柴 林，鄭元琳，林玉國，宋仁全

(1.北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 吉林 132013；2.吉林省白山市第二中學(xué)，吉林 白山 134300)

眾所周知，人類的歷史就是和各種傳染病抗?fàn)幍臍v史.21世紀(jì)以來，就已經(jīng)出現(xiàn)SARS-CoV、MERS-CoV、2019-nCoV三種高致病性冠狀病毒，對人類的生命健康構(gòu)成極大威脅.目前，前兩者已經(jīng)得到有效控制，而2019-nCoV肺炎疫情還在進(jìn)行常態(tài)化防控當(dāng)中.由此，對新冠肺炎疫情的分析與預(yù)測就顯得至關(guān)重要.隨機(jī)SEIR模型是在眾多傳染病模型中最為經(jīng)典的傳染病動力學(xué)模型[1-2].因此，應(yīng)用隨機(jī)SEIR模型分析2019-nCoV肺炎疫情，找出影響疾病預(yù)防控制的關(guān)鍵因素并預(yù)測疫情發(fā)展態(tài)勢，具有重要現(xiàn)實意義.

1 隨機(jī)模型

考慮傳統(tǒng)的SEIR隨機(jī)模型和2019-nCoV肺炎疫情的流性特征，我們將所有人群分為易感者(S)、隔離者(Q)、接觸者(E)、無癥狀感染者(A)、有癥狀感染者(I)、確診者(D)以及治愈人群(R).假設(shè)模型中各參數(shù)均為正常數(shù).β為易感者轉(zhuǎn)化為接觸者的接觸率；無癥狀和有癥狀感染者傳染率占比為c；隔離的易感者釋放率為λ；隔離率為τ；接觸者到感染者的轉(zhuǎn)移率為α，其中轉(zhuǎn)移到有癥狀感染者占比為p，無癥狀占比為1-p；有癥狀和無癥狀感染者的診斷率分別為μ1，μ2；有癥狀感染者、無癥狀感染者和確診者的恢復(fù)率分別為γ1，γ2，γ3；有癥狀感染者和確診者因新冠肺炎導(dǎo)致的死亡率分別為d1、d2；易感者疫苗接種率為ν.對于2019-nCoV肺炎疫情傳播過程中各類人群發(fā)生的數(shù)量變化，忽略吉林省自然出生和死亡人口的影響，傳播流程如圖1所示.

圖1 基于SEIR模型的COVID-19傳播流程圖

根據(jù)上述傳播方案，可建立如下形式的常微分動力學(xué)模型：

(1)

本文主要依據(jù)SEIR模型估計并預(yù)測2019-nCoV肺炎疫情流行趨勢的現(xiàn)狀，考慮到自然界中的種種不確定性，我們假設(shè)模型(1)中的β和α受到干擾，用B1(t)，B2(t)表示標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動，正常數(shù)σ1，σ2是其對應(yīng)的布朗運動的強(qiáng)度，這種擾動形式的具體解釋可參見文獻(xiàn)[3].于是模型(1)變成如下形式：

(2)

2 數(shù)值模擬

我們運用Matlab軟件對隨機(jī)系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬.這里我們將采用歐拉法研究[4]，即將隨機(jī)方程(2)離散化為

根據(jù)吉林省衛(wèi)生健康委員會官網(wǎng)公布的數(shù)據(jù)，選取2020年1月23日—2020年3 月23日共60天的疫情動態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析.在考慮將人群進(jìn)行隔離，沒有疫苗免疫的情況下，與文[5]研究結(jié)果比較.取β=4.783 8×10-8，c=0.005 0，τ=1/4，λ=1/60，α=1/7，p=0.960 0，ν=0，μ1=1/5，μ2=1/6，γ1=0.068 6，γ2=0.102 9，γ3=0.096 0，d1=0.002 9，d2=0.002 0，Δt=0.01.取初始值S0=24 877 352，Q0=2 163 248，E0=87，A0=6，I0=5，D0=3，R0=0.對確定性方程用Matlab軟件模擬如圖2所示.

