董成林 劉海濤 楊俊豪

1.中國核動力研究設計院核反應堆系統(tǒng)設計技術重點實驗室，成都，6100412.天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津，300354

0 引言

近年來，一類由三自由度1T2R(T表示平動，R表示轉動)位置型并聯(lián)機構和二自由度A/C轉頭組成的高性能五自由度混聯(lián)機器人越來越受到工業(yè)界和學術界的關注。這類機器人在靈活性、可重構性，以及速度、精度、動態(tài)特性等方面，不同程度地繼承或彌補了數(shù)控機床和關節(jié)型機器人的優(yōu)點或不足，是兩種裝備技術結合的產(chǎn)物[1-2]。采用該類機器人搭建的機器人化加工裝備正逐漸成為航空航天、核能、船舶等高端制造領域大型結構件現(xiàn)場短流程、高柔性、高效率制造的一種重要技術選擇[3-5]。目前，這類高性能混聯(lián)機器人的典型代表有Trciept機器人[6]、Exechon機器人[7]和TriMule機器人[8]等。

尺度綜合是實現(xiàn)機器人本體工程設計的關鍵步驟，涉及根據(jù)運動學、靜剛度或動力學等性能評價指標優(yōu)化機構的尺度參數(shù)。長期以來，一些學者圍繞機器人機構的尺度綜合開展了大量的研究?；谶\動學性能的優(yōu)化設計是最為常用的方法之一。該方法一般以反映工作空間能力，以及關節(jié)與操作瞬時運動/力傳遞特性的指標作為目標函數(shù)和/或約束條件，以歸一化的尺度參數(shù)為決策向量開展設計。所涉及的傳遞特性指標通常為采用雅可比矩陣的代數(shù)特征(行列式、條件數(shù)、奇異值等)來構造的各種局部和全域評價指標[9-12]。注意到僅當位姿耦合并聯(lián)機構的雅可比矩陣具有齊次量綱時[13]，其代數(shù)特征才能作為正確評價機構運動性能的指標。為此，一些學者先后提出可構造并聯(lián)機構齊次量綱雅可比矩陣的方法，如特征長度法[14]、特征點法[15]、轉動/平動最大靈敏度法[16]等。然而，特征長度法將靈活度在齊次空間中最優(yōu)的一組量綱一D-H參數(shù)作為特征長度，對雅可比矩陣作歸一化處理，但因缺乏明確的物理意義而鮮被采用。特征點法是用動平臺上若干特征點的線速度來表征操作速度，雖簡單直觀，但尚無選擇這些點的普適性準則可資利用。轉動/平動最大靈敏度法物理意義明確，但在優(yōu)化設計中面臨如何選擇權重的問題。鑒于上述原因，由BALL[17]提出的虛系數(shù)發(fā)展而來的傳遞率已成為評價位姿耦合并聯(lián)機構運動學性能的主流方法。虛系數(shù)被定義為作用在動平臺的力旋量在相應運動旋量上所做功的歸一值，其幾何意義可以被理解為二者螺旋軸夾角的余弦。這類指標包括傳遞因子、傳遞指標、傳遞率、廣義傳遞指標等。它們的共同之處是量綱一化且與坐標系的選擇無關，取值越大則運動/力傳遞特性越好，而主要區(qū)別在于歸一化方法不同，以及對驅動-約束、串聯(lián)-并聯(lián)等特征的細分。近年來，基于虛系數(shù)的各種指標被廣泛應用于位姿耦合并聯(lián)機構的運動學優(yōu)化設計[18-22]。

本文面向大型結構件現(xiàn)場加工的需求，提出一種新型非對稱五自由度混聯(lián)機器人，以期為高性能機器人化加工裝備的搭建提供又一可資利用且具有工程實用價值的構型。以其中三自由1T2R并聯(lián)機構為研究對象，在運動學分析及借助旋量理論構造出量綱一雅可比矩陣的基礎上，開展該機構尺度綜合方法研究，旨在獲得一組使該機器人兼具優(yōu)良的運動/力傳遞特性及大作業(yè)空間/機構占地比，且具有近似面對稱性能的尺度參數(shù)。

1 系統(tǒng)描述

圖1示出了本文所提出新型非對稱五自由度混聯(lián)機器人的CAD模型。該機器人由三自由度1T2R位置型并聯(lián)機構和二自由度A/C轉頭串接組成。其中，前者為R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構，包含一條無約束UPS主動支鏈，和一個由一條RPR支鏈、一條RP支鏈組成的1T1R平面并聯(lián)機構，且該平面并聯(lián)機構的連架桿件(即轉動支架)通過一對連架R副與機架連接。其中，R、U、S分別表示轉動副、虎克鉸和球鉸，P表示主動移動副。在三個P副的驅動下，1T2R并聯(lián)機構的末端動平臺可做繞連架R副的轉動，以及RP支鏈中R副的轉動和P副的平動，具備實現(xiàn)大作業(yè)空間/機構占地比的能力。動平臺上串接的A/C轉頭則可進一步實現(xiàn)末端執(zhí)行器的姿態(tài)能力。

