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        半航空瞬變電磁L1范數(shù)自適應(yīng)正則化反演

        2021-10-23 07:33:10何可郭明胡章榮易國財王仕興
        物探與化探 2021年5期
        關(guān)鍵詞:范數(shù)正則電阻率

        何可,郭明,胡章榮,易國財,王仕興

        (1.西華師范大學(xué) 教育信息技術(shù)中心,四川 南充 637002; 2.成都理工大學(xué) 地球物理學(xué)院,四川 成都 610059)

        0 引言

        半航空瞬變電磁法(semi-airborne transient electromagnetic,SATEM)采用接地長導(dǎo)線源向地下供給階躍電流,使用無人機搭載接收線圈進(jìn)行空中觀測,接收二次場[1]。半航空瞬變電磁法與航空瞬變電磁法相比,具有信噪比高、勘探深度大等特點[2];與地面瞬變電磁比較,具有快速、大面積在復(fù)雜地形進(jìn)行探測的能力,對良導(dǎo)體探測效果較好[3-5]。半航空瞬變電磁法數(shù)據(jù)量大,相較于航空瞬變電磁采用CDI快速成像,由于需考慮線源長度、偏移距等影響,實現(xiàn)難度大,而三維反演由于計算時間較長,目前也很難在實際中應(yīng)用,所以實踐中數(shù)據(jù)處理仍以一維反演為主。地面瞬變電磁反演研究主要以“煙圈”理論和最優(yōu)化算法為主[6-7]?!盁熑Α彼惴焖佟⒔?,適合作現(xiàn)場解釋工作[8],但由于不能提供層厚信息,所以只能作為定性研究。最優(yōu)化算法主要以阻尼最小二乘[9-11]和以O(shè)ccam反演[12-13]引入模型正則化[14-16]的思想為主,阻尼最小二乘法通過改變阻尼因子大小使算法向高斯-牛頓方向或最速下降方向靠近,改進(jìn)了最小二乘法收斂不穩(wěn)定的特性,該方法對初始模型仍然有較高要求,對復(fù)雜模型可能出現(xiàn)結(jié)果不收斂等現(xiàn)象;Occam反演屬于一種L2范數(shù)的正則化反演算法,最為穩(wěn)定,但也主要有兩個方面的不足,一是計算時間較長,每次迭代都需要通過多次正演搜索最佳的正則因子,二是反演結(jié)果過于光滑,對真實電性界面分辨不足。許多學(xué)者對正則化因子的選取作出改進(jìn)并提出一些新方法,如:采用牛頓迭代法和二分法組合[17]降低正則因子搜索的正演次數(shù);陳小斌等[18]提出MD和CMD兩種正則化因子自適應(yīng)調(diào)整方案,應(yīng)用較為廣泛。常規(guī)正則化反演算法正則項通常采用L2范數(shù),利用L2范數(shù)對電阻率模型進(jìn)行處理,其假定模型空間分布連續(xù)光滑,反演結(jié)果會弱化對突變電性界面的分辨能力。國外已有學(xué)者在重力、地震數(shù)據(jù)三維反演[19-20]中采用L1正則項,國內(nèi)在航空電磁數(shù)據(jù)反演[21]、三維大地電磁反演[22]中,有學(xué)者采用L1正則項來提高反演算法對層狀電性介質(zhì)層界面的分辨率。作為L1范數(shù)的一種特例,聚焦反演[23-25]已成熟應(yīng)用于大地電磁[26]、重力、磁測等[27-28]研究方向,常規(guī)的聚焦反演采用NLCG(非線性共軛梯度)直接求解目標(biāo)函數(shù),然而正則項求解不可靠,容易陷入奇異系數(shù)解“陷阱”[22]。

        本文正則項采用L1范數(shù),分析了模型在解空間獲得稀疏解的原因,采用迭代重加權(quán)最小二乘法將原問題轉(zhuǎn)化為L2正則化子問題求解,解決L1范數(shù)存在不可導(dǎo)問題,并將兩種算法與Occam反演算法結(jié)果進(jìn)行比較;采用OpenMP并行策略對雅克比矩陣進(jìn)行并行運算,提高反演效率;對分段迭代法自適應(yīng)正則化因子調(diào)整策略進(jìn)行分析并改進(jìn),改進(jìn)后的自適應(yīng)正則化因子調(diào)整策略更適合半航空瞬變電磁法,通過與Occam反演對比,L1正則反演結(jié)果的模型分辨率要優(yōu)于Occam反演結(jié)果。

