劉 斌，李佳窈，楊奕帆，周 鎮(zhèn)

(南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院·南昌·330063)

0 引 言

近年來，隨著技術(shù)的發(fā)展，四旋翼無人機引起了人們越來越多的關(guān)注和重視，憑借其結(jié)構(gòu)簡單，飛行靈活，給人類的生活帶來了許多便利，如：航拍攝影、火災(zāi)救援、農(nóng)業(yè)灌溉、電力巡檢等。關(guān)于其飛控算法也吸引了大量學(xué)者，如常見的PID算法與非線性算法的結(jié)合，但是四旋翼無人機是一個多輸入、欠驅(qū)動、強耦合的非線性系統(tǒng)，一般的控制算法在精度上可能有所不足。預(yù)測控制具有處理非線性和多約束的優(yōu)點，在無人機飛行控制領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注，如文獻[6]中針對四旋翼無人機的容錯性，提出了一種預(yù)測控制算法作為魯棒控制系統(tǒng)，能在部分執(zhí)行器失效時有良好的控制性能；外國學(xué)者Soyeon Koo等提出一種線性二次跟蹤器與預(yù)測控制相結(jié)合的控制策略，使得四旋翼無人機能自主降落到運載工具之上。更多的研究結(jié)果可參考[8-9]等文獻。

一般的預(yù)測控制是處理較長時域優(yōu)化約束問題，在算法的實施過程中，每一時刻的控制序列只有第一個值作為當(dāng)前控制信號應(yīng)用于系統(tǒng)中，其他時刻的控制量需要反復(fù)重新計算，占用了一定的芯片計算資源，而無人機在空中作業(yè)時一般搭載著許多傳感器，也需要復(fù)雜的計算，兩者產(chǎn)生了一定的沖突。為降低預(yù)測控制的在線計算量，國內(nèi)外學(xué)者做了一些研究，如集結(jié)策略、預(yù)測控制在線快速算法等。

針對上述問題，本文提出一種新的預(yù)測控制方案，采用變量集結(jié)策略并加上終端代價函數(shù)與終端狀態(tài)約束，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下使計算量降低，并且一定程度降低系統(tǒng)優(yōu)化保守性，將此預(yù)測控制方案與PID控制相結(jié)合應(yīng)用于無人機的路徑跟蹤當(dāng)中，在MATLAB/Simulink下搭建系統(tǒng)模型并驗證算法可行。

1 四旋翼動力學(xué)模型

由于結(jié)構(gòu)的不同，四旋翼無人機機型可分為“十”字型和“X”型，本文以“十”字型四旋翼無人機進行敘述,在建立四旋翼飛行器數(shù)學(xué)模型前，做出如下假設(shè)：

(1)四旋翼一般為低空低速飛行，忽略空氣阻力的影響；

(2)四旋翼飛行器在研究中視為剛體,忽略其彈性影響,總質(zhì)量m為常數(shù)；

(3)機體幾何外形完全對稱且質(zhì)量分布均勻,質(zhì)心與幾何中心重合；

(4)每個電機所產(chǎn)生的升力與電機轉(zhuǎn)速的平方成正比；

(5)四旋翼懸停低速飛行時，認(rèn)為機體歐拉角變化很小，幾乎接近0(°)。

四旋翼的運動過程分為線運動和角運動，對線運動和角運動運用牛頓-歐拉法進行建模得出以下模型

為了方便控制器設(shè)計，將四旋翼的飛行狀態(tài)分為四個獨立的通道：上下、橫滾、俯仰、偏航，定義控制量為

(2)

其中

u

為上下通道控制量，

u

為橫滾通道控制量，

u

為俯仰通道控制量，

u

為偏航通道控制量。

把式(2)代入式(1)得到四旋翼動力學(xué)模型

(3)

2 控制器的設(shè)計

四旋翼無人機的控制分為位置控制和姿態(tài)控制，為了實現(xiàn)較好的路徑跟蹤效果，位置控制器采用基于預(yù)測控制的控制策略，姿態(tài)控制器采用傳統(tǒng)的PID控制策略，控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 控制器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the controller

