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        “基本圖形”在立體幾何問題中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計與反思

        2021-10-29 05:54:08黃少龍
        黑龍江教育·小學(xué) 2021年10期
        關(guān)鍵詞:解題探究學(xué)生

        黃少龍

        教學(xué)內(nèi)容:應(yīng)用“基本圖形”求解立體幾何中的一些常見問題,尤其是多面體的外接球問題。

        教學(xué)目標:

        1.掌握課堂探究的 “基本圖形”結(jié)果,并應(yīng)用學(xué)習(xí)的“基本圖形”解決課堂問題;

        2.通過課堂學(xué)習(xí),使學(xué)生意識到“基本圖形”對解決立體幾何問題的幫助,并能積極主動的探索“基本圖形”。

        教學(xué)重點:

        1.“基本圖形”——特殊的三棱錐;

        2.應(yīng)用“基本圖形”求解。

        教學(xué)難點:

        1.學(xué)生的“基本圖形”知識儲備較少;

        2.學(xué)生應(yīng)用“基本圖形”解題的主動意識不足。

        教學(xué)過程:

        一、創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

        師:同學(xué)們,在今年的6月17日上午9時22分,我們的神舟12號載人飛船成功發(fā)射,并且它與我們的中國空間站核心艙天和號也成功完成對接。未來的3個月里3位宇航員將進行各種實驗工作,為2022年中國空間站的建成做好準備。這一偉大事件標志著中國的航天技術(shù)已經(jīng)完成了歷史的飛躍!

        師:(PPT展示中國空間站的結(jié)構(gòu)圖)請問同學(xué)們,看到中國空間站的結(jié)構(gòu)圖,你有所聯(lián)想嗎?

        生:積木、樂高、變形金剛、十字架、魯班鎖……

        師:(PPT展示孔明鎖與榫卯結(jié)構(gòu)圖)嗯!在我們?yōu)橹院赖耐瑫r也勾起了我們很多的童年回憶。我和同學(xué)們有同感,讓我想起了自己小時候玩過的魯班鎖,也叫孔明鎖。誰能說說它們有什么相似之處呢?

        生A:都可以改變原來的樣子。

        生B:準確地說是都可以組合成新的樣子。

        師:嗯,兩位同學(xué)說得很好!第二位同學(xué)表達的更加準確。雖然兩者不可同日而語,但它們都可以通過相互嵌入(榫卯)的方式構(gòu)成新的樣子和形狀,有著異曲同工之妙。我們可以看到,空間站由五個不同的部分組合而成,每個部分都有自己相對獨立的功能,組合在一起有更強大的作用。2024年后的10到20年,中國空間站將是太空中唯一的空間站,它將在空間技術(shù)探索以及空間技術(shù)合作方面發(fā)揮巨大的作用。想到這里,大家考慮一下,在立體幾何問題中我們常用的“割補法”——將一個圖形分割或彌補成形狀相對簡單、性質(zhì)相對更好的“基本圖形”,在解決一些復(fù)雜問題時是否更加有效?

        生:是的。

        師:那么,今天老師帶著這個想法和同學(xué)們再探究竟。開始之前,我們再次明確本節(jié)課所提出的“基本圖形”的概念——圖形相對簡單且?guī)缀涡再|(zhì)較好,可以用來構(gòu)成(切割或彌補)復(fù)雜幾何體的圖形。

        (板書課題:“基本圖形”在立體幾何問題中的應(yīng)用。)

        二、解題探究,技能學(xué)習(xí)

        “基本圖形”應(yīng)用的有效性由兩個因素決定:一是學(xué)生的知識體系中的“基本圖形”的儲備量;二是主動應(yīng)用“基本圖形”的思維意識。為解決好這兩個難點,教師在課堂上的一個重要工作就是做好解題前的引導(dǎo)與鋪墊工作,因此課堂教學(xué)以問題串的方式展開與深入。

        1.思考題1的探究學(xué)習(xí)

        思考題1:已知在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60?紫,E為AB的中點,將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成的三棱錐的外接球的體積.

