胡建峰，楊軍剛，肖勇，萬(wàn)小平，馮濤，王勇，鄭冰

1. 中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710100 2. 西安嘉業(yè)航空科技有限公司，西安 710089

1 引言

環(huán)形可展開(kāi)天線[1-2](見(jiàn)圖1)以其高收納比、輕質(zhì)量等特點(diǎn)，已成為國(guó)內(nèi)外超大口徑天線研究的主流結(jié)構(gòu)形式。

圖1 環(huán)形可展開(kāi)天線結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Loop antenna sketch map

中間包帶是環(huán)形可展開(kāi)天線的重要組成部分，其功能為實(shí)現(xiàn)環(huán)形可展開(kāi)天線收攏狀態(tài)緊固及展開(kāi)狀態(tài)按指令解鎖釋放，它主要由復(fù)材包帶、根部固定端、逆止回彈機(jī)構(gòu)、拔銷器、金屬接頭等組成，如圖2所示。因中間包帶展開(kāi)過(guò)程與環(huán)形桁架展開(kāi)同步進(jìn)行，且復(fù)材包帶為輕質(zhì)、大柔性部件，地面試驗(yàn)難以模擬在軌零重力展開(kāi)過(guò)程。此外，當(dāng)環(huán)形可展開(kāi)天線口徑增大至30 m及以上時(shí)，反射器同步鉸鏈初始力矩增大，導(dǎo)致桁架預(yù)展速度增大；天線口徑增大導(dǎo)致相應(yīng)復(fù)材帶長(zhǎng)度增大，收攏時(shí)彈性勢(shì)能增大；這兩種因素導(dǎo)致超大口徑環(huán)形天線展開(kāi)過(guò)程中金屬接頭與桁架管件存在很大碰撞風(fēng)險(xiǎn)。因此采用數(shù)值仿真方法對(duì)在軌展開(kāi)真實(shí)情況預(yù)示以及通過(guò)仿真識(shí)別敏感性要素進(jìn)而提高展開(kāi)可靠度具有重要意義。

圖2 中間包帶組成示意Fig.2 The composition of middle flexible belt

在針對(duì)大變形及大范圍運(yùn)動(dòng)柔性部件建模方面，目前主流方向包括絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[3-4]和幾何精確梁理論[5-8]。文獻(xiàn)[9]基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)環(huán)形天線展開(kāi)不同步性進(jìn)行分析，文獻(xiàn)[10]基于幾何精確梁理論對(duì)環(huán)形天線進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模仿真。以上兩種建模方法在計(jì)算效率、解決奇異性、應(yīng)變客觀性、編程實(shí)現(xiàn)等方面各有優(yōu)缺點(diǎn)[11]。在編程方面絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法更易實(shí)現(xiàn)，但在精度和計(jì)算速度方面，幾何精確法更占優(yōu)勢(shì)。

本文針對(duì)30m環(huán)形天線包帶展開(kāi)過(guò)程采用柔性多體動(dòng)力學(xué)理論對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程出現(xiàn)大變形的柔性復(fù)材帶建模、變形較小的金屬部件建模、各部件之間約束建模以及拔銷器爆炸產(chǎn)生的沖擊及復(fù)材包帶和桁架管件接觸建模，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)超大口徑環(huán)形天線柔性包帶展開(kāi)過(guò)程動(dòng)力學(xué)建模。在此基礎(chǔ)上對(duì)桁架預(yù)展速度、復(fù)材帶阻尼率對(duì)復(fù)材帶金屬接頭和周邊桁架最小距離影響分析；考慮在軌極端條件下，逆止回彈機(jī)構(gòu)失效時(shí)金屬接頭和薄壁管件之間碰撞情況進(jìn)行分析。

2 系統(tǒng)描述及動(dòng)力學(xué)建模

2.1 系統(tǒng)描述

天線展開(kāi)時(shí)，中間包帶拔銷器解鎖釋放，復(fù)材包帶在彎曲變形和預(yù)緊力作用儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能作用下以根部固定端為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)復(fù)材包帶根部旋轉(zhuǎn)至固定端限位面時(shí)，因固定端面限位作用，復(fù)材包帶根部無(wú)法繼續(xù)向前旋轉(zhuǎn)，同時(shí)逆止回彈機(jī)構(gòu)作用，包帶根部無(wú)法向后旋轉(zhuǎn)，復(fù)材包帶根部無(wú)法旋轉(zhuǎn)；因復(fù)材包帶柔性較強(qiáng)、長(zhǎng)度較長(zhǎng)原因，依然會(huì)繞根部固定端進(jìn)行回彈；在中間包帶展開(kāi)同時(shí)，環(huán)形桁架在自身驅(qū)動(dòng)鉸鏈作用下逐漸展開(kāi)；環(huán)形桁架和中間包帶同步展開(kāi)過(guò)程如圖3(a)(b)所示。