圖1中外環(huán)是位置控制，根據(jù)路徑發(fā)生器給出的三軸參考位置

x

,

y

,

z

和四旋翼動力學(xué)模型反饋的三軸位置信息

x

，

y

，

z

，以及三軸的速度信息

u

，

v

，

w

，輸出四旋翼無人機上下通道控制量

u

和三軸期望姿態(tài)角

φ

,

θ

,

ψ

；內(nèi)環(huán)為姿態(tài)控制，根據(jù)期望姿態(tài)角

φ

,

θ

,

ψ

和四旋翼動力學(xué)模型反饋的姿態(tài)角

φ

,

θ

,

ψ

，輸出橫滾、俯仰、偏航通道的控制量

u

，

u

，

u

。

2.1 位置控制器的設(shè)計

外環(huán)位置控制器采用了基于四旋翼無人機狀態(tài)空間模型的預(yù)測控制，與應(yīng)用最為廣泛的預(yù)測控制算法(動態(tài)矩陣控制)不同，由于根據(jù)四旋翼狀態(tài)空間模型設(shè)計的預(yù)測控制器，模型準(zhǔn)確度高，預(yù)測值接近于真實值，且狀態(tài)量大多可測，可以根據(jù)狀態(tài)量的變化主動校準(zhǔn)未來時刻的預(yù)測值，故不再設(shè)計額外的反饋校正。首先根據(jù)四旋翼狀態(tài)空間方程建立預(yù)測模型，然后設(shè)計預(yù)測控制器并對其改進，最后在線優(yōu)化通過求解目標(biāo)函數(shù)得到控制量并施加到系統(tǒng)。

(1)狀態(tài)空間模型

將四旋翼位置控制解耦為高度控制和

x

，

y

方向控制，通過輸入量

u

可以計算出高度控制量，通過高度控制解算出來的控制量可以計算出

x

，

y

方向的控制量，因此先要求出高度控制量。

(4)

表示

z

軸的狀態(tài)量，表示

z

軸的輸出量，表示

z

軸的輸入量。

則高度控制狀態(tài)空間模型為

(5)

其中

根據(jù)公式(3)令

(6)

式中：

u

、

u

是

x

、

y

軸的虛擬控制量，是

x

、

y

方向控制的狀態(tài)量，是

x

、

y

方向控制的輸出量。則

x

,

y

方向控制狀態(tài)空間模型為

(7)

其中

由于高度預(yù)測模型和

x

,

y

方向預(yù)測模型設(shè)計方法和過程一樣，下面僅以高度預(yù)測模型為例進行敘述。

(2)MPC模型

依據(jù)采樣周期對上述模型(5)進行離散化為

(

k

+1)=(

k

)+(

k

)
(

k

)=(

k

)

(8)

其中=

T

+,=

T

，

T

為采樣周期。

定義控制增量

Δ(

k

)=(

k

)-(

k

-1)

(9)

則狀態(tài)變量寫成

(

k

+1)=(

k

)+(

k

-1)+Δ(

k

)

(10)

則系統(tǒng)狀態(tài)空間方程寫成矩陣形式為

(11)

(12)

在式(12)的基礎(chǔ)上反復(fù)進行遞推即可得到系統(tǒng)預(yù)測模型，這里直接給出結(jié)果

(13)

其中

(

k

)=[(

k

+1|

k

)(

k

+2|

k

) …(

k

+

N

|

k

)]Δ(

k

)=[Δ(

k

|

k

) Δ(

k

+1|

k

) …Δ(

k

+

N

-1|

k

)]式中(

k

)為預(yù)測狀態(tài)序列，(

k

)為預(yù)測模型輸出序列，

Δ

(

k

)為控制增量序列，

N

和

N

分別為預(yù)測時域長度和控制時域長度，對于上述預(yù)測模型采用二次型目標(biāo)函數(shù)求解控制增量序列，該目標(biāo)函數(shù)包括兩方面：一是使預(yù)測值接近期望值，二是防止控制量變化劇烈從而選擇對控制增量加權(quán)，具體如下