        師:平面圖形的折疊問題在立體幾何問題中常見,此類問題的解決核心在于將折疊前后的“變與不變”分析清楚,即前后的數(shù)量(線段長度、角度等)和位置關(guān)系(平行、垂直、分點位置)是否發(fā)生改變要分析到位,為后續(xù)的進一步求解做好切實的準備。請問,本題中的等腰梯形折疊后得到了怎樣的圖形?

        (學(xué)生進行思考、討論,約1分鐘。)

        生:是三棱錐(四面體)。

        師:很好!那所得三棱錐的條件如何?折疊前后的“變與不變”有哪些?

        生C:是一個正三棱錐。

        生D:是一個正四面體,且棱長為1。

        師:兩個同學(xué)回答很好,都是對的!不過,第二位同學(xué)的判斷更加到位,折疊后的圖形確實是一個正三棱錐,不僅如此,它的條件更好,是正四面體,根據(jù)原有的數(shù)據(jù)判斷,它的棱長為1。謝謝兩位同學(xué)。

        師:接下來,我們要求解它的外接球體積了。這種多面體與球體的接(切)問題是近年考題中的常見問題,難度中上,一般都考查歐氏幾何的傳統(tǒng)方法的應(yīng)用。此類問題的關(guān)鍵是找到“球心”。這也是這道題的難點所在,請同學(xué)進一步思考,努力突破它。

        (學(xué)生獨立思考后同周圍學(xué)生展開合作討論,約3分鐘。)

        師:哪位同學(xué)有解決辦法?

        生E:我的方法如下:作AF⊥平面DEC,垂足為F,

        F即為△DEC的中心.取EC的中點G,連接DG、AG,過球心O作OH⊥平面AEC.則垂足H為△AEC的中心.∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.在△AFG和△AHO中,根據(jù)三角形相似可知

        師:這位同學(xué)的方法很好,他找球心的方法是利用正四面體的對稱性,確定外接球心即體對稱中心,然后應(yīng)用初中所學(xué)的相似三角形通過解三角形既完成了球心位置的確定,又計算出了外接球的半徑大小,進而求出了外接球的體積,計算結(jié)果正確無誤。有哪位同學(xué)的方法比這位同學(xué)的更快呢?

        生F:我有。我利用了“割補法”,將這個正四面體補形為一個正方體,然后求解的。這樣計算量更小,速度更快!如圖所示,把正四面體放在正方體中.可得,正四面體的外接球就是正方體的外接球。

        師:大家鼓掌!大家看到了嗎?這位同學(xué)恰恰應(yīng)用了一個性質(zhì)更好的“基本圖形”——正方體,通過“割補”的方法將問題更有效的解決了!當然,能想到這個方法需要你對正方體有足夠的掌握,所以說,想應(yīng)用好“基本圖形”有效解決立體幾何問題,在平時的學(xué)習(xí)中就要多去留意這些功能很強的“基本圖形”。老師對這些“基本圖形”有一個整理,大概有16個,將來會教大家一個一個都找到并掌握它們,好嗎?

        生:好。

        師:將來大家手里有了這些“法寶”,做立體幾何題就會占得先機,事半功倍了!下面,請跟隨老師探索一個非常有用的“基本圖形”。

        2.思考題2的探究學(xué)習(xí)

        思考題2:(人教A版必修2第67頁練習(xí)題)過所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC.若PA=PB=PC,∠C=90?紫,則點O是AB邊的點?

        師:之前有同學(xué)課下問到了這道題如何解答,和這位同學(xué)討論的過程中,我們發(fā)現(xiàn)這里隱藏著一個很有應(yīng)用價值的“基本圖形”,為了方便探究,老師將條件適當做了改變,下面我們一起來看看變式探究,得到結(jié)果后再回頭研究這道練習(xí)題。

        變式探究:已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PC與底面所成角相等,試判斷點P在底面ABC的射影的位置?

        師:本題所問的射影位置應(yīng)該是底面三角形的特殊位置,請同學(xué)們展開討論,看看它到底有多特殊?

