謝 謙

（商洛學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，商洛726000）

粘滯系數(shù)是表征流體性質(zhì)的重要物理量，在現(xiàn)行的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，對(duì)液體的粘滯系數(shù)描述較多，而對(duì)氣體的粘滯系數(shù)涉及甚少[1]。這是因?yàn)闅怏w的粘滯系數(shù)較液體小得多，而且隨溫度變化不明顯，從而給測(cè)量帶來(lái)了一定的難度，特別是氣體溫度和壓強(qiáng)較大時(shí)更是如此[2-3]。目前有通過(guò)動(dòng)力學(xué)方法[4-5]測(cè)定氣體的粘滯系數(shù)，但氣體種類僅限于空氣。如何設(shè)計(jì)出一種較好的裝置，通過(guò)測(cè)量一些宏觀量而不是微觀量[6-8]，從而簡(jiǎn)便地求出氣體的粘滯系數(shù)，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。由于氣體本身的特性，如流動(dòng)性好、可壓縮性好等，因此，本文用來(lái)測(cè)量氣體（以CO2為例）粘滯系數(shù)的方法，即用燒瓶?jī)?nèi)的氣體沿水平細(xì)圓管排氣的實(shí)驗(yàn)裝置，正是根據(jù)氣體流動(dòng)性好這一特點(diǎn)，推導(dǎo)出氣體粘滯系數(shù)的理論公式，測(cè)出相關(guān)宏觀物理量，代入公式就可以計(jì)算出粘滯系數(shù)。設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)對(duì)CO2氣體的粘滯系數(shù)進(jìn)行了測(cè)量并分析結(jié)果，表明了該方法具有較高的測(cè)量精度。

1 模型設(shè)計(jì)與建立

1.1 模型設(shè)計(jì)

如圖1所示，把待測(cè)氣體充入容積為V0的燒瓶中，使其壓強(qiáng)pb大于外界大氣壓強(qiáng)p0，其溫度則與外界溫度T0一致。燒瓶口外左側(cè)連接一U 型氣壓計(jì)，右側(cè)連接長(zhǎng)為L(zhǎng)、半徑為r 的水平細(xì)圓管與大氣相通。細(xì)管與燒瓶連接處有閥門，先關(guān)閉。打開(kāi)閥門后，瓶?jī)?nèi)氣體經(jīng)細(xì)管向外流出，經(jīng)過(guò)Δt 時(shí)間后再將閥門關(guān)閉，測(cè)出瓶?jī)?nèi)氣體的壓強(qiáng)為pe，由此便可確定該氣體的粘滯系數(shù)η。這整個(gè)過(guò)程中，燒瓶、細(xì)管、外界處處溫度相同且保持不變。

圖1 裝置模型示意圖Fig.1 Diagram of device model

1.2 模型分析

燒瓶?jī)?nèi)的氣體經(jīng)細(xì)管向外流出，氣體粘滯性的大小將影響流出的快慢。在同樣的時(shí)間內(nèi)，η 越大，流出的氣體質(zhì)量應(yīng)越小，及終態(tài)的氣體壓強(qiáng)pe應(yīng)越大。因此，在其他量都確定的前提下，有可能通過(guò)pe的測(cè)量來(lái)確定η 值。本文設(shè)計(jì)的測(cè)量實(shí)驗(yàn)，原則上是可行的。

盡管如此，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的過(guò)程仍相當(dāng)復(fù)雜。這就要求采用一系列大體上符合實(shí)驗(yàn)題型的簡(jiǎn)化假設(shè)和模型，否則理論分析就無(wú)法進(jìn)行,具體分析如下所述。

瓶?jī)?nèi)氣體的體積和溫度不變，隨著氣體從瓶口經(jīng)細(xì)管流出，瓶?jī)?nèi)氣體的質(zhì)量、密度、特別是壓強(qiáng)都將逐漸減少，其變化取決于氣體經(jīng)瓶口流出的體積流量為VQ（單位時(shí)間從瓶口流出的氣體體積）。假設(shè)瓶?jī)?nèi)氣體為理想氣體，利用其狀態(tài)方程可給出瓶?jī)?nèi)氣體壓強(qiáng)的變化與VQ的關(guān)系。

