胡 攀

(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000)

亞式期權(quán)作為一種強(qiáng)路徑依賴性新型期權(quán),其價(jià)格取決于期權(quán)到期前一段時(shí)間內(nèi)或整個(gè)有效期內(nèi)的平均值[1]. 相比于普通期權(quán),亞式期權(quán)的波動(dòng)較小, 能較好地規(guī)避投資風(fēng)險(xiǎn),深受投資者喜愛(ài).亞式期權(quán),按照合同中買賣標(biāo)的資產(chǎn)來(lái)劃分可分為看漲和看跌兩種; 按照其平均值的不同計(jì)算方式可分為算術(shù)平均和幾何平均兩種; 按照其執(zhí)行價(jià)格又可分為固定執(zhí)行價(jià)格和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格兩類.

基于經(jīng)典BS模型的亞式期權(quán)定價(jià)[2—3], 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是一個(gè)連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程,且利率和波動(dòng)率均為常數(shù), 由此得到的定價(jià)結(jié)果與真實(shí)值之間存在較大偏差.對(duì)此許多學(xué)者做了大量的改進(jìn)研究, 主要體現(xiàn)在以下3個(gè)方面：①對(duì)利率和波動(dòng)率的改進(jìn)模型[4—5];②在連續(xù)擴(kuò)散模型基礎(chǔ)上考慮存在 “跳躍”的情況[6]; ③對(duì)連續(xù)擴(kuò)散項(xiàng)的改進(jìn), 主要考慮股票價(jià)格遵循分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)以及混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題[7—8]. 2004年Bojdecki[9]等建立了比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)更一般的中心高斯過(guò)程——次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng). 2007年Tudor[10]研究發(fā)現(xiàn)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的退化速度優(yōu)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng), 能更好地刻畫(huà)標(biāo)的資產(chǎn)的長(zhǎng)記憶性. 基于次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題參見(jiàn)文獻(xiàn)[11—12]. 2019年胡攀[13]在次分?jǐn)?shù)Ho-Lee隨機(jī)利率模型假設(shè)下,利用△對(duì)沖原理，建立了次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下帶有紅利支付和交易成本的幾何平均亞式期權(quán)的偏微分方程模型，并利用有限差分法和復(fù)合梯形法給出了定價(jià)模型的數(shù)值解.最后,通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了解法的有效性.

1998年, Bladt和Rydberg[14]提出了將期權(quán)定價(jià)轉(zhuǎn)化為公平保費(fèi)確定問(wèn)題的保險(xiǎn)精算法. 由于該方法不僅對(duì)完備、均衡和無(wú)套利的市場(chǎng)有效, 而且對(duì)不完備、非均衡和有套利的市場(chǎng)也有效. 因此, 自從該方法被提出以后, 已然成為一種高效的期權(quán)定價(jià)方法. 基于保險(xiǎn)精算法的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題參見(jiàn)文獻(xiàn)[15—16].

本文考慮具有浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格和固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題, 在次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散機(jī)制下, 利用保險(xiǎn)精算法給出看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式及二者之間的平價(jià)關(guān)系.最后，以次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)為例,通過(guò)數(shù)值模擬討論模型參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響.

1 預(yù)備知識(shí)

cov[WH(t),WH(s)]=

(1)

假設(shè)金融市場(chǎng)無(wú)摩擦, 其中有兩種資產(chǎn): 一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券, 其價(jià)格過(guò)程Pt滿足

dPt=rPtdt；

(2)

另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如股票), 其價(jià)格過(guò)程{St，t≥0}遵循如下次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程：

dSt=

St[(μ-q-λθ)dt+σ0dWH(t)+JtdNt],

(3)

定義1[13]標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格{Su，u≥0}在[0,t]時(shí)間段內(nèi)的期望收益率βu定義為

即風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在[0,t]的期望收益率定義為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)期末價(jià)格的期望與初始價(jià)格之比.

C(Gt,St,t)=

(4)

P(Gt,St,t)=

(5)

定義3固定執(zhí)行價(jià)格為K的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在任意時(shí)刻t∈[0,T]的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

C(Gt,St,t)=

(6)

P(Gt,St,t)=

(7)

定義2與定義3中期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格按期望收益率折現(xiàn)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)的期望收益.

