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        一類廣義KdV-mKdV方程新的精確解

        2021-10-25 06:01:28郭春曉郭艷鳳
        關(guān)鍵詞:關(guān)系式廣義情形

        郭春曉,郭艷鳳

        (1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院,北京 100083;2.廣西科技大學(xué) 理學(xué)院,廣西 柳州 545006;3.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)理學(xué)院,湖北 武漢 430074)

        0 引言

        在數(shù)學(xué)物理、大氣海洋和其他應(yīng)用科學(xué)的各個分支中,存在著許多由非線性偏微分方程描述的混沌現(xiàn)象。某些非線性偏微分方程精確解的表達(dá)形式對解釋相應(yīng)的混沌現(xiàn)象具有重要意義。到目前為止,已經(jīng)有一些有效方法可得到具體的精確解形式,例如Painleve分析法[1]、back lund變換法[2-3]、Hirota雙線性變換法[4]、逆散射法[5]、tanhcoth方法[6-7]、G′/G展開法[8-9]、擴(kuò)展的雙Darboux變換法[10]等。然而,這些方法在應(yīng)用中有著不同的限制條件,一般情況下沒有一個通用方法可以求解所有的非線性偏微分方程。通過改進(jìn)輔助的常微分方程和相應(yīng)的待定函數(shù)的表示形式推廣和改進(jìn)G′/G方法[11],即擴(kuò)展的G′/G展開法,可以得到更多的精確解形式。本文主要利用擴(kuò)展的G′/G展開法討論廣義KdV-mKdV方程的精確解形式。

        廣義KdV-mKdV方程[12]為

        其中,α,β,γ,ε為實(shí)數(shù)。這個方程是物理學(xué)許多分支中重要的一類模型,描述了一維非線性晶格中部分有界波在簡諧力作用下的傳播,特別描述了等離子體物理中無Landau阻尼的小振幅離子聲波的傳播,它也被用來解釋固體物理中熱量通過氟化鈉單晶的傳播。近年來許多研究者對其進(jìn)行了研究[12-15],并得到了豐富的精確行波解,包括雙周期Jacobi橢圓函數(shù)解。在極限情況下,這些解退化為相應(yīng)的孤立波解和激波解。本文主要用擴(kuò)展的G′/G展開法研究廣義KdV-mKdV方程的混沌現(xiàn)象,并得到了一些新的精確解。

        1 預(yù)備知識

        通常情況下,以常微分方程

        為基礎(chǔ),其中,λ和μ為任意常數(shù)。利用G′/G展開法研究某些偏微分方程,得到了具有u(ξ)=的行波解形式,其中aN≠0,見文獻(xiàn)[8]。進(jìn)一步地,行波解的表達(dá)式可以延伸為u(ξ)=,其中a-N和aN至少一個不為0。

        近年來,某些學(xué)者通過線性常微分方程(2)引入了一種求非線性偏微分方程更多新解的有效方法,即假設(shè)解具有形式u(ξ),其中a-N和aN至少一個不為0[8,11]。在此基礎(chǔ)上,再利用新的非線性常微分方程作為輔助方程,構(gòu)造了一些非線性偏微分方程更豐富的解[11],該方法可以看作是原展開法的推廣。

        這個新的非線性常微分方程可以寫成

        其中,A,B,C,E為待定參數(shù)。令G′/G=H(ξ),當(dāng)這些參數(shù)滿足不同條件時,可以得到非線性常微分方程(3)具體解的表達(dá)形式,參見文獻(xiàn)[11]。

        記M=A-C,Ω=B2+4EM,Δ=EM,

        根據(jù)H(ξ)在不同條件下的表達(dá)形式,通過擴(kuò)展的G′/G展開方法可以得到更多廣義KdVmKdV方程新的精確解形式。

        2 廣義KdV-mKdV方程的精確解

        式(1)中,γ=1時,廣義KdV-mKdV方程為

        進(jìn)一步地,式(10)兩邊關(guān)于ξ積分可得

        其中,κ為積分常數(shù)。對非線性方程(11)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)uξξ和最高階非線性項(xiàng)u3運(yùn)用齊次平衡法,待定表達(dá)式u(ξ)=中的最高次數(shù)N滿足等式N+2=3N,解可得N=1。

        令H(ξ)=G′/G,假設(shè)方程(11)具有如下形式的解,

        其中,a0,a1,a2,d為待定參數(shù)。將式(3)和(12)代入式(11),通過Maple軟件進(jìn)行計算,方程可以轉(zhuǎn)換成關(guān)于(d+H(ξ))N(N=0,±1,±2,…)的多項(xiàng)式。進(jìn)一步令d+H(ξ)的不同次數(shù)冪的系數(shù)為0,可以得到包含相關(guān)參數(shù)的代數(shù)方程組。通過Maple軟件求解這些代數(shù)方程組,可以得到如下參數(shù)之間的關(guān)系。

        情形1當(dāng)A≠0,βε>0時,

        此種情況下,將上面參數(shù)關(guān)系式代入式(12)中,可得如下新精確解的表達(dá)形式

        其中,ξ=x-mt,H(ξ)分別滿足式(4)~(8),Φ=-Cd2+Bd+A-E,Ψ=B2+4C(A-E)。當(dāng)參數(shù)滿足式(4)~(8)的條件和關(guān)系時,上述解即為新精確解形式。

        情形2當(dāng)A≠0,βε>0,C≠0,d=B

        2C≠0時,

        此種情況下,將上面參數(shù)關(guān)系式代入式(12)中,可得如下新精確解的表達(dá)形式

        其中,ξ=x-mt,H(ξ)分別滿足式(4)~(8),Φ=-Cd2+Bd+A-E,Ψ=B2+4C(A-E)。當(dāng)參數(shù)滿足式(4)~(8)的條件和關(guān)系時,上述解即為新精確解形式。

