惠 蕙，王秋萍，李苗苗

西安理工大學(xué) 理學(xué)院，西安 710054

由于決策問題日益復(fù)雜化，決策者常選擇用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)來表達(dá)看法及意見，并且可能會(huì)在不同的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)之間猶豫不決，為此，2012年，Rodríguez等人[1]提出了猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集（HFLTS）的概念。Liao等人[2]給出了HFLTS的數(shù)學(xué)定義，并用猶豫模糊語(yǔ)言元素（HFLE）來表示語(yǔ)言變量的猶豫模糊語(yǔ)言值。HFLTS的語(yǔ)言表達(dá)模型使人類的思維和認(rèn)知相一致，它允許不確定性、模糊性和猶豫性，可以靈活地表達(dá)決策者的認(rèn)知復(fù)雜信息，引起了諸多學(xué)者的關(guān)注。因此有必要研究猶豫模糊語(yǔ)言環(huán)境下的多屬性決策問題。

人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)決策活動(dòng)中由于信息不完全、認(rèn)知受限和時(shí)間壓力而表現(xiàn)為有限理性。因此，作為描述人們有限理性行為的前景理論，被廣泛應(yīng)用于解決多屬性決策問題[3]。前景理論考慮決策者的心理特征和風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，然而，在實(shí)際決策過程中，決策者不僅會(huì)感知風(fēng)險(xiǎn)，而且當(dāng)知道自己未選擇最佳方案時(shí)也會(huì)感到后悔。因此在考慮決策者心理行為的情況下，決策者的行為應(yīng)基于風(fēng)險(xiǎn)厭惡和后悔規(guī)避。Bell[4]、Loomes和Sugden[5]分別提出的后悔理論是一種行為決策理論，其綜合考慮到在行為決策分析中出現(xiàn)的后悔和欣喜兩種不同的心理感受，被認(rèn)為是最廣泛和流行的有限理性的行為決策模型之一。與前景理論相比，后悔理論可以有效地處理后悔規(guī)避行為，而且不需要決策者事先給定參考點(diǎn)，計(jì)算公式中的參數(shù)相對(duì)較少。近年來，許多學(xué)者將后悔理論引入模糊決策環(huán)境中。文獻(xiàn)[6]提出一種基于后悔理論的猶豫模糊信息決策方法。文獻(xiàn)[7]將后悔理論應(yīng)用到直覺模糊信息的環(huán)境中，并通過網(wǎng)絡(luò)游戲的案例說明其方法的可行性。文獻(xiàn)[8]提出一種基于后悔理論的區(qū)間灰數(shù)多準(zhǔn)則決策方法。

ELECTRE方法[9]是最具代表的級(jí)別高于方法，因?yàn)镋LECTRE III引入了嚴(yán)格優(yōu)于閾值、無(wú)差異閾值和否決閾值來表示專家判斷的固有不確定性，所以ELECTRE III在ELECTRE方法族中發(fā)揮著突出的作用。由于ELECTRE III在處理不精確信息和部分補(bǔ)償效果方面的有效性，因此ELECTRE III法在實(shí)際決策問題中受到廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)[10]構(gòu)建了基于ELECTRE III的農(nóng)戶小額貸款企業(yè)信用評(píng)級(jí)決策模型。文獻(xiàn)[11]采用Z數(shù)、后悔理論和ELECTRE III相結(jié)合的決策方法，以評(píng)估新能源投資風(fēng)險(xiǎn)問題。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于ELECTRE III方法處理認(rèn)知復(fù)雜信息為猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集的多專家多準(zhǔn)則決策問題。

文獻(xiàn)[13]給出了一種猶豫模糊語(yǔ)言的多屬性決策問題方法，數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商選擇實(shí)例說明猶豫模糊語(yǔ)言在表達(dá)復(fù)雜信息時(shí)的靈活性和可行性。后悔理論被廣泛應(yīng)用于解釋一些期望效用理論不能解釋的“悖論”或“異象”[8]，為多屬性決策問題提供了新方法，ELECTRE III能反映決策者關(guān)于屬性間的部分可補(bǔ)償性。如何將后悔理論與ELECTRE III結(jié)合應(yīng)用到猶豫模糊語(yǔ)言信息下的多屬性決策問題，是一個(gè)值得研究的問題。根據(jù)以上分析，本文針對(duì)屬性權(quán)重未知的猶豫模糊語(yǔ)言多屬性決策問題，利用灰色關(guān)聯(lián)分析與極大熵結(jié)合確定猶豫模糊語(yǔ)言信息下的屬性權(quán)重，進(jìn)而提出了一種基于ELECTRE III與后悔理論結(jié)合的猶豫模糊語(yǔ)言多屬性決策方法。