圖3 環(huán)形桁架和中間包帶同步展開(kāi)過(guò)程示意Fig.3 Synchronous development process of loop truss and middle flexible belt

在柔性多體動(dòng)力學(xué)研究過(guò)程中通常采用第一類拉格朗日方程作為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制方程：

(1)

2.2 金屬部件建模

對(duì)于超大型口徑天線包帶展開(kāi)過(guò)程動(dòng)力學(xué)建模，研究過(guò)程中通常把變形極小的部件固定座和金屬接頭當(dāng)作剛體處理。剛體在三維空間運(yùn)動(dòng)可分解為3個(gè)方向平動(dòng)和3個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，每個(gè)剛體具有6個(gè)自由度。在選取廣義坐標(biāo)方面，采用剛體質(zhì)心位置確定平動(dòng)構(gòu)型；關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)的描述，在文獻(xiàn)[12]中有很多種，本文選用轉(zhuǎn)動(dòng)向量法來(lái)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)向量的定義[12]：轉(zhuǎn)動(dòng)向量φ與轉(zhuǎn)動(dòng)軸a平行，且模與轉(zhuǎn)動(dòng)角相等。轉(zhuǎn)動(dòng)向量φ到旋轉(zhuǎn)矩陣A的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(2)

式中：I為三維單位陣；h1、h2均是轉(zhuǎn)動(dòng)角φ的函數(shù)，

(3)

(4)

其中：

(5)

進(jìn)一步可以證明：

HT=ATH

(6)

最終可以得到：

(7)

考慮到剛體沒(méi)有彈性勢(shì)能項(xiàng)，則式(1)可簡(jiǎn)化為：

(8)

其中q=[riφi]。 式(8)中動(dòng)能表達(dá)式為：

(9)

式中：J為質(zhì)心坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.3 柔性復(fù)材帶建模

柔性包帶展開(kāi)過(guò)程中會(huì)發(fā)生大變形和大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)幾何精確梁理論，任意發(fā)生大變形和大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)的梁?jiǎn)卧浣孛媲示鶠閹缀尉_，因此采用幾何精確量理論對(duì)柔性包帶建模相較于傳統(tǒng)有限元方法建模更為精確。本文采用幾何精確量理論對(duì)柔性包帶建模；建模過(guò)程中，選取梁?jiǎn)卧笥覂啥酥行木€位置r和轉(zhuǎn)動(dòng)向量φ作為廣義坐標(biāo)描述梁?jiǎn)卧獦?gòu)型，如圖4所示。

圖4 柔性梁?jiǎn)卧枋鯢ig.4 Flexible beam element sketch

梁?jiǎn)卧膹V義坐標(biāo)可表示為：

在轉(zhuǎn)動(dòng)向量φ的插值處理方面， 文獻(xiàn)[13]提出在梁?jiǎn)卧獌?nèi)建立一個(gè)參考坐標(biāo)系，并在參考坐標(biāo)系下對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)向量進(jìn)行插值計(jì)算，基于此計(jì)算得到的曲率因?yàn)檎w去掉了參考坐標(biāo)系影響，在任何觀測(cè)坐標(biāo)系均可得到相同曲率。本文對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)向量插值也按此方法進(jìn)行。任意一點(diǎn)相對(duì)參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)向量記為φr。根據(jù)上述，梁?jiǎn)卧獌?nèi)中心線任意一點(diǎn)r、φr有如下表達(dá)：

(10)

式中：ξ∈[0,1]為梁?jiǎn)卧獌?nèi)參數(shù)坐標(biāo)。梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)幽芸杀磉_(dá)為：

(11)

式中：L為梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度；A為單元橫截面積。

梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)菽芸杀磉_(dá)為：

(12)

其中：

γ=ATr′

κ=HTφ′

N=CN(γ-γ0)

M=CM(κ-κ0)

式中：γ為應(yīng)變向量；γ0為初始應(yīng)變向量；κ為曲率向量；κ0為初始曲率向量；N和M分別為截面力和力矩，上述物理量均可用廣義坐標(biāo)表達(dá)；CN和CM為僅和材料及截面特性相關(guān)的本構(gòu)矩陣。

對(duì)于柔性包帶初始預(yù)變形情況，其在預(yù)緊力作用下，整個(gè)包帶會(huì)沿截面方向進(jìn)行一定拉伸。軸向初始拉伸總應(yīng)變量為：