再看水平細(xì)圓管內(nèi)的氣體，與瓶口相連的細(xì)管入口處的氣體壓強(qiáng)就是瓶?jī)?nèi)氣體的壓強(qiáng)p，與大氣相連的細(xì)管出口處的氣體壓強(qiáng)則為大氣壓強(qiáng)p0，可見(jiàn)細(xì)管內(nèi)各處的氣體壓強(qiáng)從而氣體密度是逐漸變化的，這表明細(xì)管內(nèi)氣體具有可壓縮性，否則密度應(yīng)不變。沿細(xì)管取x 軸，取細(xì)管內(nèi)各處氣體的壓強(qiáng)和密度為px和ρx（即假設(shè)細(xì)管內(nèi)任意x 處截面上各點(diǎn)的px相同，ρx相同，忽略壓強(qiáng)和密度沿細(xì)管徑向的變化），對(duì)于細(xì)管內(nèi)從x 到（x+dx）的任一小段而言，正是由于px和px+dx的不同，推動(dòng)了氣體沿細(xì)管流動(dòng)。

流體力學(xué)中的泊肅葉公式[9]確定了粘滯流體通過(guò)細(xì)圓管的流量的公式，它指出，當(dāng)粘滯系數(shù)為η的流體流過(guò)細(xì)圓管時(shí)，每秒流過(guò)細(xì)管中的一圓截面的流體體積為

式中：r 和l 是細(xì)圓管的半徑和長(zhǎng)度；p1-p2是細(xì)管兩端的壓強(qiáng)差。泊肅葉公式適用于不可壓縮的粘滯流體。在本文中，可把它用于細(xì)管中任意dx 小段，即忽略dx 小段氣體的可壓縮性。由此，可把細(xì)管任意x 處的VQ（注意，細(xì)管各處VQ不同，應(yīng)為VQ（x））與前后的壓強(qiáng)p 和p0以及η 聯(lián)系起來(lái)。另外，因細(xì)管很細(xì)并不很長(zhǎng)，可以假設(shè)在每一時(shí)刻管內(nèi)氣體均做穩(wěn)定流動(dòng)，即盡管氣體密度ρx和流量VQ（x）在管內(nèi)處處不同，但質(zhì)量流量ρ（x）VQ（x）卻為常量，與x 無(wú)關(guān)。這樣，便可通過(guò)積分，把瓶口處的VQ（即VQ（0））與細(xì)管兩端氣體的壓強(qiáng)p 和p0以及η 聯(lián)系起來(lái)，這是關(guān)鍵的一步。

2 公式的導(dǎo)出

把以上對(duì)瓶?jī)?nèi)和細(xì)管內(nèi)氣體的討論結(jié)合起來(lái)，即可順利導(dǎo)出公式。

設(shè)瓶?jī)?nèi)氣體為理想氣體。瓶?jī)?nèi)氣體的體積和溫度恒定，分別為V0和T0，任意t 時(shí)刻瓶?jī)?nèi)氣體的壓強(qiáng)、質(zhì)量、密度分別為p，M，ρ，經(jīng)瓶口流出的氣體的體積流量（即單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)瓶口流出的氣體體積）為VQ。由理想氣體狀態(tài)方程：

得出從t 到（t+dt）時(shí)間內(nèi)，氣體質(zhì)量的改變?yōu)?/p>

由VQ定義，氣體流出的質(zhì)量-dM 與VQ的關(guān)系為

由狀態(tài)方程，得：

把式（3）、式（5）代入式（4），得：

式中的VQ=VQ（0），見(jiàn)下文。

如圖2，沿水平細(xì)圓管長(zhǎng)度方向建立x 坐標(biāo)，x=0 處是細(xì)管與瓶口連接處，氣體的壓強(qiáng)為p（即瓶?jī)?nèi)氣體壓強(qiáng)）；x=L 處是細(xì)管與大氣相通處，氣體壓強(qiáng)為p0（即大氣壓強(qiáng)）；任意x 處的氣體壓強(qiáng)為px。由理想氣體狀態(tài)方程，細(xì)管內(nèi)任意x 處的氣體密度ρx為

圖2 水平細(xì)圓管內(nèi)氣體分析Fig.2 Gas analysis in a horizontal fine tube

在細(xì)管內(nèi)任取從x 到（x+dx）的一小段，忽略在此小段內(nèi)氣體的可壓縮性。在此小段內(nèi)氣體流速有徑向分布，管壁附近流速為零，管軸處流速最大。由粘滯流體在水平圓管中流動(dòng)的泊肅葉公式，在管中任意x 處，氣體的體積流量VQ（x）為

