王培光,郭夢(mèng)煜,鮑俊艷

( 河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河北 保定 071002)

近年來(lái),脈沖微分方程理論已成為微分方程的一個(gè)重要的研究領(lǐng)域.脈沖根據(jù)作用時(shí)間長(zhǎng)短可以分為瞬時(shí)脈沖和非瞬時(shí)脈沖,其中非瞬時(shí)脈沖是指干擾過(guò)程依賴(lài)于狀態(tài)且持續(xù)作用一段時(shí)間.在現(xiàn)實(shí)生活中,非瞬時(shí)脈沖現(xiàn)象普遍存在,其在藥物動(dòng)力學(xué)、種群生態(tài)動(dòng)力學(xué)、傳染病動(dòng)力學(xué)等方面已有廣泛應(yīng)用.20世紀(jì)60年代,Millman等[1-2]首次提出瞬時(shí)脈沖微分方程.非瞬時(shí)脈沖微分方程的研究發(fā)展相對(duì)滯后.2012年,首先由Hernandez等[3]提出,并研究了其弱解和經(jīng)典解的存在性.關(guān)于非瞬時(shí)脈沖微分方程理論及應(yīng)用研究剛剛起步,就迅速受到國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者的關(guān)注,基本結(jié)果可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-8].

集值微分方程是描述不確定系統(tǒng)的有效工具,在控制科學(xué)、生物、計(jì)算機(jī)與信息處理等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用.其顯著特征是當(dāng)集值映射為單值映射時(shí),集值微分方程的Hukuhara導(dǎo)數(shù)和積分可以歸結(jié)為普通向量的導(dǎo)數(shù)和積分,在該框架下得到的結(jié)果是常微分方程的相應(yīng)結(jié)果.Pinto等[9]在1969年首先給出了集值微分方程解的存在性、唯一性等基本結(jié)果.關(guān)于集值微分方程的系統(tǒng)工作參見(jiàn)文獻(xiàn)[10].關(guān)于脈沖集值微分方程解的穩(wěn)定性的相關(guān)工作參見(jiàn)文獻(xiàn)[11-13].

本文討論具有非瞬時(shí)脈沖集值微分方程,利用比較原理及Lyapunov函數(shù)方法研究其解的穩(wěn)定性問(wèn)題,給出該類(lèi)方程解的穩(wěn)定性、一致穩(wěn)定性、一致漸近穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Kc(Rn)是由Rn上所有非空、緊致凸子集構(gòu)成的集合.A,B∈Kc(Rn),A與B的Hausdorff度量表示為

(1)

其中,d(x,A)=inf{d(x,y):y∈A}.特別地,

(2)

其中,θ是Kc(Rn)的零元素.

空間Kc(Rn)的加法和標(biāo)量乘法的自然代數(shù)運(yùn)算定義如下[10]：

A+B={y+x:y∈A,x∈B},λA={λy:y∈A},

其中,A,B∈Kc(Rn),λ∈R+.則Kc(Rn)可以作為完備錐嵌入到相應(yīng)的Banach空間中,由此構(gòu)成半線性度量空間.

Hausdorff度量式(1)滿足如下性質(zhì):

D[A+C,B+C]=D[A,B],
D[A,B]=D[B,A],
D[A,B]≤D[A,C]+D[C,B],
D[λA,λB]=λD[A,B],

其中,A,B,C∈Kc(Rn),λ∈R+.

給定任意集合A,B∈Kc(Rn),如果存在集合C∈Kc(Rn),滿足A=B+C, 則稱(chēng)C為A與B的Hukuhara差集,記為A-B.

定義2設(shè)F:I→Kc(Rn)在I上是Hukuhara可積的,S(F)表示F在I上所有可積的選擇所組成的集合,則F在I上的Hukuhara積分表示為

若F:I→Kc(Rn)在I上是Hukuhara可積的,則下列性質(zhì)成立:

若F,G:I→Kc(Rn)可積,則D[F(·),G(·)]:I→R也是可積的,且

(3)

考慮具有非瞬時(shí)脈沖集值微分方程(NISDE)

(4)

NISDE (4) 的非平凡解可由下式給出

(5)

2 主要結(jié)果

為方便起見(jiàn),給出如下所需函數(shù)類(lèi):

K={c∈C[R+,R+]:c是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，c(0)=0},

S(ρ)={X∈Kc(Rn):D[X,θ]≤ρ,ρ>0是常數(shù)}.

令T>t0, 使得sp-1

另外,當(dāng)T=∞時(shí),[t0,T]變?yōu)閇t0,∞).

下面引入類(lèi)Λ的Lyapunov函數(shù).