(14)

其中(

k

)為期望高度，和為誤差、控制加權(quán)矩陣，Δ

u

max為控制增量系統(tǒng)的最大值，在

N

一定的情況下

N

越大，系統(tǒng)的控制能力越強，但是該控制器為有約束優(yōu)化問題，在線計算量大，而且在實際操作當(dāng)中，只采用當(dāng)前采樣時刻的控制增量Δ(

k

)，下一采樣時刻的Δ(

k

+1)需要重復(fù)上述過程進行計算，同樣會帶來較大的計算量。

(3)變量集結(jié)的MPC

為了減少系統(tǒng)的計算量，在上文的基礎(chǔ)上采用了分段衰減集結(jié)的策略。將控制時域

N

集結(jié)為三段，長度為{

l

,

l

,

l

}，

l

=3。第一段集結(jié)序列為前三個采樣時間的控制增量；第二段集結(jié)序列為與第三個控制增量成等幅衰減序列的控制增量序列；第三段集結(jié)序列的選取借鑒雙?？刂频乃枷耄羁刂圃隽繛轭A(yù)測狀態(tài)的線性反饋。

取集結(jié)變換的形式為

Δ(

k

)=(

k

)

(15)

則控制增量與集結(jié)優(yōu)化變量的關(guān)系為

Δ(

k

+

i

|

k

)=

(16)

其中，

ρ

為第二段衰減集結(jié)序列的衰減系數(shù)，

K

為預(yù)測狀態(tài)的線性反饋系數(shù)，集結(jié)優(yōu)化變量為(

k

)=[(

k

|

k

),(

k

+1|

k

),(

k

+

N

|

k

)]

(17)

式(17)中(

k

|

k

)=Δ(

k

|

k

)，(

k

+1|

k

)=Δ(

k

+1|

k

)，(

k

+2|

k

)=Δ(

k

+2|

k

)，

K

參見文獻[7]求出。集結(jié)矩陣為可以表示為

(18)

將目標(biāo)函數(shù)改寫成如下形式

(19)

經(jīng)如此集結(jié)后，優(yōu)化變量由Δ(

k

)變?yōu)?span id="a0qoaqy" class="subscript">(

k

)，前兩段控制量在保證性能指標(biāo)優(yōu)化的同時通過集結(jié)降低了計算量，第三段集結(jié)序列降低了優(yōu)化保守性，盡管性能指標(biāo)有一定的損失，但由于降低了在線優(yōu)化變量數(shù)目更適合于四旋翼無人機飛控芯片處理。

(4)加強穩(wěn)定性保證的MPC

為了加強系統(tǒng)穩(wěn)定性，引入終端代價函數(shù)和終端狀態(tài)約束，其中

ε

為終端狀態(tài)約束集

(20)

其中狀態(tài)加權(quán)矩陣通過黎卡蒂方程求解。

經(jīng)過如上設(shè)計得到最終的預(yù)測控制器目標(biāo)函數(shù)為

(21)

無人機要求其控制器具有實時性。預(yù)測控制作為一種有約束在線優(yōu)化算法，如何降低在線計算量，滿足電機、逆變等毫秒甚至微秒級系統(tǒng)芯片的需求，是近年預(yù)測控制的一個研究熱點，并取得了一些成果。如基于有效集的離線綜合/在線分區(qū)搜索策略、快速梯度下降法、多路復(fù)用技術(shù)等，可以在毫秒級的范圍內(nèi)實現(xiàn)系統(tǒng)的實時控制。本文結(jié)合上述無人機集結(jié)預(yù)測控制器的規(guī)模及無人機所提供的硬件資源，選擇擬牛頓法進行求解，相較于梯度下降法和牛頓法而言，擬牛頓法收斂速度快，且使用正定矩陣近似Hessian矩陣改善了牛頓法每次需要求解復(fù)雜的Hessian矩陣的逆矩陣，減少了運算量。求解得到

k

時刻的優(yōu)化變量(

k

)，從而得到Δ(

k

)，算出

k

時刻的控制量為(

k

)=(

k

-1)+Δ(

k

)

