陶保全，郭祥帥，李博涵，匡尚奇，李超逸

（長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022）

近年來，X射線超反射鏡已成功應(yīng)用于X射線天文學(xué)、光譜學(xué)和同步輻射等相關(guān)研究領(lǐng)域。X射線超反射鏡是一種非周期的多層膜，其膜系的各個(gè)膜層具有不同幾何厚度，可以使不同入射角度或入射能量的X射線在膜系各層獲得不同的反射，通過相干疊加獲得反射平臺(tái)。與傳統(tǒng)等周期多層膜構(gòu)成的光學(xué)元件相比，X射線超反射鏡具有更寬、更平坦的反射平臺(tái)，能增加掠入射光學(xué)系統(tǒng)的掠入射角或擴(kuò)展其能量工作范圍，可用于星載X射線望遠(yuǎn)鏡、同步輻射裝置和X射線顯微成像等等，并可顯著地提升這些裝備的性能［1-2］。2000年以來，X射線超反射鏡的設(shè)計(jì)方法主要有三種：經(jīng)驗(yàn)公式的解析方法［3］、解析加數(shù)值優(yōu)化的方法［4-6］和全數(shù)值計(jì)算方法。前兩種方法設(shè)計(jì)的膜系，反射平臺(tái)通常有比較大的振蕩，但受當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)性能和算法的限制，最后一種方法應(yīng)用較少。近幾年，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，完全基于優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)方法開始被廣泛使用［7-10］，計(jì)算所需的時(shí)間與計(jì)算量變得越來越能夠接受，各種優(yōu)化算法的出現(xiàn)極大地提升了超反射鏡設(shè)計(jì)的光學(xué)性能。

雖然X射線多層膜系統(tǒng)的設(shè)計(jì)在光學(xué)性能方面取得了成功，但在實(shí)際制作中仍存在問題。相比用于可見光波段的多層膜，X射線超反射鏡的膜層厚度薄約100倍，膜層數(shù)多約10倍［11］，即各膜層的厚度都非常薄，通常只有幾納米，并且膜系結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜，這使得超反射鏡的膜層厚度控制在實(shí)際制備中并非易事，極小的鍍膜誤差都會(huì)造成反射性能嚴(yán)重退化，因此極高的膜厚控制要求使得只有少數(shù)高水平機(jī)構(gòu)能夠制造。此時(shí)，光學(xué)性能不再是多層膜設(shè)計(jì)的唯一追求，還應(yīng)該引入薄膜實(shí)際可鍍性的主動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)思想，將膜系對膜厚誤差的靈敏度加以優(yōu)化和控制。

對此，多目標(biāo)優(yōu)化算法有希望獲得掠入射X射線反射性能優(yōu)秀并且對膜厚誤差敏感度更低的魯棒性超反射鏡設(shè)計(jì)。此前的魯棒性設(shè)計(jì)研究在正入射極紫外多層膜系統(tǒng)中進(jìn)行了一些嘗試［12-14］。然而，對于波長更短的X射線，掠入射X射線多層膜的魯棒性設(shè)計(jì)與之前的設(shè)計(jì)不同。在以往的多層膜設(shè)計(jì)中，默認(rèn)入射光為不發(fā)散的平行入射光。而在掠入射反射的X射線多層膜反射鏡設(shè)計(jì)中，入射光的發(fā)散角對超反射鏡反射率的影響不可忽視，需要在反射率計(jì)算過程中加以考慮。X射線超反射鏡魯棒性膜系的設(shè)計(jì)方法基于非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ），這是一種基于Pareto最優(yōu)解的多目標(biāo)優(yōu)化算法［15-16］。以X射線多層膜常用的W和C作為膜層設(shè)計(jì)的材料對設(shè)計(jì)魯棒性X射線超反射鏡，并與基于傳統(tǒng)方法的膜系設(shè)計(jì)進(jìn)行對比，研究結(jié)果證明魯棒性設(shè)計(jì)方法在提升超反射鏡的可制備性、降低其光譜性能退化方面具有獨(dú)特優(yōu)勢。

1 設(shè)計(jì)方法

特征矩陣法是計(jì)算多層膜系統(tǒng)反射率的一種常用方法，同時(shí)由于反射率對界面粗糙度非常敏感，在模擬中考慮了界面粗糙度對反射率的影響。計(jì)算光學(xué)常數(shù)的原子散射因子數(shù)據(jù)從文獻(xiàn)［17］中獲得，多層膜系統(tǒng)反射率計(jì)算的具體細(xì)節(jié)可參見文獻(xiàn)［12，18，19］，多層膜表面反射率用R表示。在實(shí)際情況中，掠入射到超反射鏡的X射線具有一個(gè)發(fā)散角，實(shí)際測得的反射率為反射率和光強(qiáng)分布函數(shù)的卷積［20］。因此，在模擬中將算得的反射率修改為R'（θ0），其表示為：

