王建鋒 張照震 李平

（1.長(zhǎng)安大學(xué)，西安710064；2.陜西省道路交通智能檢測(cè)與裝備工程技術(shù)研究中心，西安710064）

主題詞：荷電狀態(tài) 擴(kuò)展卡爾曼濾波 加權(quán)自適應(yīng)遞推最小二乘法 鋰離子電池

1 前言

鋰離子電池荷電狀態(tài)（State Of Charge，SOC）估計(jì)已成為電動(dòng)汽車的關(guān)鍵技術(shù)之一。安時(shí)積分法是目前使用最廣泛的SOC 估計(jì)方法，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算難度小，缺點(diǎn)是屬于開環(huán)計(jì)算，并且對(duì)初始SOC 敏感，實(shí)際應(yīng)用中的隨機(jī)干擾等會(huì)導(dǎo)致誤差隨著時(shí)間累積，影響估計(jì)精度[1]。

為了提高估計(jì)精度，有學(xué)者采用卡爾曼濾波算法進(jìn)行SOC 估計(jì)，傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法針對(duì)線性系統(tǒng)較優(yōu)，而動(dòng)力電池具有較強(qiáng)的非線性特性，因此有學(xué)者提出了能夠處理動(dòng)力電池非線性特性的卡爾曼濾波衍生算法。文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[3]提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）方法，該方法將非線性函數(shù)按照泰勒級(jí)數(shù)展開，取一次項(xiàng)進(jìn)行卡爾曼濾波，其缺點(diǎn)是對(duì)具有較強(qiáng)非線性的系統(tǒng)誤差較大。為了提高EKF的估計(jì)精度，有學(xué)者提出了基于自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波（Adaptive Extended Kalman Filter，AEKF）的SOC 估計(jì)方法，該方法在SOC初值不精確的情況下仍有較高的估計(jì)精度，但該方法的魯棒性沒有得到有效驗(yàn)證。文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[5]利用AEKF 和遞推最小二乘法（Recursive Least Square，RLS）估計(jì)開路電壓（Open-Circuit Voltage，OCV），利用試驗(yàn)建立OCV-SOC 對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)SOC估計(jì)，結(jié)果表明，該方法有一定的準(zhǔn)確性和可靠性，但其估算精度會(huì)受電池工況或電池老化等因素的影響而降低。文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]在無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法的基礎(chǔ)上提出改進(jìn)方法進(jìn)行SOC估計(jì)，但其估計(jì)精度不高，誤差在5%左右。文獻(xiàn)[8]利用基于遺忘因子的遞推最小二乘法（Recursive Least Square Method of Forgetting Factor，F(xiàn)FRLS）進(jìn)行等效電池模型參數(shù)識(shí)別，采用容積卡爾曼濾波進(jìn)行SOC 估計(jì)，結(jié)果表明，該方法有較好的估計(jì)精度，但對(duì)噪聲較敏感。

由于電池的內(nèi)阻、極化電阻、電容都會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化，為了提高估計(jì)的精度，本文將加權(quán)自適應(yīng)遞推最小二乘法參數(shù)估計(jì)與擴(kuò)展卡爾曼濾波相結(jié)合實(shí)現(xiàn)鋰離子電池SOC的精確估計(jì)。

2 鋰離子電池建模與參數(shù)辨識(shí)

2.1 SOC的定義

動(dòng)力電池SOC 定義為剩余可用容量與電池最大可用容量的比值，放電時(shí)動(dòng)力電池的SOC定義為：

式中，ic為放電電流；QN為電池額定容量。

將式（1）表示成離散的形式：

式中，z(k)為第k個(gè)采樣點(diǎn)的電池SOC；Δt為采樣點(diǎn)k與(k+1)間的時(shí)間間隔。

2.2 電池模型的建立

利用戴維寧模型可建立表征電池充放電特性的一階電路模型，但電池本身為非線性系統(tǒng)，不可能完全由線性模型等效。因此，在戴維寧等效電路的基礎(chǔ)上再添加1個(gè)電阻-電容（R-C）回路，將電池模型表示為由1個(gè)歐姆內(nèi)阻與2 個(gè)R-C 回路組成的二階R-C 回路結(jié)構(gòu)[9]。該二階模型較一階模型有更高的動(dòng)態(tài)性能，并且將電池極化問題中的電化學(xué)極化和濃差極化分開等效，精度更高[8,10]。本文建立的二階R-C等效電路模型如圖1所示。

