模擬多孔介質(zhì)中的穩(wěn)態(tài)流動，該方案具有較高的精度和數(shù)值穩(wěn)定性[54]，并且消除了邊界附近的虛速度[55].使用LBM來模擬三維掃描砂巖模型的流固耦合傳熱，并與分形模型和Maxwell模型進行對比，研究等效導熱系數(shù)與孔隙率、固相和液相導熱系數(shù)的關(guān)系.通過研究發(fā)現(xiàn)，分形維數(shù)可用于確定多孔介質(zhì)的RVE參數(shù)，并對等效導熱系數(shù)有重要影響；LBM模型和分形模型可用于研究多孔介質(zhì)中熱傳輸?shù)奈锢頇C理.結(jié)合實驗結(jié)果，當Ks/Kg<10(Ks是固相導熱系數(shù)，Kg是氣相導熱系數(shù))，分形模型比LBM得到的等效導熱系數(shù)偏高，而Maxwell模型偏低；當Ks/Kg>10，分形模型與Maxwell模型得到的等效導熱系數(shù)都偏低，這與Wang等[56]借助隨機行走理論得到的結(jié)論相一致.

3.3 其他方法

Wei等[57，58]先后用三種機器學習方法來預(yù)測通過QSGS方法生成多孔介質(zhì)的等效導熱系數(shù)，并結(jié)合描述多孔介質(zhì)的5個重要結(jié)構(gòu)特征，分析其與有效導熱系數(shù)的關(guān)系.首先通過LBM計算不同孔隙大小、孔隙率和孔隙分布的多孔介質(zhì)模型等效導熱系數(shù)獲取數(shù)據(jù)，然后通過數(shù)據(jù)訓練SVR、GPR、CNN模型，分析其與Maxwell-Eucken模型、Bruggeman模型的預(yù)測誤差.發(fā)現(xiàn)機器學習方法在預(yù)測多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)時的精度不同，其中CNN模型能夠更好的考慮微觀結(jié)構(gòu)的相關(guān)性，精度較高.隨后通過SVR和GPR模型來研究形狀因子、瓶頸、主導路徑、通道因數(shù)、垂直不均勻性與等效導熱系數(shù)之間的相關(guān)性，通過FEM分析多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)，從結(jié)果中得出形狀因子、瓶頸、主導路徑與等效導熱系數(shù)具有良好的正相關(guān)性，而通道因數(shù)、垂直不均勻性與等效導熱系數(shù)具有一般的負相關(guān)性.通過這五種物理描述特征，將多孔介質(zhì)內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為可以通過數(shù)據(jù)描述的參數(shù)，通過考慮這些參數(shù)能夠顯著提高多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)的預(yù)測精度.

Cui等[59]借助熱傳導反問題，通過建立最小二乘法，對蜂窩結(jié)構(gòu)的等效導熱系數(shù)進行預(yù)測，通過測量內(nèi)部點的溫度來間接預(yù)測等效導熱系數(shù)等難以直接確定的熱物性參數(shù).這種方法對初值要求比較高，但是迭代速度快、計算精度高.通過與復(fù)變量求導法相結(jié)合，反演了非線性熱傳導問題中的邊界熱流密度[60]，并提出確定梯度算法中松弛因子的新方法，即松弛因子自適應(yīng)調(diào)節(jié)技術(shù)，提高了梯度算法的效率[61].該方法目標函數(shù)如下：

(20)

熱傳導反問題最早應(yīng)用于系統(tǒng)地認識火箭表面和核反應(yīng)器內(nèi)部的傳熱問題[62].由于多孔介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)及內(nèi)部傳熱情況比較復(fù)雜，可以基于內(nèi)部點的溫度測量數(shù)據(jù)，通過求解反問題來間接預(yù)測其等效導熱系數(shù).目前反問題在多孔介質(zhì)上已有應(yīng)用，但是應(yīng)用不廣泛，采用反問題來確定多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)具有研究價值，特別是在工程應(yīng)用上，具有一定的發(fā)展前景.