        (學(xué)生展開討論,約2分鐘。)

        生G:老師,我們剛才討論出的結(jié)果是,這個射影是底面三角形的外心(外接圓的圓心)。

        師:好的,其他同學(xué)們認為這個結(jié)果對嗎?……看來,有同學(xué)可能對三角形的幾顆重要的“心”概念模糊了,沒關(guān)系,我們稍做一個回顧,明確概念……(教師引導(dǎo)學(xué)生將三角形的外心、內(nèi)心、垂心做了簡單的復(fù)習(xí),約2分鐘。)

        師:同學(xué)們在一起看看這幾位同學(xué)的結(jié)果對嗎?

        生:對!

        師:請這位同學(xué)把他的推證過程給我們說說吧。

        生G:我主要是利用全等三角形做出了推證。連接OA,OB,OC,那么可以應(yīng)用初中平面幾何知識里的“HL公理”證明三個三角形全等,從而OA=OB=OC,所以它就是三角形的外接圓圓心。

        師:很好!這個過程顯示出這位同學(xué)對“HL公理”有足夠的掌握,那么應(yīng)用這個“基本圖形”也就信手拈來。

        師:看來,只要三棱錐(四面體)的側(cè)棱長相等,頂點在底面的射影一定是底面三角形的外心。反之成立嗎?同學(xué)們再思考一下它的逆命題如何?

        (學(xué)生繼續(xù)展開討論,約1分鐘。)

        生:逆命題成立……還是用全等三角形證明……

        師:(PPT展示探究成果)同學(xué)們很棒,一點就通!的確,逆命題也成立!那么,根據(jù)四種命題的關(guān)系,將來我們使用這個結(jié)論就很自如了!好了,現(xiàn)在我就可以將這個結(jié)論作為一個“基本圖形”收入囊中!

        師:現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用,請問同學(xué)們,思考題2的結(jié)果是什么?

        生:中點。

        師:對!因為題中的三棱錐滿足了我們這個“基本圖形”的條件,所以結(jié)論是外心,而底面三角形又是直角三角形,外心只能是斜邊(AB)的中點!接下來我們一起再用今天所學(xué)的“基本圖形”向一道題做出挑戰(zhàn)!

        3.思考題3的探究

        思考題3:已知平面圖形ABCD為矩形,AB=4,△PAD是以P為頂點的等腰直角三角形,如圖所示,將△PAD沿著AD翻折至△P 'AD,當四棱錐P '-ABCD體積的最大值為時,四棱錐P '-ABCD的外接球的表面積為(? ? )

        A.12π? ? ? ?B.16π? ? ? ?C.24π? ? ? ? D.32π

        師:這道題的解答關(guān)鍵還是要確定好外界球球心的位置所在。請同學(xué)們悉心作答,獨立思考,看看有幾種方法求解?

        (學(xué)生獨立思考,作答約3分鐘。)

        師:請在第一時間找到解法的同學(xué)舉手示意。

        (教師在課堂巡視,和已有解法或思路的學(xué)生簡單交流,約3分鐘。)

        師:好的,下面我們請幾位同學(xué)將自己的方法和大家做分享。

        生H:我是建立了空間直角坐標系,然后用空間向量解析法去求解的。因為折疊后達到體積最大值時,平面P 'AD一定是和底面垂直的,此時過P '點做底面的垂線垂足即為邊AD的中點,記作H點,這樣就可以H點為原點,HP '、HD、HE(過H在底面作HE⊥AD)為坐標軸建系了,接下來應(yīng)用坐標法去求解,但是計算量較大,幾分鐘時間里還未算出結(jié)果……

        (其他學(xué)生主動舉手,躍躍欲試,老師示意下一位學(xué)生發(fā)言。)

        生I:我將折疊后的四棱錐補形為以△P 'AD為底面的直三棱柱后進行求解的……

        生J:我應(yīng)用了今天所學(xué)的“基本圖形”立即確定了外接球球心就在底面矩形的對稱中心(底面矩形對角線交點)……

        生K:我也是補形做的。我是在I同學(xué)的補形基礎(chǔ)上再對稱補形為一個長方體,這樣就和J同學(xué)一樣可以迅速確定外接球球心就在矩形ABCD的對稱中心,實際就是這個長方體的體對稱中心,然后就能容易求解出答案,選擇C.

