鄒靈果

(廈門海洋職業(yè)技術學院 公共教育學院，福建 廈門 361009)

近年來，研究非線性方程的方法已趨于成熟，學者們利用各種方法研究典型的非線性方程，得到了一些很有意義的解。 其中，行波解是非線性偏微分方程非常重要的一類解，并且很多典型的非線性偏微分方程有豐富的行波解。 例如：KdV方程ut-6uux+uuxxx=0[1]有光滑的孤立波解；CH方程(Camassa-Holm方程)ut-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxx[2]有孤立尖波解等行波解；Fornberg-Whitham方程ut-uxxt+ux=uuxx-uux+3uxuxx[3]在一定條件下會出現(xiàn)爆破的行波解。 除此之外，Burgers方程、Sine-Gordon方程、KP方程等都有豐富的行波解。輔助方程法[4](代數(shù)方法)、廣義橢圓方程法[5]、F-展開法[6]和平面動力系統(tǒng)分支理論[7]都被運用到非線性偏微分方程領域的研究中，這4種數(shù)學方法一直都是很好的非線性分析工具。本研究利用Rui[8]提出的一種改進的方法即積分分支法來求解非線性偏微分方程，這種改進的方法不像分支理論那樣涉及復雜的相圖分析，它很容易就能夠滿足，可為用積分分支法解非線性偏微分方程奠定基礎。

1 非線性偏微分方程的積分分支法

1.1 積分分支法概述

對于一個給定的(n+1)維非線性偏微分方程：

E(t，xi，uxi，uxixi，uxixj，utt，…)=0，i，j=1，2，…，n，

(1)

積分分支法簡單過程如下：

P(ξ，φ，φξ，φξξ，φξξξ，…)=0。

(2)

反復對式(2)積分，直到它變成式(3)這樣的二階非線性常微分方程后進行下一步：

G(φ，φξ，φξξ)=0。

(3)

(4)

(5)

這里的τ是參數(shù)。

如果方程(4)是一個積分系統(tǒng)，那么方程(4)與方程(5)有如下相同的積分：

H(φ，y)=h，

(6)

這里的h是積分常數(shù)。一般情況下，函數(shù)(6)滿足如下關系：

y=y(φ，h)，

(7)

如果式(7)是一個積分表達式，那么把式(7)代入系統(tǒng)(4)的第一個方程并進行積分運算，得到

(8)

如果式(7)是一個分式，那么把式(7)代入式(5)的第一個方程并進行積分運算，得到

(9)

因為方程(1)的參數(shù)值和方程(6)、(7)中的常數(shù)h是變化的，方程(8)、(9)也一樣，所以稱這些積分表達式為積分分支，不同的積分分支相當于不同的行波解。

以上為積分分支法的全部過程。

1.2 積分分支法的改進

Rui[8]在積分分支法的基礎上結合Jacobi橢圓函數(shù)積分對積分分支法進行了一些改進。

由系統(tǒng)(4)得到

(10)

或者由系統(tǒng)(5)得到

(11)

根據(jù)A，B，…，C或P，Q，…，R的取值，結合表1可以得到方程(1)的解。

表1 方程F′2=RF2+QF3+PF4的參數(shù)選擇Tab.1 Parameter selection of equation F′2=RF2+QF3+PF4

2 采用積分分支法求CH方程的精確解

2.1 對CH方程約化

ut+c0ux+3uux-α2(uxxt+uxxx+3uxuxx)+γuxxx=0。

(12)

首先對方程(12)作變換，令u=φ(ξ)=φ(x-ct)，其中ξ=x-ct，x為波長，t為時間，都是變量，c為波速，為待定參數(shù)，則方程(12)變形為

(c0-c)φ′+3φφ′-α2(-cφ?+φφ?+3φ′φ″)+γφ?=0。

(13)

方程(13)兩邊對ξ積分得

2(c0-c)φ+3φ2+2(α2c+γ-α2φ)φ″-2α2(φ′)2=0。

(14)

令φ′=y，則方程(14)變成下面兩個微分系統(tǒng)：

(15)

再令

dξ=2(α2c+γ-α2φ)dτ，

(16)

則系統(tǒng)(15)變?yōu)?/p>

(17)

由式(17)得

(18)

化簡得

(19)

解方程(19)，得

(20)

式中的h為積分常數(shù)，即

(21)

結合式(16)，方程(21)可以變形為

(22)

2.2 求CH方程的精確解

(1)情形Ⅰ：h=0。

方程(22)變形為

(23)

dξ=D(1+Eφ)dτ。

(24)

(25)

類似地，結合表1和方程(24)得到方程(12)的解：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

由此可知，解(33)是孤立波解。

(2)情形Ⅱ：h≠0。

(34)

φ(τ)=sn(τ,r)。

(35)

把方程(35)代入方程(26)，兩邊積分，可得到方程(12)一個特殊的周期波參數(shù)解：

(36)

(37)

(38)

(39)

2.2.2求CH-γ方程的顯式解

由方程(20)定義

(40)

(41)

當-α2c-γ=0時，即當γ=-α2c時，hs=0，取h=hs(α≠0)，則方程(20)可變形為

(42)

即

(43)

所以

(44)

把方程(44)分離變量，兩邊積分得

(45)

(46)

3 結語

本研究采用積分分支法結合Jacobi橢圓函數(shù)積分在不同的參數(shù)條件下得出了方程(12)的多種參數(shù)行波解和一種顯示解，包括紐子波解、反紐子波解、周期波解、孤立波解等行波解，并與現(xiàn)有文獻相比得到了一些新的結果。