圖1 二階RC等效電路模型

圖1 中，Uoc為電池的開路電壓，U(t)為電池的端電壓，I(t)為電池充放電電流，R0為電池內(nèi)阻，R1、R2為極化電阻，C1、C2為極化電容[9]。U(t)和I(t)是可以通過傳感器直接測(cè)量得到的觀測(cè)量，該電路模型的具體關(guān)系為：

式中，U1、U2分別為2 個(gè)R-C 回路的電壓；z(t)為t時(shí)刻的SOC；f()為Uoc與z(t)的映射關(guān)系。

由式（1）和式（2）可得到電池模型的狀態(tài)方程為：

式中，τ1=R1C1、τ2=R2C2分別為2個(gè)R-C回路的時(shí)間常數(shù)；η為庫倫效率；T為采樣周期；z(kT)、i(kT)、U1(kT)、U2(kT)分別為第k個(gè)采樣時(shí)刻的SOC、充放電電流以及第1個(gè)、第2個(gè)R-C回路的電壓。

電池模型的觀測(cè)方程為：

式中，U(kT)為第k個(gè)采樣時(shí)刻的端電壓。

2.3 基于加權(quán)自適應(yīng)遞推最小二乘法的參數(shù)在線辨識(shí)

在二階RC 等效模型中，開路電壓能很好地跟蹤鋰離子電池的荷電狀態(tài)，通過SOC-OCV 曲線可以得到荷電狀態(tài)與開路電壓之間的非線性關(guān)系。

該非線性關(guān)系可通過試驗(yàn)獲得。具體步驟為：保持25 ℃的環(huán)境溫度，使電池以0.2 C的電流速率連續(xù)放電/充電，容量發(fā)生0.1倍變化時(shí)停止放電/充電，靜置10 min，循環(huán)該過程，直至電壓達(dá)到充/放電截止電壓[8,10]。

本文針對(duì)單體鋰離子電池開展試驗(yàn)，分別記錄充電和放電時(shí)的SOC 與開路電壓，將充電和放電時(shí)相同SOC 下的開路電壓的平均值作為最終值，擬合電池SOC-OCV 的非線性關(guān)系。該曲線的多項(xiàng)式擬合次數(shù)選為6～9次較為合適。當(dāng)次數(shù)少時(shí)，曲線細(xì)節(jié)不能很好處理，精度較差，當(dāng)次數(shù)過多時(shí)會(huì)出現(xiàn)過擬合的問題，本文經(jīng)過多次試驗(yàn)，采用8次擬合，試驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 鋰離子電池SOC-OCV試驗(yàn)結(jié)果

擬合出的8次多項(xiàng)式方程為：

得到SOC-OCV 關(guān)系后，采用加權(quán)自適應(yīng)最小二乘法對(duì)所建立電池等效模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，流程如下：

對(duì)式（3）進(jìn)行拉普拉斯變換：

以開路電壓與端電壓拉普拉斯變換的差(Uoc(s)-U(s))作為輸入，充放電電流的拉普拉斯變換I(s)作為輸出，則該模型的傳遞函數(shù)為：

參數(shù)辨識(shí)是基于離散采樣數(shù)據(jù)的，所以對(duì)式（8）按照式（9）進(jìn)行雙線性變換：

式中，Z=eTs為Z 變換算子；T為采樣周期；s為拉普拉斯變換算子。

得到模型離散傳遞函數(shù)為：

將式（10）寫成差分方程的形式為：

式中，a1～a5為待定系數(shù)；y(k)為第k個(gè)采樣時(shí)刻開路電壓與端電壓的差。

為了表示方便，將式（11）寫成向量形式：

將式（12）寫成矩陣的形式，并且采用遞推最小二乘法，以殘差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，可得遞推方程為：

遞推最小二乘法通過周期性參數(shù)校正和更新來降低應(yīng)用環(huán)境不確定對(duì)系統(tǒng)模型及模型參數(shù)的影響，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)實(shí)時(shí)特性的精確獲取。然而，對(duì)于持續(xù)緩慢變化的系統(tǒng)，該方法很難實(shí)現(xiàn)參數(shù)的精確估計(jì)。因此，本文采用加權(quán)自適應(yīng)遞推最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，引入自適應(yīng)加權(quán)因子調(diào)整遞推模型對(duì)舊數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的置信比例，從而實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的精確估計(jì)[8,11-12]。

加權(quán)自適應(yīng)遞推方程為：

式中，λ(k)為自適應(yīng)加權(quán)因子；l、r為加權(quán)調(diào)節(jié)系數(shù)，根據(jù)估計(jì)誤差進(jìn)行調(diào)節(jié)，當(dāng)誤差變大時(shí)，減小加權(quán)因子，誤差變小時(shí)，增大加權(quán)因子。