引理1標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格{St，t≥0}滿足(3)式, 其解為

(8)

證明假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格{St，t≥0}在隨機(jī)時(shí)間t1,t2,…,tn,…處發(fā)生跳躍,對(duì)應(yīng)的跳躍高度分別為J1,J2,…,Jn,…, 在相鄰的兩次跳ti，ti+1之間,St遵循次分?jǐn)?shù)BS模型.跳躍時(shí)間tn服從參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程. 在[ti,ti+1)上有

dSt=St[(μ-q-λθ)dt+σ0dWH(t)].

對(duì)?t∈[t1,t2)有

從而

重復(fù)上述迭代過(guò)程, 并考慮在[0,t]內(nèi)股票價(jià)格沒(méi)有發(fā)生跳躍的情況即可得引理結(jié)論.

證明由于Jt與WH(t)相互獨(dú)立, 根據(jù)(8)式可得

又

(9)

(10)

從而

由定義1即得結(jié)論.

引理3[17]設(shè)隨機(jī)變量Y1,Y2∈N(0,1) , 且cov(Y1,Y2)=ρ，則

(11)

其中N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

2 幾何平均亞式期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)

定理1次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下, 到期時(shí)間為T,具有浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在時(shí)刻t∈[0,T]的價(jià)格為

C(Gt,St,t)=

(12)

P(Gt,St,t)=

(13)

其中

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

ξt=-λ(θ+1)(T-t)-

(20)

(21)

證明記Nt,T=NT-Nt，根據(jù)(8)式可得

由定義2得

C(Gt,St,t)=

(22)

記

顯然,在給定Nt,T=Nt,u=n的條件下，

由A=exp{-β(T-t)}ST≥exp{-r(T-t)}GT,兩邊取對(duì)數(shù)得X1-X2≥k，其中

ρ=

利用引理3的結(jié)果可得

記

ξt=-λ(θ+1)(T-t)-

即得(12)式的第一部分.同理可得

I2=

其中d2，ζt見(jiàn)(19)、(21)兩式.將I1,I2的結(jié)果代入(22)式可得看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

看跌期權(quán)的定價(jià)公式可類似證明.

定理2次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下, 到期時(shí)間為T,具有浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在時(shí)刻t∈[0,T]的平價(jià)關(guān)系為

C(Gt,St,t)-P(Gt,St,t)=

(23)

證明利用累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性N(-x)=1-N(x), 對(duì)公式(13)進(jìn)行化簡(jiǎn)即得定理結(jié)論.

類似定理1和定理2的證明,可證固定執(zhí)行價(jià)格幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式和平價(jià)關(guān)系.

定理3次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下, 到期時(shí)間為T,執(zhí)行價(jià)格為K的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在時(shí)刻t∈[0,T]的價(jià)格為

C(t,Gt,K)=

(24)

P(t,Gt,K)=exp{-(r+λ)(T-t)}×

N(-d3)，

(25)

定理4次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下, 到期時(shí)間為T,執(zhí)行價(jià)格為K的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在時(shí)刻t∈[0,T]的平價(jià)關(guān)系為

C(t,Gt,K)-P(t,Gt,K)=

exp{-(r+λ)(T-t)}K.

(26)

3 數(shù)值模擬

本節(jié)以次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散模型下具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)為例，通過(guò)數(shù)值模擬討論Hurst指數(shù)H,跳躍強(qiáng)度λ和到期時(shí)間T對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.

3.1 數(shù)值模擬的基本步驟

第一步：由(24)～(25)式可知，固定執(zhí)行價(jià)格幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)模型均為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的代數(shù)和，利用優(yōu)級(jí)數(shù)判別法和比值判別法，容易驗(yàn)證兩個(gè)模型均收斂；

第二步：置n=0，并設(shè)定模型中除Hurst指數(shù)H,跳躍強(qiáng)度λ和到期時(shí)間T外的其他參數(shù)；

第三步：對(duì)Hurst指數(shù)H,跳躍強(qiáng)度λ和到期時(shí)間T分別取不同值，代入(24)～(25)式，計(jì)算與級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和前n+1項(xiàng)對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格；

第四步：以10-5為絕對(duì)誤差限，若第三步中計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格的絕對(duì)誤差小于10-5，則停止迭代，輸出期權(quán)價(jià)格、收斂項(xiàng)數(shù)和絕對(duì)收斂誤差，否則，令n=n+1，返回第三步.