其中，θ0為掠入射角；θmin和 θmax為發(fā)散角 θ的邊界。描述X射線掠入射光強(qiáng)分布的函數(shù)G（θ）呈正態(tài)分布，可表示為：

其中，?θ=0.18 mrad。在這里，給出多層膜設(shè)計(jì)的兩個(gè)評價(jià)函數(shù)。首先給出多層膜反射率的評價(jià)函數(shù)：

其中，R'和R0分別為所設(shè)計(jì)多層膜的計(jì)算反射率和目標(biāo)反射率。評價(jià)函數(shù)f1為計(jì)算得到的反射率與需求的反射率差的平方和，根據(jù)多層膜膜系厚度誤差對光學(xué)性能影響的推導(dǎo)［21-22］，給出魯棒性評價(jià)函數(shù)：

其中，di和δi分別為第i層膜的厚度和膜厚誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；i是從基底向入射介質(zhì)計(jì)數(shù)的膜層編號(hào)；m是多層膜的膜層總數(shù)。f2評價(jià)了膜系反射性能對膜厚誤差的靈敏度。將f1和f2作為NS‐GA-Ⅱ算法兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的評價(jià)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

在X射線波段，所有材料都具有較強(qiáng)的吸收，所以過多的膜層對并不能明顯提高X射線超反射鏡的反射率，并且由于鍍膜工藝限制，不能無限地增加膜層數(shù)。因此將W/C材料對的數(shù)量設(shè)為 30對，膜系結(jié)構(gòu)為 Sub/［W/C］30，其中 Sub代表基底。設(shè)超反射鏡基底、最外層、中間層的界面粗糙度均方根值分別為0.1 nm、0.5 nm和0.3 nm。為避免不同膜層之間界面屬性因膜層幾何厚度變化過大而發(fā)生改變，算法搜索多層膜中各個(gè)膜層的厚度范圍被設(shè)定在2～6 nm內(nèi)。NSGA-Ⅱ算法的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為100；進(jìn)化代數(shù)為10 000；交叉概率Pc=1.0；變異概率Pm=1/30；交叉和變異的分布指數(shù)分別為ηc=1、ηm=1。

2 結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證魯棒性超反射鏡設(shè)計(jì)方法的效果，分別設(shè)計(jì)了具有掠入射角度和能量帶寬的X射線超反射鏡。

2.1 寬角度超反射鏡設(shè)計(jì)

在掠入射角度帶寬的超反射鏡設(shè)計(jì)中，設(shè)入射光線為Cu Kα射線（8 keV），掠入射角的角度帶寬為［0.9°，1.1°］，目標(biāo)反射率R0=20%。圖1展示的是不同進(jìn)化代數(shù)時(shí)NSGA-II算法獲得的非支配解，橫縱坐標(biāo)分別為反射率評價(jià)函數(shù)f1和魯棒性評價(jià)函數(shù)f2。作為與魯棒性設(shè)計(jì)進(jìn)行對比的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)代表，使用遺傳算法（GA）只優(yōu)化評價(jià)函數(shù)f1得到了膜系設(shè)計(jì)，命名為GA設(shè)計(jì)。為了便于比較，將單目標(biāo)優(yōu)化的GA設(shè)計(jì)在魯棒性設(shè)計(jì)雙目標(biāo)評價(jià)函數(shù)空間上的位置也進(jìn)行了標(biāo)注。魯棒性設(shè)計(jì)的非支配前沿在收斂之前會(huì)有一些解分布較為孤立，但最終得到非支配解的分布較為均勻。非支配解集具有多樣性，一次優(yōu)化設(shè)計(jì)能提供較多可選的設(shè)計(jì)方案，設(shè)計(jì)人員可以根據(jù)需要在其中選擇。隨著優(yōu)化次數(shù)的增加，非支配解逐漸向具有更小評價(jià)函數(shù)值的方向收斂，說明膜系設(shè)計(jì)的反射性能和魯棒性能被同時(shí)優(yōu)化。在非支配前沿中可以看出，兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)之間存在互相限制的關(guān)系，即非支配解某一個(gè)性能較優(yōu)秀的同時(shí)另一性能就會(huì)表現(xiàn)較差，這與此前報(bào)道的極紫外多層膜的研究結(jié)果是一致的［12-13］。單就評價(jià)函數(shù)的值來看，GA設(shè)計(jì)反射性能更優(yōu)秀，但魯棒性很差。在魯棒性設(shè)計(jì)的非支配前沿中，為保證膜系反射性能，選擇其中具有最小評價(jià)函數(shù)f1值的邊界解作為魯棒性設(shè)計(jì)的代表與GA設(shè)計(jì)進(jìn)行對比，并將其命名為NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)。GA設(shè)計(jì)和NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)在圖1中用實(shí)心三角形標(biāo)注。