求解式（15）可以得到鋰離子電池的等效模型，利用該模型，采用不同的估算方法可以進(jìn)行電池SOC等參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。

3 聯(lián)合算法SOC在線估計(jì)

3.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波

卡爾曼濾波給出了線性和高斯條件下濾波問題的最優(yōu)解，但動(dòng)力電池具有非線性特性。解決非線性濾波問題的最優(yōu)方案需要得到其條件后驗(yàn)概率的完整描述，然而這種精確的描述需要無盡的參數(shù)，從而無法實(shí)際應(yīng)用。為此，學(xué)者們提出了大量次優(yōu)的近似方法。擴(kuò)展卡爾曼濾波就是將非線性系統(tǒng)線性化進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的方法。通過對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開，略去高次項(xiàng)，用一次項(xiàng)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行近似，然后利用卡爾曼濾波方法進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)[13]。

狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為：

其中，xk為系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)變量；yk為系統(tǒng)k時(shí)刻的輸出值；wk為狀態(tài)噪聲；vk為觀測(cè)噪聲；uk為觀測(cè)值。

將非線性函數(shù)f(xk,uk)和g(xk,uk)在估計(jì)點(diǎn)處按照Taylor級(jí)展開，略去高次項(xiàng)，保留一次項(xiàng)，則有：

將式（17）寫成離散形式：

根據(jù)擴(kuò)展卡爾曼濾波原理，將式（18）對(duì)照模型式（4），可以得到基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的電池SOC 估計(jì)的求解方程為：

按照式（19）進(jìn)行卡爾曼濾波遞推即可估算SOC值。

3.2 聯(lián)合算法原理

由于電池的內(nèi)阻、極化電阻、電容都會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化，為了提高估計(jì)的精度，需要在線估計(jì)電池的參數(shù)和狀態(tài)，本文將加權(quán)自適應(yīng)遞推最小二乘法參數(shù)估計(jì)與擴(kuò)展卡爾曼濾波相結(jié)合進(jìn)行電池SOC的精確估計(jì)，算法流程如圖3所示。

圖3 聯(lián)合算法流程

首先，在初始靜止?fàn)顟B(tài)下測(cè)量電池端電壓，根據(jù)OCV-SOC曲線得到初始z值。利用某時(shí)刻的電壓、電流和e(z)通過加權(quán)自適應(yīng)最小二乘法辨識(shí)電池模型參數(shù)，將參數(shù)代入擴(kuò)展卡爾曼濾波器中計(jì)算該時(shí)刻的SOC 最優(yōu)估計(jì)值，利用OCV-SOC 曲線得到此時(shí)刻的e(z)。然后，利用不同時(shí)刻的電壓、電流和e(z)重復(fù)以上操作計(jì)算各時(shí)刻的估計(jì)值。通過該聯(lián)合估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)電池模型參數(shù)辨識(shí)及電池荷電狀態(tài)的精確估計(jì)。

4 仿真驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證本文算法的估計(jì)性能，利用本文鋰離子電池模型設(shè)計(jì)仿真測(cè)試，測(cè)試中的電流和SOC值如圖4所示。

圖4 仿真測(cè)試數(shù)據(jù)

利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法分別進(jìn)行基于EKF、FFRLS 和ARWEKF 的SOC 估計(jì)的仿真對(duì)比，估計(jì)結(jié)果如圖5所示，誤差如圖6所示。

圖5 模擬仿真SOC估計(jì)結(jié)果

圖6 模擬仿真SOC估計(jì)誤差

從圖5、圖6中可以看出，在模擬工況下，3種算法的估計(jì)值都能精確地跟隨真實(shí)值，ARWEKF 算法的穩(wěn)定性更好、誤差更小，具體指標(biāo)對(duì)比情況如表1所示。

表1 模擬仿真3種算法估計(jì)結(jié)果對(duì)比 %

由表1 分析可知，ARWEKF 算法比EKF 算法和FFRLS 的估計(jì)精度更高。ARWEKF 算法在SOC 估計(jì)中的平均絕對(duì)誤差和均方根誤差值均小于0.5%，最大絕對(duì)誤差值小于1.4%。

5 試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

5.1 靜態(tài)工況試驗(yàn)

本文采用Neware Bts 動(dòng)力電池測(cè)試平臺(tái)，如圖7所示，該平臺(tái)是融合了NEWARE 新技術(shù)的動(dòng)力電池測(cè)試系統(tǒng)，主要用于動(dòng)力電池的循環(huán)壽命測(cè)試、倍率充放電測(cè)試、脈沖充放電測(cè)試、直流內(nèi)阻（Direct Current Internal Resistance，DCIR）測(cè)試，可實(shí)現(xiàn)單工步設(shè)置記錄條件和保護(hù)條件。