圖1 新型五自由度混聯(lián)機器人CAD模型Fig.1 CAD model of the novel 5-DOF hybrid robot

上述機器人繼承并有機融合了Exechon機器人和TriMule機器人的優(yōu)點，其特色主要如下：

(1)與Exechon、TriMule機器人中的1T2R機構相同，并聯(lián)機構由空間支鏈和平面運動鏈組成，故僅采用兩組占地很小的軸承座作為靜平臺即可，從而大幅減小模塊質(zhì)量、降低制造成本。此外，轉動支架上集成了連架R副，以及RPR支鏈、RP支鏈與轉動支架連接的R副，是一個二合一構件，故可采用精密立加或精密坐標鏜一次裝夾加工完成全部孔系加工，保證整機的裝配精度和效率。

(2)與TriMule機器人類似，可在A/C轉頭轉軸輸出端，R(RP)支鏈的三個關節(jié)上安裝圓光柵與直線光柵，故具備實現(xiàn)全閉環(huán)反饋控制的功能。同時相較于TriMule機器人，該機器人中平面并聯(lián)運動鏈減少了一條從動支鏈，鉸鏈自由度數(shù)目更少，結構更加簡單。

(3)相較于Exechon機器人，該機器人中空間支鏈為六自由度無約束UPS支鏈，僅承受拉壓載荷，容易實現(xiàn)輕量化設計，且裝配工藝性更好。

(4)與Exechon和TriMule機器人類似，根據(jù)其結構緊湊、可重構能力強的優(yōu)點，可搭建出形式多樣的機器人化作業(yè)單元和移動工作站。

值得指出的是，不同于Exechon和TriMule機器人，該機器人中的三自由度1T2R并聯(lián)機構具有非對稱結構，而這一結構特點將導致其工作空間受到限制，同時影響機構受力[23-25]。因此，為了有效避免非對稱結構對工作空間的影響，同時獲得近似面對稱的性能，必須合理設計該并聯(lián)機構的尺度參數(shù)。

2 位置逆解分析及量綱一雅可比矩陣構造

2.1 坐標系建立

為了便于描述，現(xiàn)將UPS支鏈記為支鏈1，將轉動支架與RP支鏈(RPR支鏈)構成的UP運動鏈(UPR運動鏈)記為支鏈2(3)。據(jù)此，令點Bi為支鏈i連架U副的中心，點A1、A2和A3分別表示支鏈1中S副中心、支鏈2軸線與動平臺平面交點，以及支鏈3中R副中心，點B和A則分別為B2B3和A2A3的中點。其中，點Bi和Ai分別構成等腰三角形ΔB1B2B3和ΔA1A2A3，如圖2所示。此外，又令sj,i表示支鏈i中第j個單自由度關節(jié)軸線的方向矢量，它們滿足如下關系:

圖2 R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構的結構簡圖Fig.2 Schematic diagram of the R(RPR&RP)&UPSparallel mechanism

(1)

為了不失一般性，在點B和動平臺參考點P(A/C轉頭兩轉軸交點)上分別建立固定參考系B-xyz和連體參考系P-uvw，且滿足y⊥B2B3、z⊥ΔB1B2B3，v⊥A2A3、w⊥ΔA1A2A3。注意到UP支鏈為恰約束支鏈，故系B-xyz首先繞s1,2軸轉動θ1,2，然后繞s2,2軸轉動θ2,2+γu即可得到參考連體系P-uvw。據(jù)此，參考連體系P-uvw相對于參考連體系B-xyz的姿態(tài)矩陣可用關節(jié)轉角θ1,2和θ2,2表示為

R=Rot(s1,2,θ1,2)Rot(s2,2,θ2,2+γu)=[uvw]=

(2)

其中，c=cos，s=sin；γu為支鏈2相對于動平臺的方位角，即支鏈軸線與動平臺平面法相的夾角，如圖2所示；u、v、w分別為參考系P-uvw三個正交軸的單位矢量。

2.2 位置逆解分析

位置逆解分析是R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構量綱一雅可比矩陣構造、性能分析及優(yōu)化設計的重要基礎，涉及已知機構的尺度參數(shù)，末端參考點P的位矢，求解各支鏈的桿長。