3.2 數(shù)值模擬結(jié)果

設(shè)置模型中的相應(yīng)參數(shù)如下：t=0,S0=10,σ0=0.4,r=0.05,q=0.01,μ=0.06,θ=0.3,σJ=0.2,K=10.Hurst指數(shù)H，跳躍強(qiáng)度λ和到期時(shí)間T的取值及期權(quán)價(jià)格的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.

表1給出了次分?jǐn)?shù)條件下，具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價(jià)格計(jì)算結(jié)果，及絕對(duì)誤差限為10-5時(shí)，期權(quán)價(jià)格收斂的項(xiàng)數(shù)和收斂誤差.計(jì)算結(jié)果表明：

表1 次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下亞式看漲、看跌期權(quán)的數(shù)值模擬結(jié)果

(ⅰ)在參數(shù)給定的條件下，次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)的價(jià)格要高于看跌期權(quán)的價(jià)格，價(jià)格高出的部分可由期權(quán)的平價(jià)關(guān)系式(26)給出合理解釋，即看漲期權(quán)價(jià)格高出看跌期權(quán)價(jià)格的部分為

Kexp{-(r+λ)(T-t)}.

(ⅱ)在其他參數(shù)固定的情況下,亞式看漲、看跌期權(quán)的價(jià)格隨著Hurst指數(shù)H的增加而減小,這表明幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)價(jià)格是Hurst指數(shù)H的減函數(shù).

(ⅲ)給定其余參數(shù)的條件下，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的跳躍強(qiáng)度λ增加，看漲期權(quán)的價(jià)格增加，看跌期權(quán)的價(jià)格降低. 這是因?yàn)椋阂环矫?，?dāng)Hurst指數(shù)H=0.7∈(0.5,1)時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格具有持久性和自相似性.持久性表現(xiàn)為:若前一階段股價(jià)走高，則下一階段也走高，反之亦然.當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格由于持久性持續(xù)升高時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)格升高，看跌期權(quán)的價(jià)格反而降低;另一方面，標(biāo)的資產(chǎn)的跳躍強(qiáng)度λ增大，標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)就增加，由于標(biāo)的資產(chǎn)的收益率μ=0.06>0，所以標(biāo)的資產(chǎn)的這種波動(dòng)不會(huì)影響其價(jià)格的大致走勢(shì)，盡管投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)在變大，但是亞式期權(quán)的價(jià)格變化主要依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的走勢(shì).因此，幾何平均看漲期權(quán)的價(jià)格升高，看跌期權(quán)的價(jià)格反而降低.

(ⅳ)在其余參數(shù)固定的條件下，幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價(jià)格隨著到期時(shí)間T的增加而增加.這是因?yàn)槠跈?quán)作為一種合約，是有時(shí)間價(jià)格的，隨著期權(quán)剩余時(shí)間的增加，期權(quán)價(jià)格也增加.

(ⅴ)幾何平均亞式看漲看跌期權(quán)的收斂性和收斂誤差與模型中的參數(shù)密切相關(guān).

4 小結(jié)

在市場(chǎng)無(wú)摩擦且Hurst指數(shù)H∈(0,1)的假設(shè)下, 在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程時(shí), 利用保險(xiǎn)精算法建立了帶有紅利支付的浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格和固定執(zhí)行價(jià)格幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式, 并給出了看漲、看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系.數(shù)值模擬的結(jié)果顯示, 在其他參數(shù)固定的情況下,幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價(jià)值與Hurst指數(shù)H呈反變關(guān)系,與到期時(shí)間T均成正變關(guān)系，看漲期權(quán)價(jià)格與跳躍強(qiáng)度λ成正比，看跌期權(quán)價(jià)格與跳躍強(qiáng)度λ成反比,期權(quán)價(jià)格的收斂項(xiàng)數(shù)與絕對(duì)收斂誤差和模型參數(shù)有關(guān).次分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)模型是跳擴(kuò)散過(guò)程下定價(jià)模型的推廣. 定價(jià)模型中將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率視為常數(shù)并不符合實(shí)際金融市場(chǎng)的特點(diǎn), 建立利率和波動(dòng)率的改進(jìn)模型是后續(xù)研究的主要內(nèi)容.