因管細(xì)而并不很長(zhǎng)，可以認(rèn)為在每一時(shí)刻管內(nèi)氣體近似作穩(wěn)定流動(dòng)，即氣體的質(zhì)量流量在管內(nèi)處處為常量，故

把式（7）、式（8）代入式（9），得：

積分，得：

式中p 和px分別是x=0 處和x 處的壓強(qiáng)。即：

邊界條件為

代入，得：

由式（8），x=0 處的體積流量為

式（14）的VQ（0）就是式（6）的VQ，把式（14）代入式（6），得：

從初態(tài)t=0，p=pb到終態(tài)t=Δt，p=pe作積分，得：

即：

至此，氣體粘滯系數(shù)公式已全部導(dǎo)出。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)器材

V0=1 L 容積的燒瓶、U 型管氣壓計(jì)、三種內(nèi)徑規(guī)格細(xì)玻璃管、三種長(zhǎng)度規(guī)格細(xì)玻璃管、移測(cè)顯微鏡、停表、直尺、鐵架臺(tái)等。其中，細(xì)管通過(guò)試驗(yàn)比較選擇長(zhǎng)度L=10 cm、內(nèi)徑r=0.050 mm，0.100 mm，0.150 mm 和內(nèi)徑r=0.050 mm、長(zhǎng)度L=10 cm，15 cm，20 cm，總共5 根，其中1 根兩種情況下共用。

3.2 測(cè)量步驟和數(shù)據(jù)

（1）用直尺和移測(cè)顯微鏡，測(cè)量細(xì)管的長(zhǎng)度和內(nèi)徑；

（2）連接好儀器，在燒瓶中充滿CO2，用水銀氣壓計(jì)測(cè)出瓶中氣體初始?jí)簭?qiáng)pb，pb=2.11 atm；

（3）打開(kāi)細(xì)管與燒瓶連接處的閥門，放出氣體，Δt=22 min 后再次讀取水銀氣壓計(jì)的示數(shù)pe，此即為瓶中氣體的末態(tài)壓強(qiáng)；

（4）用同一內(nèi)徑，不同長(zhǎng)度的細(xì)管和同一長(zhǎng)度不同內(nèi)徑的細(xì)管重復(fù)步驟（3），得到比較數(shù)據(jù)；

（5）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（17），即可算出CO2的粘滯系數(shù)η。

由于氣體體積V0及初始?jí)簭?qiáng)pb和放氣時(shí)間Δt對(duì)粘滯系數(shù)之影響很小，所以以上測(cè)量數(shù)據(jù)中V0、pb、Δt 皆不變，影響粘滯系數(shù)的只是細(xì)管的規(guī)格。

3.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

（1）內(nèi)徑r 相同，而長(zhǎng)度L 不同的3 根細(xì)管，粘滯系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值無(wú)明顯差異。

（2）通過(guò)多次測(cè)量可以發(fā)現(xiàn)，大、小內(nèi)徑細(xì)管測(cè)得的氣體粘滯系數(shù)有一定差別，隨著管徑的減小，粘滯系數(shù)有增大的傾向，這可能是由于管徑變小，氣體的流量變小，流動(dòng)性變差的緣故。

（3）兩種情況下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，處理結(jié)果分別為

r=0.050 mm 時(shí)，η1=（1.415±0.005）×10-5Pa·s，

L=10 cm 時(shí)，η2=（1.398±0.013）×10-5Pa·s，

15 ℃時(shí)，CO2的粘滯系數(shù)η0＝1.436×10-5Pa·s，以第一種情況為例，求出其相對(duì)誤差E=×100%＝1.46%

表明該方法測(cè)量精度較高。

（4）從以上結(jié)果可以看出，影響粘滯系數(shù)的主要原因是細(xì)管內(nèi)徑，因此要求管內(nèi)徑不能太小，但內(nèi)徑也不要太大，否則氣體排出過(guò)快，使得終態(tài)壓強(qiáng)和時(shí)間測(cè)量誤差增大。

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)及結(jié)果Tab.1 Measurement data and results of experiment

4 結(jié)語(yǔ)

本文所提供的模型和裝置，不受溫度、壓強(qiáng)等外界條件的影響，該方法取材方便，操作簡(jiǎn)便，可以快速準(zhǔn)確地測(cè)量各種氣體的粘滯系數(shù)，可以使學(xué)生加深對(duì)課本內(nèi)容的理解，獲得啟迪，對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生的綜合實(shí)驗(yàn)技能不失為一個(gè)有意義的設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，具有一定的推廣價(jià)值。