1 基本概念

1.1 猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集

定義1[2]設(shè)X為一論域，x i∈X,i=1,2,…,N,S=是一個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集，X上的一個(gè)猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集H S可表示為：

其中，h S()x i是語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集S中的一列可能的取值，可以表示為：

其中，L是h S(x i)中語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的個(gè)數(shù)，h S(x i)表示語(yǔ)言變量x i對(duì)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集S的可能的隸屬程度。稱h S(x i)為猶豫模糊語(yǔ)言元素，而H S是所有猶豫模糊元素的集合，h S(x i)、sφl(shuí)(xi)簡(jiǎn)寫為和。

定義2[14]設(shè)是一個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集是猶豫模糊語(yǔ)言元素，L是語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的數(shù)量，的猶豫度定義為：

文獻(xiàn)[2]中給出了猶豫模糊語(yǔ)言元素的漢明距離公式：

本文考慮猶豫模糊語(yǔ)言元素的猶豫度，在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，定義兩個(gè)猶豫模糊語(yǔ)言元素的距離如下：

定義3設(shè)和是S上的任意兩個(gè)猶豫模糊語(yǔ)言元素，定義和的包含猶豫度的規(guī)范化漢明距離為：

定義4[15]設(shè)S={s t|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}是一個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集，h S={sφl(shuí)|sφl(shuí)∈S,l=1,2,…,L} 是猶豫模糊語(yǔ)言元素，h S的得分函數(shù)和方差函數(shù)為：

注意：在大多數(shù)情況下，不同的HFLE有不同數(shù)量的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)。因此，為了計(jì)算時(shí)正確操作，一般通過添加語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)來擴(kuò)展元素個(gè)數(shù)相對(duì)少的HFLE，直到它們有相同的元素個(gè)數(shù)[15]。本文通過添加中間的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)項(xiàng)來擴(kuò)展元素個(gè)數(shù)較少的HFLE。

1.2 后悔理論

根據(jù)后悔理論可知，決策者將選擇方案的結(jié)果與其他方案的結(jié)果進(jìn)行比較，以衡量決策者的欣喜和后悔水平，并選擇決策者不會(huì)后悔的最佳方案。若選擇其他方案會(huì)帶來更好的結(jié)果，則決策者會(huì)感到后悔，反之則欣喜，由于決策者心理行為特點(diǎn)是后悔規(guī)避的，那么兩方案相互比較的后悔-欣喜函數(shù)R()Δu單調(diào)、遞增、凹的，可表示為[6]：其中，μ>0表示決策者的后悔規(guī)避系數(shù)，μ越大表示后悔規(guī)避程度越大，Δu表示兩方案效用之差，本文采用文獻(xiàn)[6]的效用值：

基于式（5）和式（6）確定欣喜函數(shù)為[11]：

后悔函數(shù)為：

2 基于后悔理論的猶豫模糊語(yǔ)言ELECTRE法

設(shè)猶豫模糊語(yǔ)言多屬性決策問題中，A={A1,A2,…,A m}為備選方案集，C={C1,C2,…,C n}表示屬性集，W=(ω1,ω2,…,ωn)表示屬性權(quán)重向量，并且滿足。設(shè)表示決策者對(duì)備選方案集A在屬性集C下的決策矩陣，其中表示決策者對(duì)備選方案Ai在屬性C j下的猶豫模糊語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息值。

2.1 屬性權(quán)重的確定

文獻(xiàn)[16]在區(qū)間灰數(shù)的環(huán)境中利用灰關(guān)聯(lián)與極大熵結(jié)合確定屬性權(quán)重，本文將該方法拓展到求解猶豫模糊語(yǔ)言環(huán)境下的屬性權(quán)重。在決策信息評(píng)價(jià)矩陣中，屬性元素之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性意味著屬性之間的關(guān)聯(lián)信息的存在，一定程度上反映了不同屬性元素之間不同的相對(duì)重要程度。首先構(gòu)造理想?yún)⒖夹蛄校郧蟮酶鲗?duì)比序列與參考序列在各個(gè)屬性下的關(guān)聯(lián)系數(shù)。設(shè)猶豫模糊語(yǔ)言參考序列為正理想解：

其中，ξ為分辨系數(shù)，一般地，取為0.5。

根據(jù)極大熵原理，使權(quán)重熵值達(dá)到最大，并且滿足約束條件得到的權(quán)重值比較合理[16]?；跇O大熵準(zhǔn)則，結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，建立的極大熵模型為：