圖7 Neware Bts動(dòng)力電池測(cè)試平臺(tái)

將測(cè)試儀與電池連接后，根據(jù)選定工況建立好工步文件，通過測(cè)試儀作用到電池上，傳感器將數(shù)據(jù)通過網(wǎng)絡(luò)接口傳輸?shù)缴衔粰C(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)顯示和存儲(chǔ)。試驗(yàn)過程為：將挑選的通過測(cè)試的新電池先靜置1 h，然后以1/3 C的電流完全放電，靜置1 h，采用恒壓充電方式充滿電池，再靜置3 h后以如圖4所示的1 C電流放電，當(dāng)電池電壓達(dá)到截止電壓時(shí)停止試驗(yàn)。數(shù)據(jù)的采樣頻率為1 Hz，通過電流積分獲得SOC的實(shí)際值，試驗(yàn)中放電電流如圖8所示。

圖8 靜態(tài)工況放電電流

采用不同的方法按照本文建立的模型進(jìn)行電池SOC 估計(jì)。EKF 算法、FFRLS 和本文提出的ARWEKF算法對(duì)電池SOC估計(jì)的結(jié)果如圖9所示。圖9中的觀測(cè)值利用安時(shí)積分法獲得。3 種算法SOC 估計(jì)值與觀測(cè)值之間的誤差如圖10所示。

圖9 靜態(tài)試驗(yàn)SOC估計(jì)結(jié)果

圖10 靜態(tài)試驗(yàn)SOC估計(jì)誤差

從圖9、圖10 中可以看出，在靜態(tài)工況下，3 種算法的估計(jì)值都能精確地跟隨真實(shí)值，ARWEKF 算法的穩(wěn)定性更好、誤差更小，3 種算法的具體指標(biāo)對(duì)比情況如表2所示。

表2 靜態(tài)工況下3種算法估計(jì)結(jié)果對(duì)比 %

從表2 分析可知，ARWEKF 算法比EKF 算法和FFRLS 的估計(jì)精度更高。ARWEKF 算法在SOC 估計(jì)中的平均絕對(duì)誤差和均方根誤差值均小于0.3%，最大絕對(duì)誤差值小于0.7%。

5.2 動(dòng)態(tài)工況試驗(yàn)

聯(lián)邦城市運(yùn)行工況（The Federal Urban Driving Schedule，F(xiàn)UDS）是用于測(cè)試動(dòng)力電池應(yīng)對(duì)電流急劇變化響應(yīng)的一種工況，每個(gè)周期包含1 372 s 內(nèi)的劇烈變化序列。在20 ℃下對(duì)電池進(jìn)行FUDS工況試驗(yàn)，測(cè)試平臺(tái)采用Neware Bts動(dòng)力電池測(cè)試平臺(tái)，該工況下的放電電流如圖11所示。

圖11 動(dòng)態(tài)工況放電電流

采用不同的方法按照本文建立的模型進(jìn)行電池的SOC估計(jì)，結(jié)果如圖12所示，估計(jì)誤差如圖13所示。

圖12 動(dòng)態(tài)試驗(yàn)SOC估計(jì)結(jié)果

圖13 動(dòng)態(tài)試驗(yàn)SOC估計(jì)誤差

從圖12、圖13中可以看出，在動(dòng)態(tài)工況下，3種算法的估計(jì)值雖能有效地跟隨真實(shí)值，但隨真值的波動(dòng)較靜態(tài)工況的波動(dòng)大，3 種算法的具體指標(biāo)對(duì)比情況如表3所示。

從表3分析可知，ARWEKF算法明顯優(yōu)于EKF算法和FFRLS算法。ARWEKF算法在SOC估計(jì)中的平均絕對(duì)誤差和均方根誤差值均小于0.6%，最大絕對(duì)誤差值小于1.9%。

表3 動(dòng)態(tài)工況下3種算法估計(jì)結(jié)果對(duì)比 %

6 結(jié)束語

為了提高鋰離子動(dòng)力電池SOC動(dòng)態(tài)估計(jì)的精度，本文提出了基于加權(quán)自適應(yīng)遞最小二乘法與擴(kuò)展卡爾曼的鋰離子電池SOC估計(jì)方法。試驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的方法具有較高的精確性和良好的魯棒性，能夠?yàn)閷?shí)際工程應(yīng)用中的SOC估計(jì)提供可靠依據(jù)。