εL0=F/EA

(13)

式中：F為包帶預(yù)緊力；E為楊氏模量。

各單元初始拉伸預(yù)應(yīng)變?yōu)?/NεL0,其中N為柔性梁?jiǎn)卧獢?shù)，包帶收攏時(shí)梁?jiǎn)卧羟邢蛄拷朴诹?，可忽略不?jì)。初始曲率向量κ0可通過(guò)初始姿態(tài)曲率對(duì)弧長(zhǎng)求導(dǎo)獲得。

2.4 桁架建模

周邊桁架在預(yù)展過(guò)程中，和轉(zhuǎn)接臂固連的豎桿固定不動(dòng)，且預(yù)展過(guò)程各個(gè)豎桿從俯視往下看始終保持圓形，如圖5所示。

圖5 預(yù)展過(guò)程桁架展開(kāi)示意Fig.5 The loop truss deploying sketch

考慮到展開(kāi)過(guò)程包帶金屬接頭和橫桿及斜桿不存在碰撞，因此在建模過(guò)程根據(jù)工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，令固定端豎桿坐標(biāo)P0(0,0,0)、反射器遠(yuǎn)端豎桿坐標(biāo)為PN/2(2f(t),0,0)；則任意豎桿任意時(shí)刻位置可表達(dá)為Pi=(f(t)cos (i·θ)+f(t),f(t)sin (i·θ),0)，i為豎桿編號(hào)，θ為各邊圓心角，其中f(t)為任意時(shí)刻圓心運(yùn)動(dòng)方程。任意時(shí)刻豎桿i運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?f(t)cos (i·θ)+f(t),f(t)sin (i·θ),0)。

2.5 約束建模

柔性包帶固定座和豎桿存在固定約束，柔性包帶根部和固定座存在旋轉(zhuǎn)約束；關(guān)于約束部分建?？蓞⒁?jiàn)文獻(xiàn)[14]描述的建模方法。

2.6 接觸碰撞建模

包帶展開(kāi)過(guò)程中，柔性包帶和桁架豎桿存在接觸碰撞，如圖6所示。

圖6 復(fù)材包帶和桁架豎桿接觸示意Fig.6 Contact between composite belt and loop truss vertical bar

本文采用文獻(xiàn)[15]提出的非線性彈簧阻尼模型來(lái)描述碰撞力。在研究過(guò)程中柔性包帶和豎桿的碰撞可以表示為柔性包帶任意單元點(diǎn)是否和豎桿外輪廓曲線發(fā)生嵌入。在非線性阻尼彈簧模型中，碰撞點(diǎn)和碰撞曲線在接觸點(diǎn)處外法向彈力FN可表達(dá)為：

(14)

式中：K為接觸剛度；s為嵌入深度，上標(biāo)e是彈簧非線性指數(shù)；c為阻尼系數(shù)。此外接觸點(diǎn)還存在切向摩擦力Fμ作用，其計(jì)算方法可參看文獻(xiàn)[15-16]。通過(guò)虛位移原理將法向及切向接觸力在廣義坐標(biāo)下進(jìn)行表達(dá)并帶入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制方程組(1)求解。

2.7 沖擊建模

包帶拔銷器解鎖時(shí)，炸藥爆炸在te時(shí)間內(nèi)對(duì)金屬接頭形成Fe的推力。根據(jù)虛位移原理：

(15)

則拔銷器對(duì)金屬接頭推力Fe在廣義坐標(biāo)下可表達(dá)為：

(16)

2.8 逆止回彈機(jī)構(gòu)建模

包帶展開(kāi)過(guò)程中，當(dāng)包帶根部轉(zhuǎn)動(dòng)到極限角度后，包帶固定座會(huì)對(duì)包帶根部產(chǎn)生限位作用，使其無(wú)法繼續(xù)向前轉(zhuǎn)動(dòng)；此時(shí)包帶根部棘輪棘爪裝置作用，使包帶根部無(wú)法向后轉(zhuǎn)動(dòng)。建模過(guò)程中，對(duì)于包帶根部逆止回彈，可以對(duì)根部轉(zhuǎn)動(dòng)角進(jìn)行約束控制：

ωmz=0, ifφmz=θmax

(17)

2.9 小結(jié)

本節(jié)通過(guò)采用幾何精確梁理論對(duì)復(fù)材包帶建模、多剛體動(dòng)力學(xué)理論對(duì)變形極小部件和約束建模、非線性彈簧阻尼模型對(duì)接觸碰撞進(jìn)行描述以及虛位移原理將空間力(力矩)轉(zhuǎn)化為廣義坐標(biāo)下廣義力等方法，利用數(shù)值編程求解多體動(dòng)力學(xué)方程組，實(shí)現(xiàn)30 m環(huán)形天線包帶展開(kāi)過(guò)程動(dòng)力學(xué)仿真。