2.2 級(jí)別高于賦值方法

文獻(xiàn)[11]根據(jù)ELECTRE III的規(guī)則提出了一種Z數(shù)信息下的級(jí)別高于賦值方法，這里給出猶豫模糊語(yǔ)言信息下的級(jí)別高于賦值方法。首先，給出了基于欣喜函數(shù)和后悔函數(shù)的猶豫模糊語(yǔ)言元素的和諧指數(shù)與不和諧指數(shù)。然后，給出了方案A i優(yōu)于A k的可信度指數(shù)。最后，為方案制定了排序規(guī)則。

優(yōu)于的欣喜不和諧指數(shù)和后悔不和諧指數(shù)分別為：

有序方案對(duì)(A i,A k)的和諧指數(shù)CC(A i,A k)為：

當(dāng)C j(Ai,A k)為欣喜和諧指數(shù)CO j(Ai,A k),CC(A i,Ak)就為欣喜和諧指數(shù)CCO(A i,A k)；當(dāng)C j(A1,A2)為后悔和諧指數(shù)CG j(Ai,A k)，CC(A i,Ak)就為后悔和諧指數(shù)CCG(A i,A k)。CC(Ai,A k)表示支持“Ai級(jí)別高于A k”這一論斷的測(cè)度，D j(A i,A k)表示拒絕“Ai級(jí)別高于A k”這一論斷，即不和諧性強(qiáng)度的測(cè)度。

方案Ai優(yōu)于Ak的可信度指數(shù)R()A i,Ak定義為：

其中，J(Ai,A k)是所有D j(Ai,A k)>CC(A i,Ak)的屬性的集合。同樣，當(dāng)C C(A i,Ak)和D j(A i,Ak)是后悔或欣喜指數(shù)，R(A i,A k)就為后悔或欣喜的可信度指數(shù)。

設(shè)RG(A i,A k)和RO(Ai,A k)分別為Ai優(yōu)于A k的后悔和欣喜可信度指數(shù)，RG(A k,Ai)和RO(A k,A i)分別為A k優(yōu)于Ai的后悔和欣喜可信度指數(shù)，則方案A i優(yōu)于A k的可信度指數(shù)ψ(A i,Ak)為：

2.3 方案凈可信度的確定

通過引入一致可信度，非一致可信度以及凈可信度為ELECTRE III方法提供一種簡(jiǎn)單可靠的排序方法[10]。

（1）一致可信度的確定。

（2）非一致可信度的確定。

（3）凈可信度的確定。

將各方案的凈可信度根據(jù)降序排列，就能得到各方案由優(yōu)到劣的綜合排序。

2.4 決策步驟

步驟1根據(jù)決策者給出的決策信息構(gòu)造猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集決策矩陣

步驟2根據(jù)式（11）和（12）確定屬性權(quán)重。

步驟3根據(jù)式（13）、（14）和（17）計(jì)算欣喜-后悔和諧指數(shù)。

步驟4根據(jù)式（18）計(jì)算欣喜-后悔可信度指數(shù)。

步驟5根據(jù)式（19）計(jì)算可信度指數(shù)。

步驟6根據(jù)式（22）計(jì)算凈可信度ψ(Ai)，將ψ(A i)按降序排列，就可得到方案集由優(yōu)到劣的排序。

3 算例分析

3.1 算例

本文算例來自文獻(xiàn)[18]。糖酒會(huì)舉辦方要與一家最令人滿意的住宿企業(yè)簽訂合作合同。其中三家酒店分別記為A1漢庭、A2錦江之星、A3如家。四個(gè)評(píng)價(jià)屬性為地理位置與交通便利性C1、酒店的硬件設(shè)施和設(shè)備及服務(wù)水平C2、酒店的配套服務(wù)C3、酒店的價(jià)格C4。邀請(qǐng)專家對(duì)這三家酒店的四個(gè)方面分別進(jìn)行評(píng)估，C1,C2,C3屬于效益型指標(biāo)，可用如下評(píng)估標(biāo)度表示，S={st|t=-3,-2,-1,0,1,2,3},s-3=“非常差”,s-2=“很差”,s-1=“差”，s0=“一般”，s1=“好”，s2=“很好”，s3=“非常好”。C4屬于成本型指標(biāo)，評(píng)估標(biāo)度如下，S={s t|t=-3,-2,-1,0,1,2,3}，s-3=“非常低”，s-2=“很低”，s-1=“低”，s0=“一般”，s1=“高”，s2=“很高”，s3=“非常高”。決策者給出的決策信息如表1所示[18]。