如圖2所示，在參考系B-xyz下，動平臺參考點P的位矢rP=(xP，yP，zP)T可表示為

rP=bi+q3,is3,i-ci

(3)

bi=bi(cosφi,sinφi,0)Tci=ai-ew

ai=Rai0ai0=a(cosφi,sinφi,0)T

b1=byb2=b3=bx

q3,i=BiAibi=BBi

a=AAie=AP

根據(jù)機構中運動副軸線的布置，存在

(4)

(5)

λ1=xP-bxλ2=yPsinθ1,2-zPcosθ1,2

λ3=acosγu-esinγu

據(jù)此，可求解得到

(6)

在此基礎上，可構造出姿態(tài)矩陣R，進而確定

(7)

2.3 量綱一雅可比矩陣構造

雅可比矩陣表征了關節(jié)空間與操作空間之間的瞬時運動/力傳遞特性，故雅可比矩陣的構造是機構運動學性能評價和優(yōu)化設計的必要前提。

注意到UPS支鏈為六自由度主動支鏈，它僅對動平臺提供一個沿軸向的驅動力旋量ξWa,1。而連架R副與平面并聯(lián)機構組成的R(RPR&RP)平面混聯(lián)運動鏈除提供兩個分別沿支鏈2和3軸向的驅動力旋量ξWa,2和ξWa,3之外，還提供機構所需的整個約束力旋量系。如圖3所示，根據(jù)約束力子空間與許動運動子空間互為零化子空間的原理，該約束力旋量系可分解為：①由UP支鏈提供的約束力旋量ξWc,1用于限制動平臺在面內(nèi)沿n1,2方向的平動；②由平面混聯(lián)運動鏈中兩條支鏈共同提供的約束力ξWc,2和ξWc,3，前者用于限制動平臺沿s2,2方向的平動，后者用于限制動平臺繞n3,2=s1,2×s2,2方向的轉動。

圖3 R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構的參考位形Fig.3 Reference configuration of the R(RPR&RP)&UPSparallel mechanism

因此，根據(jù)驅動/約束力旋量在從動關節(jié)上不做功的原理，可構造出動平臺關于點P的運動旋量ξt=(δT,εT)T與驅動關節(jié)變分之間的雅可比矩陣映射矩陣：

(8)

注意到R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構為一位姿耦合機構，故ξt的6個Plücker坐標中僅有三個是獨立的。因該機構為位置型1T2R機構[2, 26]，不妨取δ為主坐標、ε為副坐標，則按主副坐標對W分塊后，可將式(8)改寫為

(9)

式中，Waf(Wcf)、Waτ(Wcτ)分別為由Wa(Wc)的線性部、角性部構成的3×3矩陣。

由上式可解出

(10)

3 運動學性能分析

并聯(lián)機構的運動學性能主要體現(xiàn)在任務空間/機構占地比，以及運動/力傳遞特性兩個方面，它們可用于構造尺度綜合中的目標函數(shù)和/或約束條件。本節(jié)提出一種凝練R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構尺度參數(shù)及求解任務空間參數(shù)的方法，并定義可定量描述運動/力傳遞特性及其面對稱程度的指標，進而揭示尺度參數(shù)對運動學性能的影響規(guī)律，旨在為尺度綜合提供理論指導。

3.1 尺度參數(shù)凝練與任務空間定義

考慮到并聯(lián)機構一般集中在可達空間中心附近區(qū)域工作，因此首先定義三條支鏈達到各自行程一半的位形為參考位形，如圖3所示，則

(11)

式中，q3,imax、q3,imin為支鏈i的最大、最小桿長。

為了獲得近似面對稱或軸對稱的性能，限定三條支鏈的最大/最小桿長相等(即q3,imax=qmax，q3,imin=qmin)，且在參考位形下支鏈3的方位角與支鏈2的方位角γu相等。據(jù)此，不難發(fā)現(xiàn)在參考位形下，v-w坐標平面與y-z坐標平面重合，如圖3所示。此外，記q3,imean=q、支鏈1的方位角為γv。

現(xiàn)不妨選取支鏈行程Δq=qmax-qmin，行程與最小桿長之比μ=Δq/qmin，動平臺半徑a，以及參考位形下的支鏈方位角γu和γv為獨立的尺度參數(shù)，則根據(jù)圖3中的幾何關系，可將其他參數(shù)表示為上述參數(shù)的函數(shù)：

(12)

考慮到R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構的可達空間為一非規(guī)則幾何體，現(xiàn)定義其中的一內(nèi)接圓柱體作為任務空間，記為WT。如圖3所示，WT的半徑和高分別為R和h，距離靜平臺平面高度為H，其軸線與z軸的距離為d，且WT底面的中點對應于所定義的參考位形?，F(xiàn)提出一種確定上述參數(shù)的數(shù)值方法。首先，根據(jù)參考位形的定義可確定

(13)