        1 半航空瞬變電磁一維正演

        長導(dǎo)線源半航空瞬變電磁法以有限長接地導(dǎo)線作為發(fā)射端,不能用電偶極子近似表示,需要沿導(dǎo)線進(jìn)行積分,對X、Y、Z三個分量均可觀測,目前以垂直地面Z分量為主。假設(shè)線源中心為笛卡爾坐標(biāo)系原點,x軸為長導(dǎo)線方向,z軸向上為正,水平層狀介質(zhì)頻率域Hz分量公式為[27]

        (1)

        2 L1正則反演理論

        2.1 L1正則反演基本原理

        常規(guī)L2正則化反演目標(biāo)函數(shù)可表示為

        (2)

        式中:Φ(M)L2為總目標(biāo)函數(shù);右邊第一項為時間域數(shù)據(jù)擬合項,dobs為觀測數(shù)據(jù)向量,F(xiàn)(M)為理論正演響應(yīng),M為模型參數(shù)向量,有n個元素,每個元素均為電阻率自然對數(shù);Wd為數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣,一般為主對角矩陣,其元素為觀測數(shù)據(jù)噪聲的倒數(shù);第二項為L2正則模型約束項,Mref為參考模型,可取CDI成像結(jié)果為參考模型或者以均勻半空間為參考模型,超參數(shù)λ為正則化因子,其控制反演更傾向于擬合數(shù)據(jù)或參考模型,Wm為數(shù)據(jù)加權(quán)矩陣,一般可取最小模型約束(單位算子)、最平緩模型約束(梯度算子)、最光滑模型約束(拉普拉斯算子),本文采用模型約束項為:

        L1正則反演目標(biāo)函數(shù)為:

        λ‖Wm[Mref-M]‖1。

        (3)

        對式(2)和式(3),可以用如下形式表示:

        (4)

        (5)

        L2范數(shù)是向量各元素平方和開方,具有連續(xù)光滑的特點[21],這也使得代表層狀介質(zhì)模型各分層電性結(jié)構(gòu)的最終結(jié)果呈連續(xù)變化,不能明顯刻畫各層界面。L1范數(shù)是指向量各元素mi絕對值之和,也稱為“稀疏規(guī)則算子”,其向量中部分元素與最終輸出沒有任何關(guān)系或不提供任何信息,可以允許電性介面發(fā)生陡變。最小化目標(biāo)函數(shù)的時候考慮mi這些額外特征雖然可以獲得最小誤差,但是也將部分無用信息考慮進(jìn)去,使得對模型增量的判斷有所偏差,稀疏算子可以去掉無用信息,將其權(quán)重置為零。

        圖1 數(shù)據(jù)擬合項與模型約束項等值線Fig.1 Contour plots of data fitting items and model constraints

        眾所周知,L1范數(shù)取絕對值在存在不可導(dǎo)情況下會使迭代不穩(wěn)定,L1范數(shù)正則項最速下降方向無法得到??扇∫粋€小值ξ,將式(5)改寫為

        隨著網(wǎng)絡(luò)時代的發(fā)展,出現(xiàn)了大量老年教育網(wǎng)站,老年人可以通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)、交友、娛樂等。通過對溫州老年人學(xué)習(xí)網(wǎng)、夕陽紅·江蘇老年學(xué)習(xí)網(wǎng)、山東老年大學(xué)遠(yuǎn)程教育網(wǎng)、老年開放大學(xué)等18家國內(nèi)主流老年教育網(wǎng)站調(diào)研,發(fā)現(xiàn)存在課程資源缺乏老年特色,這些網(wǎng)站多數(shù)不能多終端共享,老年遠(yuǎn)程教育網(wǎng)站缺乏真正的交互設(shè)計等問題。

        (6)

        針對正則項存在不可導(dǎo)問題,采用迭代重加權(quán)最小二乘法(IRLS),將正則項改寫為

        (7)

        式中:V為對角加權(quán)矩陣,主對角線上元素為:

        (8)

        對式(6)關(guān)于增量Δmk(下降方向)求導(dǎo):

        (9)

        式(9)右邊第一項為數(shù)據(jù)擬合梯度項,第二項為正則梯度項,Jk為雅可比矩陣(與正演貝塞爾函數(shù)無關(guān))。

        2.2 自適應(yīng)正則因子策略

        關(guān)于正則化因子的調(diào)整,陳小斌等[18]提出了MD和CMD兩種方案。

        MD方案:

        (10)

        CMD方案:

        (11)

        >5%,

        (12)

        則有λk=λk-1,否則λk=λk-1/ω。這里引入了另一個超參數(shù)ω[22],ω需取適當(dāng)?shù)闹挡拍苓_(dá)到比較好的效果。由于在沒有先驗信息情況下設(shè)置參考模型,Mref設(shè)為均勻半空間模型時正則因子初始值過大,模型增量較小,所以前幾次迭代模型幾乎不發(fā)生改變。隨著迭代時間和次數(shù)增加,對其作一定改進(jìn),使初始正則化因子處于一個較小的值,再按照適當(dāng)比例逐漸衰減,過程如下。

        設(shè)定反演結(jié)束條件為:①達(dá)到最大迭代次數(shù);②相鄰兩次擬合差小于給定擬合誤差(Rms1-Rms2

        (13)

        2.3 OpenMP并行策略

        OpenMP是一種共享內(nèi)存系統(tǒng)的多處理器多線程并行語言[36],采用fork-join(分叉—合并)并行執(zhí)行模式。主線程作串行運算,當(dāng)遇到并行模塊時,調(diào)用其他從線程構(gòu)成線程組,同時訪問共享內(nèi)存區(qū)域,執(zhí)行命令,執(zhí)行完畢跳出并行區(qū)域,繼續(xù)執(zhí)行串行命令。OpenMP并行策略具有效率高、執(zhí)行快的特點,適合單機操作。

        半航空瞬變電磁反演耗時主要在于雅克比矩陣求解時需要多次調(diào)用正演,采用二維數(shù)組存儲雅可比矩陣,形成二重循環(huán),主要運算時間也集中在內(nèi)循環(huán)(每一行)參數(shù)的正演計算,參數(shù)越多耗時越長。OpenMP可以對嵌套循環(huán)體內(nèi)多個循環(huán)進(jìn)行并行運算,本文采用如圖2所示方案,只對內(nèi)循環(huán)進(jìn)行并行運算策略,對循環(huán)內(nèi)變量作無關(guān)處理,各線程對數(shù)據(jù)、函數(shù)的調(diào)用相對獨立。本文用3層模型進(jìn)行試算,觀測值15道,初始模型為30層均勻半空間;計算機處理器為Intel(R) Core(MT)i5-8265U,主頻 1.6 GHz,4核8線程,分別進(jìn)行5次、15次、30次、60次迭代,計算時間對比如表1所示,采用并行運算后,運算時間約縮短3/4,效率顯著提高。

        圖2 OpenMP運算并行策略Fig.2 OpenMP computing parallel strategy

        表1 串并行計算時間對比

        3 理論模型反演分析

        設(shè)定半航空瞬變電磁參數(shù)如下:線源長度1 km,電流20 A,線圈接收高度20 m,線圈面積為1,偏移距為250 m,即測點坐標(biāo)為(0,250,20);設(shè)初始模型30層,初始層厚為2 m,依次遞增,每層電阻率為50 Ω·m,對理論模型響應(yīng)值均加入3%的高斯白噪聲,并與Occam反演結(jié)果相比較。

        3.1 三層模型反演算例

        3.1.1 H型模型反演

        H型模型初始電阻率由淺至深分別為100、10、100 Ω·m,對應(yīng)層厚分別為50、50 m,最后一層層厚設(shè)為無窮大。其不同方法反演結(jié)果見圖3。

