陳震， 仝瑤， 陳璐， 李曉克， 趙順波

(1.華北水利水電大學 土木與交通學院，河南 鄭州 450045；2.中國建筑第七工程局有限公司，河南 鄭州 450004)

隨著交通運輸業(yè)的發(fā)展，預應力技術已經(jīng)普遍應用于橋梁工程中。由于鋼筋應力松弛、混凝土收縮、徐變等原因，對預應力結構造成不同程度的損傷，導致有效預應力損失，嚴重影響結構的安全性。近年來，越來越多的學者從事預應力混凝土結構現(xiàn)存預應力識別方面的研究。LU Z R等[1]提出基于動力敏感度的預應力識別法，對中心布筋的預應力梁進行了預應力識別。劉艷輝等[2]研究了桁架結構預應力損失計算方法，通過建立位移與影響矩陣的數(shù)學關系以獲得預應力損失值，該方法對位移觀測點的敏感度要求較高。KIM J T等[3]利用頻率響應變化估算預應力損失程度，但該方法估算精度較差。張兆寧等[4]利用反分析法預測了服役期間橋梁內真實的預應力狀態(tài)，其求解迭代速度和識別效率有待提升。呂中榮等[5]分析了預應力對簡支梁的頻率和位移響應的影響機制，證明了識別現(xiàn)存預應力值的可行性。袁卓亞等[6]提出利用變形數(shù)據(jù)對連續(xù)剛構橋的預應力狀態(tài)進行監(jiān)測，但采集數(shù)據(jù)信息耗時較長。

利用模態(tài)響應疊加原理對預應力結構現(xiàn)存預應力進行快速識別是一個重要的研究課題。本文通過建立外部集中荷載作用下的預應力簡支梁動力學方程，由振型疊加和中心差分法得到模態(tài)響應，進而采用最小二乘法求解預應力，實現(xiàn)了噪聲干擾下梁的現(xiàn)存預應力識別。

1 基本理論

如圖1所示，假設單跨預應力簡支梁的預應力筋與混凝土無粘結，忽略剪切變形和轉動慣量，即伯努利-歐拉梁，在距離左端支撐xp處施加外部荷載P(t)。

圖1 預應力梁模型

梁的動力學方程可以寫為：

(1)

式中:ρ為梁的密度;A為梁的橫截面面積;c為黏性阻尼比;T為待識別預應力值;EI為簡支梁的抗彎剛度;y(x,t)為梁的橫向位移函數(shù);P(t)為施加的外部荷載;δ(x)為狄拉克函數(shù)。

在模態(tài)疊加基礎上，對式(1)進行正則坐標變換，式中各項乘以第i階模態(tài)的振型函數(shù)Yi(x)，對x從0到L積分[7]，由模態(tài)正交可得：

(2)

(3)

在xm處測量梁的位移y(xm,t)為:

(4)

式中:Yi(x)為第i階模態(tài)的振型函數(shù);qi(t)為第i階振型幅值。式(4)的矩陣形式可表示為：

yNm×1=YNm×NqN×1。

(5)

(6)

(7)

通過在時域內求解式(7)即可得到梁現(xiàn)存預應力值T。將預應力T從模態(tài)剛度矩陣中分離出來，用向量F表示為式(7)右端項，則式(7)可簡寫為：

Bn×1T=Fn×1。

(8)

式中:

對式(8)采用最小二乘法計算得到預應力:

T=(BTB)-1BTF。

(9)

2 數(shù)值仿真

2.1 模態(tài)頻率和動力響應重建

通過對不同預應力值作用下的結構響應和模態(tài)頻率進行重建，分析其對簡支梁振動特性的影響機制。文獻[10]依照節(jié)段混凝土重量的0、25%、50%、75%和100%分級加載，這種分級方式過于簡單，可能對結構造成附加損傷。本文以結構失穩(wěn)的臨界屈曲載荷為分級依據(jù)，將預應力劃分為T=0、0.1Tcr、0.3Tcr、0.5Tcr(Tcr為結構的臨界屈曲載荷)，其對應前五階模態(tài)下的振動頻率見表1。