表1 決策信息Table 1 Decision information

由題設(shè)給出的評(píng)估標(biāo)度可將表1轉(zhuǎn)化為表2。

表2 決策矩陣Table 2 Decision matrix

決策步驟如下：

步驟1規(guī)范化決策信息。利用文獻(xiàn)[18]所給出的方法，將成本型屬性下的評(píng)估值轉(zhuǎn)化為效益型屬性下的評(píng)估值，如表3所示[18]。

表3 標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣Table 3 Normalized decision matrix

步驟2根據(jù)2.1節(jié)確定屬性權(quán)重模型為：

則根據(jù)模型解得屬性權(quán)重為：

步驟3根據(jù)式（13）、（14）、（17）可得欣喜-后悔和諧指數(shù)，參數(shù)μ=0.3[6-7]。

依據(jù)文獻(xiàn)[11]，取所有屬性門檻值為q j=0.05，p j=0.2，v j=0.4。

那么欣喜和諧指數(shù)為：

后悔和諧指數(shù)為：

步驟4根據(jù)式（18）計(jì)算欣喜-后悔可信度指數(shù)分別為：

欣喜可信度指數(shù)：

后悔可信度指數(shù)：

步驟5根據(jù)式（19）計(jì)算可信度指數(shù)為：

步驟6根據(jù)式（22）計(jì)算出的凈可信度分別為：ψ(A1)=-0.807 3，ψ(A2)=1.715 2，ψ(A3)=-0.907 9，按降序排列即ψ(A2)>ψ(A1)>ψ(A3)，則A2?A1?A3。

為了考證參數(shù)μ的取值變化對(duì)最終決策結(jié)果的影響，這里給出μ在不同取值下的方案排序結(jié)果，如表4所示。由表4可以看出，結(jié)果對(duì)μ值不敏感，最優(yōu)方案都是A2，只有當(dāng)μ=0.4時(shí)方案A1和A3的排序發(fā)生了變化，表明了所提方法的穩(wěn)定性。

表4 不同μ值的決策結(jié)果Table 4 Results with differentμvalues

3.2 比較分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，將所提出的方法與其他兩種現(xiàn)有方法進(jìn)行了比較，包括Loomes等人[5]提出的后悔理論法，以及文獻(xiàn)[18]提出的基于猶豫模糊語(yǔ)言的前景理論決策方法。

（1）與文獻(xiàn)[5]方法的比較

依據(jù)文獻(xiàn)[5]的后悔理論可知在屬性C j下選擇方案Ai而沒有選擇方案A k，方案A i的感知效用函數(shù)為：

那么方案A i相對(duì)于其他方案的總體感知效用為：

其中，表示方案集A中每個(gè)方案Ak的權(quán)重。在本文中如文獻(xiàn)[5]，取

首先計(jì)算在屬性C j()j=1,2,…,n下方案兩兩比較的感知效用矩陣，當(dāng)效用函數(shù)取式（6），后悔-欣喜函數(shù)取

然后由式（24）計(jì)算綜合感知效用矩陣，其中屬性權(quán)重為前面計(jì)算所得：

根據(jù)總體感知效用值可得方案的排序?yàn)锳2?A1?A3。同理可得R(Δu)=1-0.8Δu[5]時(shí)方案的排序結(jié)果。表5給出本文方法與文獻(xiàn)[5]方法在取不同的后悔-欣喜函數(shù)下方案的結(jié)果。

表5 本文方法與文獻(xiàn)[5]方法的排序結(jié)果Table 5 Ranking results of method in this paper and method in references[5]

由表5可知，本文方法和文獻(xiàn)[5]方法的方案排序結(jié)果一樣，最佳候選酒店均為A2，但本文方法所得的最優(yōu)方案與次優(yōu)方案的排序值差異更大，這說明本文所提方法不僅可行，而且更令人信服。本文將后悔理論與ELECTRE III相結(jié)合，不僅可以考慮到?jīng)Q策者的后悔規(guī)避心理，還充分體現(xiàn)了屬性間的部分可補(bǔ)償性，使得決策結(jié)果更能反映實(shí)際情況。由于這些特性，所建立的模型在決策過程中可以有比其他方法更合理、更有效的結(jié)果。

（2）與文獻(xiàn)[18]的比較

為便于比較，當(dāng)距離公式采用式（2），屬性權(quán)重：ω1=0.326 7,ω2=0.238 7,ω3=0.217 4,ω4=0.217 2時(shí)，應(yīng)用文獻(xiàn)[18]的方法，并根據(jù)文獻(xiàn)[18]的參數(shù)α=β=0.88,γ=0.61,δ=0.69,λ=2.25對(duì)算例進(jìn)行決策分析。