        由圖3a可見,Occam反演結(jié)果較為光滑,對分界面刻畫較弱,第一、二層電阻率值與真實模型對比有所偏離。圖3b中,L1正則反演結(jié)果對各層分界面刻畫清晰,電阻率值和層厚更接近真實模型。圖3c顯示了反演算法擬合差和正則化因子衰減過程,迭代較為平穩(wěn)。圖3d為觀測數(shù)據(jù)與反演擬合響應(yīng)的對比,數(shù)據(jù)擬合較好,接近真實值。圖3e中可以看出第5次迭代時趨向于L2范數(shù)反演結(jié)果,隨著迭代次數(shù)增加,對角加權(quán)矩陣V變得更復(fù)雜,層界面刻畫逐漸清晰。第15次迭代時電阻率值接近真實模型,層界面刻畫較為準(zhǔn)確,第35次迭代時達(dá)到擬合條件,與真實模型接近。

        圖3 H形模型反演結(jié)果Fig.3 Inversion results of H-shaped model

        3.1.2 K型模型反演

        對K型模型,電阻率設(shè)為10、100、10 Ω·m,對應(yīng)層厚分別為50、100 m,最后一層設(shè)為無窮大半空間。圖4a、圖4b顯示Occam和L1范數(shù)這兩種算法都能有效反映出高阻部分,但Occam反演在層厚較大時對層界面的刻畫更為光滑,第一層和第三層的電阻率值與真實模型比較出現(xiàn)較小偏差,而L1范數(shù)對層界面刻畫清晰, 電阻率值更接近真實模型。從圖4e可以看出,第20次迭代時基本能反映出層狀介質(zhì)的基本模型;通過和H型反演迭代次數(shù)比較,可以看出對高阻的擬合相對困難,迭代次數(shù)增加。

        圖4 K形模型反演結(jié)果Fig.4 Inversion results of K-shaped model

        3.2 四層HK型模型反演算例

        四層層狀模型電阻率設(shè)為100、10、100、10 Ω·m,對應(yīng)層厚分別為50、50、50 m,最后一層設(shè)為無窮。如圖5所示,總體結(jié)果與圖4結(jié)論相似,可以看出隨模型的復(fù)雜程度增加,迭代次數(shù)也隨之增加。本次擬合2種反演方法都迭代在60次左右,Occam反演低阻擬合較好,對第三層的高阻部分?jǐn)M合較差;L1正則反演對層界面位置反應(yīng)與真實模型吻合較好,同時電阻率值也接近真實模型,說明L1正則反演方法相對于Occam反演對高阻的反應(yīng)相對靈敏。隨著模型的復(fù)雜度變高,反演迭代次數(shù)也隨之增加,正則化因子較小時約束減弱,擬合差也有波動現(xiàn)象。然而,實際工作過程中并不知道地下實際電性結(jié)構(gòu)分布,但L1正則反演在一定迭代次數(shù)后可以反映出層狀介質(zhì)大致模型,所以可以根據(jù)實際地質(zhì)情況調(diào)整反演約束條件。

        圖5 HK形模型反演結(jié)果Fig.5 Inversion results of HK-shaped model

        4 總結(jié)

        針對半航空瞬變電磁L2正則反演層界面刻畫不夠清晰的問題,提出了利用L1正則反演處理半航空瞬變電磁數(shù)據(jù),對自適應(yīng)正則化因子調(diào)整策略進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化,并用三層的H、K地電模型和四層的HK型地電模型對兩種反演算法進(jìn)行了試算與比較,通過分析得到以下結(jié)論:

        1)基于L1范數(shù)的正則化反演算法比L2更有利于得到稀疏解,允許模型電阻率在空間分布上存在尖銳;對層界面位置反映較好,相對復(fù)雜的層狀介質(zhì)模型也能得到較好的反演效果;對高阻的分辨率也較高。

        2)L1范數(shù)正則項采用迭代重加權(quán)最小二乘法,解決了不可導(dǎo)問題,反演結(jié)果早期趨向于L2范數(shù)反演結(jié)果,隨著迭代次數(shù)增加,對層界面的分辨逐漸清晰;正則化因子分段迭代法中比例因子的選取會影響收斂速度,因子越大迭代越穩(wěn)定,但收斂較慢。

        3)正則化因子采用分段迭帶法,和OpenMP并行策略使得反演較快,然而相較于Occam通過搜索方式得到的正則化因子不是最優(yōu)的,面對復(fù)雜模型的反演時可能會出現(xiàn)假異常。

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