        師:同學(xué)們太棒了!各種解法思路百花齊放,效率高低大家也一目了然,尤其是后面發(fā)言的兩位同學(xué)的解法很精彩,通過“基本圖形”的應(yīng)用,立即化繁為簡,達到迅速求解的目的。通過剛才大家的一番交流,再次驗證了“基本圖形”的作用不容小覷。謝謝這幾位同學(xué),掌聲鼓勵!

        三、課堂小結(jié)

        師:今天,老師和同學(xué)們一起探究了一個命題,今后大家可以將它以“基本圖形”的方式補充在我們的立體幾何知識里,在一些多面體的外接球問題中,經(jīng)??梢钥吹剿纳碛埃辛怂淖饔?,我們必定能提高解答這類題的效率。

        另外,老師想通過這堂課傳遞一個在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的重要信息:在平時的學(xué)習(xí)中多去積累一些作用類似“基本圖形”的二級結(jié)論,對于一些中高難度的題目,往往就可以通過這些結(jié)果尋求到最有效的解答途徑,這是數(shù)學(xué)高手常用的一種處理難題的思維方式,同學(xué)們不妨試一試。

        最后,為了鞏固今天所學(xué),老師給大家留一道課后思考題:試用今天探究的方法,在橫線上填入適當?shù)臈l件,完成下面命題的研究。

        命題:已知三棱錐P-ABC中,點P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心(內(nèi)心)。其逆命題成立嗎?

        反思:

        本節(jié)課是基于人教A版必修2的一道練習(xí)題的探究。在探究過程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了在側(cè)棱長相等的條件下,頂點在底面的射影是底面多邊形的外心(外接圓圓心)這一結(jié)論。探討過程中,我們不僅解決了練習(xí)題的求解,而且衍生出了一組相關(guān)結(jié)論,可以改變條件后,得到三棱錐頂點在底面射影是底面三角形的垂心、內(nèi)心,這在解答立體幾何題,尤其是研究多面體與球體的切接問題上,有很大的幫助。

        教師和學(xué)生探討問題的過程也是互相激發(fā)智慧的過程,筆者在課后進行了進一步的深入思考,意識到學(xué)生的這一點思維的火花可以引燃出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的一種思維方式——積累出有效的類似“基本圖形”的二級結(jié)論,高效解題。學(xué)生在進入課堂聽課,走進考場答題,乃至學(xué)習(xí)任何新知識時都不是頭腦空白的在完成任務(wù),一定是基于頭腦中以前所形成的相關(guān)認識和知識做出反應(yīng),形成正確或不正確的認識,整個學(xué)習(xí)過程就是新舊知識不斷地交互、積累形成知識網(wǎng)絡(luò)甚至體系。學(xué)生的知識掌握程度高低,往往就要通過學(xué)生解題的效率體現(xiàn),而解題的成敗就要基于知識體系的完備狀況和解題能力的儲備狀況,這兩點就要靠平時的訓(xùn)練來達成。但是,多年的一線工作經(jīng)驗表明,學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中往往是被動接受知識,主動探究形成知識的情況很少,而大部分類似“基本圖形”的二級結(jié)論都是隱藏在題目中,教輔資料里,甚至是一些閱讀材料里,不是作為教材主題內(nèi)容呈現(xiàn)出來的。因而,靠課堂和老師教給學(xué)生顯然是不夠的,尤其是學(xué)優(yōu)生更需要這方面的補充,以體現(xiàn)這些學(xué)生的優(yōu)勢。教師應(yīng)該有責(zé)任教給學(xué)生尤其是學(xué)優(yōu)生如何用科學(xué)的態(tài)度和方法去發(fā)現(xiàn)、整理、應(yīng)用這些二級結(jié)論。

        編輯/魏繼軍

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