首先計(jì)算各方案在各屬性下的前景值，見表6。其次，計(jì)算各方案在各屬性下的心理權(quán)重，見表7。最后，得到各方案的綜合前景值，見表8。并根據(jù)綜合前景值排序。

表6 各方案在各屬性下的前景值矩陣Table 6 Matrix of prospect values for each alternative under each attribute

表7 各方案在各屬性下的權(quán)重Table 7 Weight of alternative by attribute

由表8可知方案排序?yàn)锳2?A1?A3，最佳候選酒店為A2。

表8 各方案的綜合前景值Table 8 Comprehensive prospect value of each alternative

前景決策方法涉及五個(gè)參數(shù)分別為α、β、γ、δ、λ。0<α<1,0<β<1,α、β表示決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，取值越大，表明決策者越傾向于冒險(xiǎn)；λ>1,λ表示損失規(guī)避程度，取值越大，表明決策者的損失規(guī)避程度越高；γ、δ分別表示心理預(yù)期為收益或損失時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù)。在文獻(xiàn)[18]中，α=β=0.88,γ=0.61,δ=0.69,λ=2.25。Abdellaoui建議α、β分別取0.89和0.92[19]；Kahneman和Tversky建議λ的取值在2.0和2.5之間[20]；Tversky和Kahneman認(rèn)為取γ=0.6，δ=0.72[21]；Richard和Wu認(rèn)為取γ=0.74，δ=0.74[22]。

依據(jù)以上所述的參數(shù)取值情況，只改變一個(gè)參數(shù)，其他參數(shù)不變的情況下對(duì)算例進(jìn)行決策分析。具體結(jié)果見表9。

由表9可知，前景決策方法中參數(shù)取15組值時(shí)，排序結(jié)果完全相同，當(dāng)α=β=0.88,γ=0.61,δ=0.69,λ=2.5時(shí)，最優(yōu)方案與次優(yōu)方案的排序值差異更大。本文方法與前景決策方法的排序結(jié)果一致，且本文方法的決策結(jié)果區(qū)分度更高，即最優(yōu)方案與次優(yōu)方案的相對(duì)差異較前景決策方法更大。決策分析結(jié)果表明了本文所提方法的可行性和有效性。在具體的運(yùn)算過程中，本文中后悔理論方法只需用一個(gè)參數(shù)來描述決策者的心理行為，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，而文獻(xiàn)[18]的前景決策方法需要五個(gè)參數(shù)，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。此外，后悔理論方法還考慮了決策者的后悔厭惡行為，這對(duì)于決策至關(guān)重要并且更貼近現(xiàn)實(shí)世界。因此，該方法可以綜合考慮決策者的心理因素，并產(chǎn)生更合理的結(jié)果。

表9 本文方法與文獻(xiàn)[18]方法的排序結(jié)果Table 9 Ranking results of method in this paper and method in references[18]

4 結(jié)語(yǔ)

猶豫模糊語(yǔ)言信息可以用來表達(dá)決策者在不確定環(huán)境下的評(píng)價(jià)信息，這種表達(dá)簡(jiǎn)潔靈活，能體現(xiàn)出決策者猶豫不決的心理，同時(shí)也保證了最終結(jié)果的合理性。本文在猶豫模糊語(yǔ)言環(huán)境下，提出了一種基于后悔理論和ELECTRE III相結(jié)合的多屬性決策方法。本文的創(chuàng)新如下：（1）基于后悔理論提出猶豫模糊語(yǔ)言元素的后悔-欣喜函數(shù)，用來處理猶豫模糊語(yǔ)言信息，使得決策者的心理行為可以通過后悔和欣喜值來體現(xiàn)。（2）屬性權(quán)重是決策過程中的重要參數(shù)，利用灰色關(guān)聯(lián)分析與極大熵原理結(jié)合確定猶豫模糊語(yǔ)言信息下的屬性權(quán)重，使得到的結(jié)果更加合理。（3）將ELECTRE III擴(kuò)展到猶豫模糊語(yǔ)言信息環(huán)境下的多屬性決策問題，利用ELECTRE III的規(guī)則給出了猶豫模糊語(yǔ)言信息下的級(jí)別高于賦值方法，充分考慮了屬性間的部分補(bǔ)償原則。

本文的算例結(jié)果說明了本文所提方法的可行性和有效性。與其他兩種方法的比較討論表明，本文方法所得最優(yōu)方案比次優(yōu)方案的區(qū)分度更大，排序結(jié)果更令人信服，進(jìn)一步說明該方法的有效性。