在圖2中，(S)～(R)分別表示易感者、隔離者、接觸者、無癥狀感染者、有癥狀感染者、確診者和治愈人群的在不加入隨機(jī)因素時的人口數(shù)量，圖2(D)中綠色線表示吉林省在院隔離治療確診病例的實際數(shù)據(jù).我們發(fā)現(xiàn)，在疫情初期全民對COVID-19易感的情況下，我省采用的“超長居家隔離”措施使易感者數(shù)量在某一值后逐漸保持在較低水平，此時疫情得到有效控制.加入環(huán)境中隨機(jī)因素的影響后，如圖3所示.

圖2 確定系統(tǒng)的軌道圖

圖3 σ1=β·0.3，σ2=α·0.3時的隨機(jī)系統(tǒng)的軌道圖

通過圖3可知，我們發(fā)現(xiàn)在此情形下，易感者數(shù)量將逐漸保持在較低水平，治愈人群數(shù)量在不斷上升.此時，傳染病滅絕，疫情可控.而確診者數(shù)量在25天左右達(dá)到峰值，這與我省確診病例真實數(shù)據(jù)大致相同，故該模型真實有效.

從圖3可以看出，S(t)，Q(t)，I(t)，A(t)，E(t)，D(t)，R(t)都在x軸上方，故函數(shù)具有非負(fù)性，所以模型(2)的非負(fù)解是存在且唯一的.現(xiàn)在減少隔離天數(shù)，令λ=1/25，當(dāng)σ1的取值大一點，即σ1=β·0.5時，其他數(shù)值不變，作確診病例消失天數(shù)的密度如圖4所示.

從圖4中，可以看出疾病滅絕的天數(shù)在140天～150天范圍內(nèi)出現(xiàn)峰值.綜合圖2、圖3和圖4，我們發(fā)現(xiàn)隔離期越長，確診病例越容易較早時刻達(dá)到較低峰值，這一結(jié)論與文獻(xiàn)[5]研究結(jié)果類似.同時，為了探求政府居家隔離措施的有效性，我們在保證其余參數(shù)不變的情況下，改變λ的值進(jìn)行數(shù)次循環(huán)模擬，如圖5所示.

通過圖5可知，我們發(fā)現(xiàn)在有隔離措施的條件下，確診者數(shù)量在14天后逐漸趨于0，也就是說，此時傳染病滅絕.故政府制定的“14天隔離觀察期”政策是真實可靠的.

綜上所述我們模擬了新冠疫情初始階段的發(fā)展趨勢，可以看出我省采取的隔離政策對遏制疫情發(fā)展起到重要作用.隨著疫情的常態(tài)化防控發(fā)展，我國多地開放新冠疫苗接種.現(xiàn)在我們用疫苗接種代替隔離措施，需要說明的是，模型(1)和模型(2)中采用的免疫形式來自于文獻(xiàn)[6].在保持其他數(shù)值不變的情況下，我們分別模擬了ν從0.01到0.09的疫情發(fā)展趨勢，結(jié)果如圖6所示.

從圖6中，可以看出，ν的值越大，確診者數(shù)量將越早時間達(dá)到較低峰值.當(dāng)ν=0.02時，確診者數(shù)量峰值在2.5萬人次左右，這會造成醫(yī)療負(fù)荷飽和，使疫情進(jìn)一步惡化；增加疫苗接種率，令ν=0.03，確診病例則減少到0.25萬人次；繼續(xù)增加ν值，ν取0.07，0.08，0.09時的確診病例峰值以及峰值到達(dá)時間相差不多，確診者數(shù)量減少幅度不明顯.所以，疫苗接種閾值在0.03到0.04之間.按照ν=0.03來算，初期每天需要接種74萬人次，吉林省現(xiàn)有608個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，平均每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)每天需要接種1 200人次，這對基層工作是一個極大考驗.所以我們僅僅靠接種疫苗還不能夠有效阻斷疾病流行，應(yīng)該適當(dāng)增加隔離措施，輔助進(jìn)行疫情防控.這樣既可以使疫情得到有效控制，又可以讓地方政府合理布局醫(yī)療資源，減輕用藥負(fù)擔(dān).