圖1 在寬角度超反射鏡設(shè)計(jì)中，NSGA-Ⅱ算法不同進(jìn)化代數(shù)所獲得的非支配解

圖2展示了NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)和GA設(shè)計(jì)的膜系結(jié)構(gòu)?？梢钥吹?，兩種設(shè)計(jì)的膜厚分布有著明顯差別，表明反射平臺(tái)平穩(wěn)的膜系設(shè)計(jì)不是唯一的，由于優(yōu)化目標(biāo)不完全相同，最后得到的膜系結(jié)構(gòu)也明顯不同，魯棒性設(shè)計(jì)方法將得到對誤差敏感度更低的膜系。

圖2 寬角度帶寬超反射鏡設(shè)計(jì)中，傳統(tǒng)（GA）設(shè)計(jì)與魯棒（NSGA-Ⅱ）設(shè)計(jì)的膜系結(jié)構(gòu)

造成膜厚誤差的原因有很多，如監(jiān)測方法的誤差、腔體清潔度、基底溫度等，所以膜厚誤差是隨機(jī)的，其分布可以用正態(tài)分布來描述。在設(shè)計(jì)中，設(shè)多層膜系統(tǒng)中的每一層的厚度誤差互不相關(guān)，數(shù)學(xué)期望為零，誤差的標(biāo)準(zhǔn)差δi=0.1 nm。為了分析引入膜厚誤差后超反射鏡設(shè)計(jì)的反射平臺(tái)偏差，用下面的公式計(jì)算期望反射及其標(biāo)準(zhǔn)差通道：

其中，di，dj和δi，δj分別為第i和第j層膜的幾何厚度和厚度誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；R'+M△R'為反射光譜的數(shù)學(xué)期望；R'+M△R'±S△R'為反射光譜的標(biāo)準(zhǔn)差通道。

圖3為X射線寬角度超反射鏡的NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)和GA設(shè)計(jì)在未引入膜厚誤差的理想情況下膜系結(jié)構(gòu)反演得到的反射率光譜。由于多層膜系統(tǒng)的膜厚分布不同導(dǎo)致在目標(biāo)帶寬范圍外反射率存在不同，但在目標(biāo)角度帶寬內(nèi)兩種設(shè)計(jì)的反射率穩(wěn)定保持在20%，反射光譜平臺(tái)平滑，波動(dòng)性很小。雖然NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)評價(jià)函數(shù)f1的值略遜于GA設(shè)計(jì)，但它的反射性能可以滿足需求。需要注意的是，這只是未引入膜厚誤差的理想狀態(tài)下的反射率光譜，實(shí)際制造將不可避免的產(chǎn)生誤差，因此更該關(guān)注超反射鏡實(shí)際可能出現(xiàn)的反射光譜。引入膜厚隨機(jī)誤差后GA設(shè)計(jì)和NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)的期望反射光譜R'+M△R'及其標(biāo)準(zhǔn)差通道R'+M△R'+S△R'如圖4所示。標(biāo)準(zhǔn)差通道R'+M△R'+S△R'兩條曲線之間區(qū)域是超反射鏡在引入膜厚隨機(jī)誤差后反射平臺(tái)的分布范圍。標(biāo)準(zhǔn)差通道越窄，說明膜厚誤差導(dǎo)致的反射光譜波動(dòng)越小。可以看出，在大部分角度帶寬內(nèi)，NSGA-II設(shè)計(jì)的反射平臺(tái)對膜厚誤差的敏感度比GA設(shè)計(jì)更低，NSGA-II設(shè)計(jì)膜系的光學(xué)性能受膜厚隨機(jī)誤差影響較小，鍍膜風(fēng)險(xiǎn)較低。

圖3 在寬角度超反射鏡設(shè)計(jì)中，GA設(shè)計(jì)與NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)的理論反射光譜

圖4 在寬角度超反射鏡設(shè)計(jì)中，GA設(shè)計(jì)與NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)的期望反射光譜及其標(biāo)準(zhǔn)差通道

2.2 寬能帶超反射鏡設(shè)計(jì)

如果式（3）中代表入射角度的“θ0”替換成代表射線能量的”λ”。評價(jià)函數(shù)f1和f2可設(shè)計(jì)具有寬能量帶寬的X射線超反射鏡魯棒性膜系，式（3）修改為：