(22)

由高度預(yù)測控制器(

k

)中提出的

u

代入

x

，

y

方向控制器，用同樣的方法求解出虛擬控制量

u

,

u

。上文已解算出控制量

u

,

u

，由于偏航角變化幅度很小，令期望偏航角

ψ

=0，期望俯仰角和期望滾轉(zhuǎn)角由式(6)反解而得，分別為

(23)

2.2 姿態(tài)控制器的設(shè)計

姿態(tài)控制器采用傳統(tǒng)的PID控制器，將期望姿態(tài)與當(dāng)前姿態(tài)的差值做PID運算得到四旋翼俯仰、橫滾、偏航通道的控制量如下

(24)

其中

K

P、

K

I、

K

D分別是俯仰通道的比例、積分、微分系數(shù)，

K

P、

K

I、

K

D分別是橫滾通道的比較、積分、微分系數(shù)，

K

P、

K

I、

K

D分別是偏航通道的比較、積分、微分系數(shù)。

3 仿真驗證

為驗證所設(shè)計控制器的可行性，在MATLAB上搭建仿真，四旋翼參數(shù)如表1所示。

表1 四旋翼無人機參數(shù)表Tab.1 Parameter list of Quad-rotor UAV

位置控制器所用參數(shù)為：高度預(yù)測模型和

x

，

y

方向預(yù)測模型預(yù)測時域長度

N

均為20，誤差加權(quán)矩陣分別為=diag(10,1)和=diag(10,1,10,1)，控制時域長度

N

均為10，控制加權(quán)矩陣分別為=diag(1,1)和=diag(1,1)，控制約束

u

max=25,

u

max=10，集結(jié)矩陣中衰減系數(shù)

ρ

=0

.

6，終端狀態(tài)約束

ε

=0

.

5。

姿態(tài)控制器所用PID參數(shù)為

仿真中給定的輸入?yún)⒖架壽E為

圖2到圖4為仿真結(jié)果分析，可以看出在給定了參考軌跡的情況下，四旋翼無人機實現(xiàn)了很好的路徑跟蹤效果，如圖2所示是四旋翼無人機路徑跟蹤的三維效果圖，從圖3可以看出，四旋翼在

x

，

y

，

z

三個方向除了開始時因為初始點與參考軌跡有偏差之外，之后在每一個方向都能實現(xiàn)很好的路徑跟蹤效果，誤差幾乎為0。從圖4四旋翼無人機的姿態(tài)跟蹤軌跡，可以看出三個姿態(tài)角可以迅速地跟蹤上期望姿態(tài)角，實現(xiàn)姿態(tài)的快速響應(yīng)。

圖2 四旋翼無人機路徑跟蹤三維效果圖Fig.2 3D rendering of path tracking of a Quad-rotor UAV

圖3 四旋翼無人機x,y,z方向路徑跟蹤軌跡Fig.3 Quad-rotor UAV x,y,z path tracking

圖4 四旋翼無人機姿態(tài)跟蹤Fig.4 Attitude tracking of Quad-rotor UAV

4 結(jié) 論

本文針對四旋翼無人機的路徑跟蹤問題，以四旋翼無人機狀態(tài)空間模型為基礎(chǔ)建立起預(yù)測模型并對其改進，利用分段集結(jié)策略降低優(yōu)化計算量和優(yōu)化保守性的同時，引入終端代價函數(shù)和終端狀態(tài)約束提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以MATLAB/Simulink進行仿真實驗驗證算法有效性，實驗結(jié)果表明本文所設(shè)控制器在進行路徑跟蹤時效果良好。