綜上，關(guān)于計算多孔介質(zhì)傳熱特性的數(shù)值模擬方法近些年發(fā)展比較充分，基于傳統(tǒng)的有限元方法比較多，而且計算速度快，廣泛用于商業(yè)軟件如ABAQUS、ANSYS等，技術(shù)比較成熟，在工程上應(yīng)用比較廣泛.對于考慮輻射或?qū)α鞯那闆r，目前發(fā)展了基于消光系數(shù)計算輻射導熱以及基于LBM計算對流換熱的數(shù)值方法，這種方法經(jīng)過了可靠性驗證.此外，機器學習和熱傳導反問題求解方法，相比于傳統(tǒng)方法，計算精確度有一定提升，對不同種類多孔介質(zhì)的應(yīng)用有待進一步研究.

4 總結(jié)及展望

多孔介質(zhì)以其輕質(zhì)，隔熱好等特點，在各種工程上應(yīng)用較廣，本文對多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)的研究進行總結(jié)，對多孔介質(zhì)構(gòu)造方法以及傳熱性能模擬進行簡要介紹，概括了實驗研究、理論分析、數(shù)值模擬這三種研究方法的優(yōu)缺點：

(1)多孔介質(zhì)導熱性能實驗根據(jù)傳熱類型可以分為穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)實驗方法，瞬態(tài)實驗方法相對較為簡單，測量時間比較短，同時測量誤差也比較大；穩(wěn)態(tài)實驗方法對儀器設(shè)備和實驗操作要求較高，同時測量導熱系數(shù)精度比較高.對于輻射或?qū)α鲹Q熱等類型的傳熱實驗裝置比較少，實驗比較復(fù)雜.等效導熱系數(shù)的實驗誤差主要來自測量儀器的誤差，測量誤差不可消除但可以通過高精度設(shè)備來減小.

(2)等效導熱系數(shù)預(yù)測的五種基本理論模型對于簡單多孔結(jié)構(gòu)預(yù)測精度較高，但缺少了描述多孔介質(zhì)內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)的參數(shù)，可以采用表征體單元方法對模型進行優(yōu)化.當多孔結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時，首先觀察得到一個表征體單元，然后借助并、串聯(lián)模型，計算RVE單元的等效導熱系數(shù).這種方法是將多孔介質(zhì)內(nèi)部簡化為周期性結(jié)構(gòu)，由于考慮了內(nèi)部結(jié)構(gòu)，計算精度比基本模型精度高，當周期性結(jié)構(gòu)與多孔介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)相近時，與數(shù)值模擬結(jié)果相差不大.當考慮輻射或?qū)α鲹Q熱模式時，通常將熱傳導與這兩種方式分開計算，或者基于實驗給出經(jīng)驗參數(shù)或表達式來提高模型的適應(yīng)性，這也是目前多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)預(yù)測模型的發(fā)展方向.

(3)由于多孔介質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的隨機性，構(gòu)造應(yīng)用場景下多孔介質(zhì)的精確模型是一個關(guān)鍵性問題.采用有限元等數(shù)值方法可以更好地幫助我們預(yù)測多孔介質(zhì)內(nèi)部的傳熱情況，結(jié)合 X 射線切片層析等技術(shù)還原多孔介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)，能夠顯著提高等效導熱系數(shù)的預(yù)測精度.通過數(shù)值模擬計算多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)并與實驗所測得的結(jié)果進行對比，然后對不同的理論模型進行修正，這也是目前計算多孔介質(zhì)等效導熱系數(shù)應(yīng)用較多的方法.

多孔介質(zhì)內(nèi)部傳熱問題比較復(fù)雜，結(jié)合實驗獲得多孔介質(zhì)內(nèi)易測的參數(shù)如部分溫度，然后借助反問題求解方法得到如等效導熱系數(shù)、內(nèi)熱源分布、復(fù)雜熱邊界條件等未知的參數(shù)，這是一條有效的途徑.為了準確預(yù)測多孔介質(zhì)或包含多孔介質(zhì)的熱防護系統(tǒng)等結(jié)構(gòu)的傳熱性能，借助傳熱反問題方法來確定等效導熱系數(shù)是一個有前景的研究方向，而選擇合適的反問題求解方法也是該方面研究的重點.