        特別地,在情形2中,當(dāng)C≠0,時,所得到的解是用擴(kuò)展的展開法得到的新精確解中的特例,可明顯看到新解形式中d可以取不為0的值。

        情形3當(dāng)a2=0,A≠0,C≠0,βε>0,B-2Cd≠0,Φ≠0,α-3βa0≠0時,有

        此種情況下,將上述關(guān)系式代入式(12),得到如下新的精確解表達(dá)形式

        其中,ξ=x-mt,H(ξ)分別滿足式(4)~(8),Ψ=B2+4C(A-E),a1由上面的關(guān)系式?jīng)Q定。

        特別地,當(dāng)α-3βa0>0,A>0時,參數(shù)關(guān)系式可簡化為

        3 結(jié)果分析

        根據(jù)情形1中解的5種情況圖形分析解的主要結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。情形1中,如果可以得到如下具體解的形式。

        當(dāng)B≠0,Ω>0時,取

        于是有

        利用Map le可以得到解u11的圖形,如圖1所示。從圖1可以看出,短時間內(nèi),廣義KdV-mKdV的孤波解主要出現(xiàn)在小的窄區(qū)域內(nèi),可能會發(fā)生怪波的突變情況。從解的表達(dá)形式看,當(dāng)分母趨于0時,會出現(xiàn)爆破現(xiàn)象。

        圖1 B≠0,Ω >0時u11的圖形Fig.1 Solution u11 when B≠0,Ω >0

        類似地,當(dāng)自由參數(shù)為不同條件下的值時,都可以得到相應(yīng)解的具體形式。下文只給出相應(yīng)的參數(shù)取值情況,并描述相關(guān)圖形。

        當(dāng)B≠0,Ω<0時,取

        ε=β=-1,A=2,α=B=C=E=d=C2=1,Ω=B2+4E(A-C)=-3<0,C1=利用Map le可以得到解u12的圖形,如圖2所示。從圖2可以看出,較短時間內(nèi),廣義KdV-mKdV mKdV的周期解出現(xiàn)在比較大的區(qū)域內(nèi)。破壞特性在一定時期內(nèi)可能是漸近的、周期性的。而爆炸現(xiàn)象的出現(xiàn)和情形1原因相同。

        圖2 B≠0,Ω <0時u12的圖形Fig.2 Solution u12 when B≠0,Ω <0

        當(dāng)B≠0,Ω=0時,取ε=β=-1,B=C=2,α=A=E=C2=1,d=C1解u13的圖形參見圖3。從圖3可以看出,短時間內(nèi),廣義KdV-mKdV的有理解在小區(qū)域內(nèi)出現(xiàn),怪波的破壞性發(fā)生很明顯,并且在整個區(qū)域內(nèi)以對稱形式不斷發(fā)生,引起爆破現(xiàn)象。

        圖3 B≠0,Ω=0時u13的圖形Fig.3 Solution u13 when B≠0,Ω=0

        當(dāng)B=0,Δ=E(A-C)>0時,取ε=β=-1,A=2,α=C=E=C2=1,d=C1解u14的圖形見圖4。在此條件下,給出了廣義KdVmKdV在小區(qū)域內(nèi)的孤立波解,破壞性逐漸緩慢發(fā)生,與前面的爆破現(xiàn)象有所不同。

        圖4 B=0,Δ >0時u14的圖形Fig.4 Solution u14 when B=0,Δ >0

        當(dāng)B=0,Δ=E(A-C)<0時,取ε=β=-1,A=-2,α=C=E=C2=1,d=C1解u15的圖形見圖5。廣義KdV-mKdV在區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)周期解的形式,破壞特性漸近出現(xiàn),并具有一定的周期性。

        圖5 B=0,Δ <0時u15的圖形Fig.5 Solution u15 when B=0,Δ <0

        同樣,其他情況下自由參數(shù)給定后,根據(jù)參數(shù)之間的關(guān)系可以得到相應(yīng)解的圖形和性質(zhì),本文不再贅述。從這些新精確解的性質(zhì)看,都具有一定的爆破現(xiàn)象,從而在自然現(xiàn)象中特殊條件下怪波現(xiàn)象的出現(xiàn)是有一定條件的。這些解的形式對理解自然界中的怪波現(xiàn)象具有重要意義。

        4 結(jié)語

        本文通過擴(kuò)展的G′/G展開法,得到了一類廣義KdV-mKdV方程新的精確解形式。情形1中當(dāng)C=0時,方程(3)化為方程(2),得到通常意義下G′/G展開法所用到的線性常微分方程解的形式。而當(dāng)C≠0,d≠0時,可以借助非線性常微分方程得到擴(kuò)展的G′/G展開方法中的待定解形式。用擴(kuò)展的G′/G展開方法所得到的解在特殊情況下包含了一般情形下的解,除此之外還得到了一些新精確解的表達(dá)形式,并解釋了部分怪波的形成機(jī)理。理論和實(shí)際計算表明,擴(kuò)展的G′/G展開方法在研究非線性偏微分方程的新精確解和怪波現(xiàn)象方面具有重要意義。

        當(dāng)α=0或β=0時,可以將KdV-mKdV方程分別轉(zhuǎn)化為mKdV方程或KdV方程。根據(jù)上述解的表達(dá)形式,當(dāng)β→0時,選取一些適當(dāng)?shù)膮?shù)值,可以進(jìn)一步考慮mKdV方程新的精確解形式。這種計算方法可以應(yīng)用于求解更多非線性系統(tǒng)的一些新精確解形式,具有一定推廣性。

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