表1 不同預應力梁的模態(tài)頻率

由表1可知，當模態(tài)階數(shù)固定時，隨著預應力值的增加，振動頻率逐漸降低。這是由于本模型假設預應力筋與混凝土無粘結，將預應力視為作用在梁端的軸向力，當對梁施加軸向力時會導致梁的橫向變形量增加，使結構產(chǎn)生“壓縮軟化”效應[7]，相當于降低了梁的剛度，進而導致梁的自振頻率降低。由于高階振型對計算結果的影響較小且具有靈敏、測量困難等特點，前三階振型即可滿足計算要求，故本文采用前三階模態(tài)進行計算。

圖2、圖3和圖4分別為不同預應力作用下跨中L/2處的位移、速度和加速度的響應對比。由圖2—4可知，隨著預應力的增大，識別響應與真實響應的相對誤差也隨之增大。其原因是：當預應力增大時，預應力筋產(chǎn)生了截面增強效應，加劇了結構的“壓縮軟化”效應，使得振動特性發(fā)生變化，出現(xiàn)局部失穩(wěn)，進而導致識別響應更加嚴重地偏離真實響應。由各圖對比可知，位移響應的誤差最大，速度響應的誤差次之，加速度響應的誤差最小。即在進行結構計算時，相對于速度響應和加速度響應，位移響應更容易受到噪聲的干擾，從而使動力方程求解過程中產(chǎn)生病態(tài)性，導致計算結果偏離真實值。

圖2 L/2處位移響應

圖3 L/2處速度響應

圖4 L/2處加速度響應

2.2 預應力識別

已知梁內預應力值T=0.3Tcr=8.224 7×106N，阻尼比為0.02，在梁上xp=7 m處施加一個外部激勵荷載P(t)=12 000[1+0.1sin(10πt)+0.05sin(40πt)]N，梁的前三階固有頻率分別為0.46、2.14、4.91 Hz，采樣頻率為200 Hz，在L/4、L/2和3L/4處布置傳感器收集位移響應?？紤]到在識別過程中實際測量值會受到噪聲的干擾，通過下式模擬噪聲的影響:

ymeasured=ycalculated+EPNnoiseVar(ycalculated)。

(10)

式中:ymeasured為實測響應值;ycalculated為仿真計算得到的響應值;EP表示噪聲水平;Var(·)表示時間變量方差;Nnoise表示服從標準正態(tài)分布的隨機噪聲。本文分析了1%、5%和10%噪聲水平下的預應力識別結果。

圖5為噪聲水平取1%時的識別結果。由圖5可知，在1%噪聲影響下，識別結果可以較為準確地反映梁內現(xiàn)存預應力值，僅在開始和結束時段存在較大波動，中間時段的識別結果較為理想。數(shù)值仿真結果說明，在低噪聲干擾下，通過最小二乘法可以獲得較為準確的識別結果，驗證了該方法的正確性和有效性。

圖5 1%噪聲水平下的預應力識別結果

圖6和圖7分別是5%噪聲和10%噪聲工況下的識別結果，與1%噪聲工況識別結果相比，預應力識別值在全程均有明顯波動，尤其是10%噪聲工況的識別結果最差。在采用中心差分法計算模態(tài)響應時，噪聲增長對梁的動態(tài)響應影響明顯，將測量響應數(shù)據(jù)代入系統(tǒng)方程后，產(chǎn)生典型的病態(tài)特征，進而導致識別結果失真。

圖6 5%噪聲水平下預應力識別結果

圖7 10%噪聲水平下預應力識別結果

3 結論

本文通過在預應力簡支梁上施加一個激勵荷載，基于模態(tài)疊加原理，采用中心差分法計算模態(tài)響應，進而提出由最小二乘法求解預應力，實現(xiàn)了由梁的動態(tài)響應識別橋梁現(xiàn)存預應力值。數(shù)值仿真結果表明：當采用低噪聲時，識別結果與真實值較為接近；當噪聲水平加大時，由于系統(tǒng)方程的病態(tài)性，導致識別精度明顯降低，識別預應力值與真實值偏離較大；在后續(xù)工作中需重點開展預應力識別抗噪性能研究。