其中，ψ=arccos((qcosγu-qcosγv)/by)表示平面并聯(lián)機構運動平面與靜平臺平面的夾角。其次，若by≥bx(或γv≥γu)，且令WT上平面與支鏈最小桿長約束邊界曲面相切，則H取決于支鏈2的最小桿長，滿足

H=

(14)

在此基礎上，可進一步由式(13)確定出h。最后，因R取決于支鏈最大桿長約束，故在q3,i=qmax所約束曲面與z=H+h平面的交線上搜索到點(0，-d，H+h)T的最小距離，該值即為WT的半徑R。

3.2 運動學性能指標

任務空間/機構占地比是位置型1T2R并聯(lián)機構的重要運動學性能指標之一，它反映了用占地較小的機器人模塊實現(xiàn)大范圍作用的能力。在此，定義R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構的任務空間/機構占地比為

(15)

式中，S為ΔB1B2B3的外接圓面積。

運動/力傳遞特性取決于機構的雅可比矩陣，是并聯(lián)機構設計必須重點考慮的性能。通常以量綱一雅可比矩陣J條件數(shù)的倒數(shù)作為評價機構運動/力傳遞特性的指標，即

(16)

式中，σmax(J)、σmin(J)分別為J的最大和最小奇異值。

此外，為了反映機構運動學性能的面對稱程度，又定義如下指標：

(17)

式中，κ+、κ-分別表示在y-z坐標平面右側WT中某一給定點，以及該點關于y-z平面對稱點所對應位形下的局部運動/力傳遞特性。

3.3 尺度參數(shù)對運動學性能影響規(guī)律

圖和隨γu 和γv的變化規(guī)律Fig.4 Variations of λW and versus γu and γv

4 尺度綜合

(18)

在此，xj,min和xj,max表示xj的下界和上界，D={x|c(x)≤0}表示在滿足約束條件下決策向量x的可行域。

采用2-范數(shù)定義偏差函數(shù)并引入權重，進而可將問題(18)改寫為

(19)

式中，wi為度量第i個目標重要程度的權重，且滿足w1+w2=1。

圖5 F隨γu和γv的變化規(guī)律Fig.5 Variations of F versus γu and γv

表1 R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構尺度參數(shù)設計結果

表2 任務空間參數(shù)

圖6 κ在WT中的分布規(guī)律Fig.6 Distribution of κ within WT

在同尺度參數(shù)下，現(xiàn)將R(RPR&RP)&UPS并聯(lián)機構的運動/力傳遞特性與TriMule機器人中R(2-RPR&RP)&UPS機構(圖7a)、Exechon機器人中R(2-RPR)&SPR機構(圖7b)進行對比。二者的運動學建模及量綱一雅可比矩陣構造分別參見文獻[12]和文獻[27]。

(a)R(2-RPR&RP)&UPS

(b)R(2-RPR)&SPR圖7 R(2-RPR&RP)&UPS與R(2-RPR)&SPR并聯(lián)機構的結構簡圖Fig.7 Schematic diagram of the R(2-RPR&RP)&UPSand R(2-RPR)&SPR parallel mechanism

(a)R(2-RPR&RP)&UPS

(b)R(2-RPR)&SPR圖8 R(2-RPR&RP)&UPS與R(2-RPR)&SPR并聯(lián)機構的運動/力傳遞特性分布規(guī)律Fig.8 Motion/force transmissibility distributions of theR(2-RPR&RP)&UPS and R(2-RPR)&SPRparallel mechanism

表3 全域運動/力傳遞特性對比

考慮到上述對比分析局限于給定的任務空間WT，故圖9進一步示出了三種并聯(lián)機構在可達工作空間中x-z和y-z坐標平面上的運動/力傳遞特性分布規(guī)律。由圖可見，三種機構的可達工作空間接近，且力/運動傳遞特性基本相當。上述對比分析結果有效驗證了本文所提出尺度綜合方法的有效性，同時為該新型混聯(lián)機器人的應用提供了理論依據(jù)。

(a)新型機器人：R(RPR&RP)&UPS

(b)TriMule機器人：R(2-RPR&RP)&UPS

(c)Exechon機器人：R(2-RPR)&SPR圖9 三種并聯(lián)機構在可達工作空間中的運動/力傳遞特性對比Fig.9 Comparison of the motion/force transmissibilityof three parallel mechanisms in the reachable workspace

5 結論

(1)提出了一種新型非對稱五自由度混聯(lián)機器人，其中的三自由度1T2R位置型并聯(lián)機構包含一條無約束UPS主動支鏈，和一個由一條RPR支鏈、一條RP支鏈組成的1T1R平面并聯(lián)機構，且該平面并聯(lián)機構的連架桿件通過一對連架R副與機架連接。這一特殊構型使得該機器人有機融合了Exechon和TriMule機器人的優(yōu)點。