3 仿真及參數(shù)敏感性分析

通過(guò)上述建模仿真，可以得到30 m環(huán)形天線包帶和桁架同步展開(kāi)過(guò)程，包帶金屬接頭到桁架豎桿最小距離變化曲線，如圖7所示。隨著包帶展開(kāi)，金屬接頭和周邊桁架距離開(kāi)始變大，當(dāng)復(fù)材包帶在回彈時(shí)，距離開(kāi)始變小，直到距離最小；隨后逐漸振蕩直至穩(wěn)定；通過(guò)地面試驗(yàn)和仿真分析，包帶第一次回彈金屬接頭到周邊桁架距離最小。對(duì)于包帶阻尼率0.04、周邊桁架1倍標(biāo)準(zhǔn)速度下，金屬接頭第一次回彈距周邊桁架最小距離為402 mm。

通過(guò)仿真分析發(fā)現(xiàn)，復(fù)材帶阻尼率對(duì)金屬接頭與周邊桁架展開(kāi)過(guò)程最小距離有重要影響，且滿足阻尼率越大，金屬接頭與周邊桁架展開(kāi)過(guò)程最小距離越大，如圖8所示。

圖8 金屬接頭與周邊桁架最小距離和復(fù)材包帶阻尼率變化規(guī)律Fig.8 The minimum distance between metal joint and loop truss changes with the damping rate of belt material

通過(guò)仿真分析，環(huán)形桁架預(yù)展速度對(duì)金屬接頭與周邊桁架展開(kāi)過(guò)程最小距離有重要影響；且滿足如下規(guī)律：桁架預(yù)展速度越大，金屬接頭與周邊桁架展開(kāi)過(guò)程最小距離越小，如圖9所示。

圖9 金屬接頭與周邊桁架最小距離和桁架預(yù)展速度變化規(guī)律Fig.9 The minimum distance between the metal joint and the loop truss changes with the velocity of the truss

4 極端條件分析

中間包帶在軌展開(kāi)最惡劣的情況為逆止回彈機(jī)構(gòu)失效，即止回彈機(jī)構(gòu)無(wú)法限制包帶根部回彈?？紤]到在軌無(wú)重力影響，環(huán)形桁架展開(kāi)速度較地面偏大，假設(shè)桁架預(yù)展速度為1.2倍標(biāo)準(zhǔn)速度，結(jié)合目前復(fù)材帶阻尼率0.04，對(duì)包帶在逆止回彈機(jī)構(gòu)失效條件進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖10所示，最小距離僅為121 mm。

圖10 在軌棘輪失效條件下金屬接頭與周邊桁架最小距離變化規(guī)律Fig.10 The minimum distance between metal joint and loop truss under failure condition of ratchet device

5 結(jié)論

環(huán)形天線中間包帶在軌展開(kāi)過(guò)程，地面目前尚無(wú)有效方法對(duì)其進(jìn)行遙測(cè)觀察，主要采用柔性多體動(dòng)力學(xué)建模仿真結(jié)合在軌及地面試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)在軌展開(kāi)進(jìn)行預(yù)示。本文基于仿真分析得出，對(duì)包帶金屬接頭到桁架最小距離影響較大因素主要為復(fù)材帶結(jié)構(gòu)阻尼率和桁架預(yù)展速度：復(fù)材帶阻尼率越大，金屬接頭與桁架最小距離越大；預(yù)展速度越大，金屬接頭與桁架最小距離越小。在包帶設(shè)計(jì)過(guò)程中，為了提高包帶展開(kāi)可靠性，減小金屬接頭和薄壁復(fù)材管件碰撞風(fēng)險(xiǎn)，可以通過(guò)提高復(fù)材帶阻尼率和減少桁架預(yù)展速度方式來(lái)增大展開(kāi)過(guò)程金屬接頭到桁架最小距離。此外，通過(guò)對(duì)在軌逆止回彈機(jī)構(gòu)失效模式進(jìn)行分析，逆止回彈機(jī)構(gòu)失效條件下金屬接頭到桁架最小距離僅為正常條件約30%，金屬接頭和薄壁復(fù)材管件碰撞風(fēng)險(xiǎn)大大增加。因此，在包帶設(shè)計(jì)及加工過(guò)程中，應(yīng)提高逆止回彈機(jī)構(gòu)可靠性，避免出現(xiàn)失效模式。