設(shè)超反射鏡的能量帶寬為18.5～21.5 keV，掠入射角為0.5°，目標(biāo)反射率R0=20%。NSGA-II算法獲得的非支配解如圖5所示，寬能量帶寬超反射鏡設(shè)計(jì)的結(jié)果收斂較寬角度超反射鏡更慢。寬角度超反射鏡設(shè)計(jì)中涉及的光學(xué)常數(shù)較少，非支配前沿在大約6 000代時(shí)開始收斂，收斂較快；而寬能帶超反射鏡設(shè)計(jì)涉及使用較多的光學(xué)常數(shù)，使得非支配前沿收斂較晚，在大約8 000代開始收斂，并且寬能帶超反射鏡設(shè)計(jì)的非支配前沿分布比寬角度設(shè)計(jì)更均勻。寬能帶帶寬超反射鏡設(shè)計(jì)中，NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)的選取策略與寬角度設(shè)計(jì)相同。圖6展示了NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)和GA設(shè)計(jì)的膜系結(jié)構(gòu)，可以看出，NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)與GA設(shè)計(jì)的各膜層厚度明顯不同。即使是在目標(biāo)帶寬之外，這兩種設(shè)計(jì)的反射率曲線都很相似，NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)和GA設(shè)計(jì)未引入膜厚誤差時(shí)膜系結(jié)構(gòu)反演得到的反射率光譜如圖7所示。這進(jìn)一步印證了魯棒性設(shè)計(jì)方法得到低膜厚誤差敏感度膜系設(shè)計(jì)的可行性。

圖5 在寬能帶X射線超反射鏡設(shè)計(jì)中，NSGA-Ⅱ算法不同進(jìn)化代數(shù)所獲得的非支配解

圖6 寬能帶超反射鏡設(shè)計(jì)中，傳統(tǒng)（GA）設(shè)計(jì)與魯棒（NSGA-Ⅱ）設(shè)計(jì)的膜系結(jié)構(gòu)

圖7 寬能帶X射線超反射鏡設(shè)計(jì)中GA設(shè)計(jì)與NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)的理論反射光譜

將式（5）和式（6）中的符號(hào)“θ0”替換為“λ”，可以得到寬能量帶寬X射線超反射鏡設(shè)計(jì)期望反射光譜及其標(biāo)準(zhǔn)差通道，如圖8所示。在引入膜厚隨機(jī)誤差后，NSGA-II設(shè)計(jì)的反射率標(biāo)準(zhǔn)差通道幾乎全部包含在GA設(shè)計(jì)的偏差范圍中，也就是說，魯棒性設(shè)計(jì)方法能將膜厚誤差造成的反射帶偏差控制在一個(gè)更小的范圍之內(nèi)。對比分析表明，寬能帶X射線超反射鏡的魯棒性設(shè)計(jì)效果優(yōu)于寬角度設(shè)計(jì)，這是由于寬能帶X射線超反射鏡設(shè)計(jì)兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)之間的約束關(guān)系較弱造成的。魯棒性膜系設(shè)計(jì)的膜厚誤差敏感度控制效果比較理想，這將提升超反射鏡的實(shí)際可制備性能。證明基于NSGA-II的超反射鏡魯棒性設(shè)計(jì)方法是一種可行的方法，具有很好的應(yīng)用前景。

圖8 寬能帶X射線超反射鏡設(shè)計(jì)中GA設(shè)計(jì)與NSGA-Ⅱ設(shè)計(jì)的期望反射光譜及其標(biāo)準(zhǔn)差通道

3 結(jié)論

角度帶寬和能量帶寬的超反射鏡設(shè)計(jì)結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)的單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，基于NSGA-Ⅱ算法的魯棒性X射線超反射鏡設(shè)計(jì)方法在滿足反射性能要求的同時(shí)顯著降低了超反射鏡對膜厚隨機(jī)誤差的敏感程度，這將有助于減小超反射鏡制造過程隨機(jī)膜厚誤差造成的反射帶偏差。在設(shè)計(jì)中考慮發(fā)散角對超反鏡反射率的影響，對于掠入射X射線多層膜反射鏡的設(shè)計(jì)來說非常重要，這更符合硬X射線光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求?；诙嗄繕?biāo)優(yōu)化算法的魯棒性多層膜膜系設(shè)計(jì)方法由于其在光學(xué)性能和制造上的綜合優(yōu)勢，展現(xiàn)出很大的應(yīng)用價(jià)值，在推廣高質(zhì)量X射線多層膜制備方面有較大潛力。