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        有限長(zhǎng)序列線性相關(guān)的快速算法研究

        2021-10-23 02:28:52劉志君戚晨皓
        關(guān)鍵詞:定義

        劉志君,戚晨皓

        (1.東南大學(xué) 吳健雄學(xué)院,江蘇 南京211189;2.東南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京211189)

        0 引言

        在“數(shù)字信號(hào)處理”中,相關(guān)是一個(gè)十分重要的信號(hào)分析與處理的工具,在時(shí)延估計(jì)、隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性分析以及隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)等方面有著重要的應(yīng)用[1],例如平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度就是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換[2]。因此計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性相關(guān)是十分重要的內(nèi)容,而相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)于線性相關(guān)的FFT算法研究甚少,所以有必要對(duì)其快速運(yùn)算作一些探討和研究,特別是長(zhǎng)序列數(shù)字信號(hào)處理的快速算法,以期達(dá)到實(shí)時(shí)性的目的[3]。本文首先介紹了已有的直接FFT算法快速計(jì)算線性相關(guān),而當(dāng)兩序列長(zhǎng)度相差較大時(shí),直接FFT算法的快速性不夠明顯,因此本文重點(diǎn)研究了如何利用分段求和FFT算法來(lái)計(jì)算線性相關(guān),該算法相比于直接FFT算法顯著減少了運(yùn)算量。

        1 直接FFT算法計(jì)算線性相關(guān)

        1.1 直接FFT算法

        設(shè)兩有限長(zhǎng)序列x(n)、h(n)的長(zhǎng)度分別為N、M,則x(n)與h(n)之間的線性相關(guān)的結(jié)果(又稱互相關(guān)函數(shù))rxh(m)和rhx(m)定義為:

        觀察式(1)和(2)我們可以發(fā)現(xiàn)兩種不同互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系:

        根據(jù)定義可以發(fā)現(xiàn),互相關(guān)函數(shù)的長(zhǎng)度為N+M-1,且兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的互相關(guān)函數(shù)有兩個(gè)[4],但是二者之間有明顯的關(guān)聯(lián)性,即rhx(m)=rxh(-m)。如果直接使用定義計(jì)算線性相關(guān),其運(yùn)算量為NM次乘法,時(shí)間復(fù)雜度為O(NM)。

        為了利用FFT快速計(jì)算線性相關(guān),我們需要用到線性卷積的相關(guān)內(nèi)容[2],將rxh(m)的公式與線性卷積的公式相比較,可以得到二者的時(shí)域關(guān)系為:

        根據(jù)式(4),我們就可以利用線性卷積的FFT算法[1]快速計(jì)算線性相關(guān)。這里我們還需要用到循環(huán)相關(guān)的概念,對(duì)于長(zhǎng)度分別為N和M的有限長(zhǎng)序列x(n)、h(n),其L點(diǎn)循環(huán)相關(guān)的結(jié)果(L≥max{N,M})定義為:

        式(5)中:((·))L表示對(duì)L求余數(shù),RL(n)為矩形序列,X(k)與Y(k)均為L(zhǎng)點(diǎn)FFT的結(jié)果。

        循環(huán)相關(guān)和線性相關(guān)的等價(jià)關(guān)系[1]為L(zhǎng)≥N+M-1,故直接FFT算法計(jì)算線性相關(guān)的過(guò)程如下:①取L=N+M-1;②對(duì)x(n)和h(n)做L點(diǎn)FFT得到X(k)與H(k);③然后將X*(k)與H(k)相乘得到Rxh;④對(duì)R做L點(diǎn)IFFT得到。

        從上述過(guò)程來(lái)看需要3次FFT運(yùn)算,但是在實(shí)際運(yùn)用中,h(n)是設(shè)計(jì)好的參數(shù),在設(shè)計(jì)時(shí)直接給出H(k),因此只需要2次FFT計(jì)算和第三步的L次乘法,因此得到直接FFT算法的運(yùn)算量為(Llog2L+L)次乘法[1],時(shí)間復(fù)雜度為O(Llog2L)。

        1.2 直接FFT算法運(yùn)算量的改進(jìn)

        前文討論線性相關(guān)的運(yùn)算時(shí)并沒(méi)有考慮到N和M的關(guān)系對(duì)于直接FFT算法改進(jìn)程度的影響。因此需要定義一個(gè)比值

        通過(guò)式(6)來(lái)討論N和M的關(guān)系對(duì)于直接FFT算法改進(jìn)程度的影響[3]。根據(jù)已經(jīng)得到的運(yùn)算量的結(jié)果我們可以得到:

        當(dāng)N≈M時(shí),可近似認(rèn)為L(zhǎng)=N+M-1≈2N,將兩種算法的運(yùn)算量進(jìn)行比較(表1)。

        表1 N與M接近時(shí)運(yùn)算量的比較

        從表1中可以看出,當(dāng)N=M時(shí),N越大,直接FFT算法的運(yùn)算量改善效果越好,在N=M≥16時(shí),直接FFT算法的運(yùn)算量就已經(jīng)明顯小于使用定義計(jì)算的運(yùn)算量。

        但是在實(shí)際的信號(hào)處理中,兩序列的長(zhǎng)度相差較大,一般數(shù)字信號(hào)處理的單位沖激響應(yīng)h(n)較短,而數(shù)字信號(hào)x(n)的長(zhǎng)度較長(zhǎng)。如果使用直接FFT算法進(jìn)行計(jì)算,h(n)必須補(bǔ)很多個(gè)零值點(diǎn),這樣一來(lái)很不經(jīng)濟(jì),二來(lái)快速性不明顯[3]。在式(7)中,如果N?M,可以近似認(rèn)為L(zhǎng)=N+M-1≈N,此時(shí),如果M不變,隨著N增加到大于2M,R1值反而會(huì)增大到超過(guò)1,這意味著直接FFT算法不僅沒(méi)有起到顯著減少運(yùn)算量的作用,反而會(huì)在N大于2M時(shí)增加運(yùn)算量,這是我們所不期望的,因此需要改善FFT算法,這就是以下將重點(diǎn)介紹的分段求和FFT算法。

        2 分段求和FFT算法計(jì)算線性相關(guān)

        2.1 分段求和FFT算法

        對(duì)于FFT算法來(lái)說(shuō),先分段計(jì)算最后求和是一種很典型的改進(jìn)計(jì)算量的方法[1],其核心就在于將一部分乘法變?yōu)榧臃?,從而達(dá)到減小計(jì)算量的目的,因此我們考慮設(shè)計(jì)分段求和FFT算法來(lái)快速計(jì)算長(zhǎng)度相差較大的兩序列的互相關(guān)函數(shù)。

        之后利用直接FFT算法分別計(jì)算xi(n)與h(n)的互相關(guān)函數(shù)rxih(n),但是每個(gè)rxih(n)的長(zhǎng)度都為2M-1,而最后需要得到的結(jié)果rxh(m)長(zhǎng)度為N+M-1,如果計(jì)算補(bǔ)零后的長(zhǎng)度則為+M-1=(k+1)M-1,因此在最后求和時(shí),相鄰兩個(gè)rxih(n)必然有(M-1)個(gè)點(diǎn)的值要重疊相加。

        圖1 重疊相加和排列過(guò)程

        根據(jù)求解過(guò)程可以得到分段求和FFT算法總的運(yùn)算量為k(W log2W+W)次乘法,其中W?2M-1,時(shí)間復(fù)雜度為O(N log2M)。

        2.2 分段求和FFT算法運(yùn)算量的改進(jìn)

        為反映分段求和FFT算法的改進(jìn)程度,我們?cè)俣x一個(gè)比值:

        根據(jù)已經(jīng)得到的運(yùn)算量的結(jié)果我們可以得到:

        當(dāng)N?M時(shí),可近似認(rèn)為L(zhǎng)≈N,N≈=kM,將兩種算法的運(yùn)算量進(jìn)行比較(表2)。

        從表2中可以看出,當(dāng)N?M時(shí),如果M不變,N越大,分段求和FFT算法的改善效果越好。在N=7,M=2,即x(n)長(zhǎng)度約為h(n)長(zhǎng)度的4倍時(shí),分段求和FFT算法的運(yùn)算量與直接FFT算法的運(yùn)算量相當(dāng)。

        在N=15,M=2,即x(n)長(zhǎng)度約為h(n)長(zhǎng)度的8倍時(shí),分段求和FFT算法的運(yùn)算量就已經(jīng)明顯小于直接FFT算法的運(yùn)算量。

        表2 N遠(yuǎn)大于M時(shí)運(yùn)算量的比較

        3 結(jié)語(yǔ)

        本文重點(diǎn)研究了如何利用FFT快速計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性相關(guān),介紹了直接FFT算法及其運(yùn)算量的改進(jìn),以及當(dāng)兩個(gè)序列長(zhǎng)度相差較大時(shí)分段求和FFT算法及其運(yùn)算量的改進(jìn),并綜合比較了兩種算法的運(yùn)算量。結(jié)果表明,相比于根據(jù)定義直接計(jì)算線性相關(guān),直接FFT算法顯著減少了運(yùn)算量,且序列長(zhǎng)度越長(zhǎng),改善效果越明顯;若參與線性相關(guān)的兩個(gè)序列長(zhǎng)度相差較大,則相比于直接FFT算法,分段求和FFT算法具有更小的運(yùn)算量,且序列長(zhǎng)度差距越大,改善效果越好。

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