定義3令J?R+,Δ?Kc(Rn),其中θ∈Δ.稱(chēng)函數(shù)V(t,X):J×Δ→R+屬于類(lèi)Λ(J,Δ),其中V(t,θ)≡0,若

定義4函數(shù)V(t,X)∈Λ(J,Δ)的廣義Dini導(dǎo)數(shù)為

其中,X∈Δ, 對(duì)于任意的t∈(tk,sk),存在ht>0,使得當(dāng)0

(6)

其中,t0>0,J?R+,Δ?Kc(Rn).則函數(shù)V(t,X(t))在J上關(guān)于t是單調(diào)非增的,即V(t,X(t))≤V(t0,X0),t∈J成立.

引理1的證明與文獻(xiàn)[14]中的命題 1.3.1的證明類(lèi)似,在此略去.

引理2假設(shè)下列條件成立:

A2)存在函數(shù)V∈Λ([t0,T],Δ)使得

②對(duì)于任意的k=0,1,2,…，

V(t,X(t))≤V(sk-0,X(sk-0)),t∈(t0,T]∩(sk,tk+1].

則V(t,X(t))≤V(t0,X0)在[t0,T]上成立.

證明:不失一般性,假設(shè)t0∈[0,s0),T=sp.令t∈[t0,s0].當(dāng)p=1時(shí),由引理2條件A1)、A2)中①和引理1,有V(t,X(t))≤V(t0,X0).

令t∈(s0,t1].由引理2條件A1)、A2)中②和引理1,有

V(t,X(t))≤V(s0-0,X(s0-0))=V(s0,X(s0))≤V(t0,X0).

令t∈(t1,s1].當(dāng)p=2時(shí),由引理2條件A1)、A2)中①和引理1,得到

V(t,X(t))≤V(t1,X(t1))≤V(t0,X0).

重復(fù)上述過(guò)程,由歸納法知,當(dāng)t∈[t0,T]時(shí),結(jié)論得證.

注1 當(dāng)p=∞時(shí),[t0,T]變成[t0,∞),引理2也是成立的.

定理1假設(shè)A1)成立,且

A3)存在函數(shù)V∈Λ([t0,T],Δ)使得

②V(t,X(t))≤V(sk-0,X(sk-0)),t∈[t0,T]∩(sk,tk+1],k=0,1,2，….

則當(dāng)t∈[t0,T]時(shí),

令t∈(s0,t1].由條件A3)中②,可得

令t∈(t1,s1].當(dāng)p=2時(shí),由條件A3)中①,得到

重復(fù)上述過(guò)程,由歸納法知,當(dāng)t∈[t0,T]時(shí),結(jié)論得證.

令X(t,t0,X0)∈PC1([t0,∞),Kc(Rn))表示NISDE(4)的任意解.下面給出具有非瞬時(shí)脈沖集值微分方程平凡解的穩(wěn)定性的定義.

定義5NISDE(4)的平凡解X(t,t0,X0)是

S4)一致漸近穩(wěn)定的,如果S2)和S3)同時(shí)成立.

為給出穩(wěn)定性結(jié)果, 首先給出下列所需條件:

B2)函數(shù)φk∈C((sk,tk+1]×Kc(Rn),Kc(Rn)),對(duì)于任意Y∈Kc(Rn)和t∈(sk,tk+1],至少存在一個(gè)函數(shù)Z:(sk,tk+1]×Kc(Rn)→Kc(Rn),使得Z(t,X)=φk(t,X),Z(t,θ)≡θ.

定理2假設(shè)B1)、B2) 成立,且

B3)存在函數(shù)V∈Λ(R+,Kc(Rn))使得

②V(t,φk(t,X))≤V(sk-0,X),t∈(sk,tk+1],X∈Kc(Rn),k=0,1,2，…;

③b(D[X,θ])≤V(t,X),t∈R+,X∈Kc(Rn),其中b∈K.

則 NISDE(4) 的平凡解是穩(wěn)定的.

由V(t,X)連續(xù),V(t0,θ)=0,則存在δ1=δ1(t0,ε)且0<δ1≤ε,使得當(dāng)D[X0,θ]<δ1時(shí), 有V(t0,X0)

即滿足引理2的條件A2)中①, 其中T=∞,Δ=Kc(Rn).

令t∈(sk,tk+1],k=0,1,2,…，由條件B3)中②, 可得

V(t,X(t))=V(t,φk(t,X(sk-0)))≤V(sk-0,X(sk-0)).

因此, 也滿足引理2的條件A2)中②.由注1、條件B4)中③和X0的選擇, 得到

b(D[X(t),θ])≤V(t,X(t))≤V(t0,X0)

故NISDE(4) 的平凡解是穩(wěn)定的.

定理3假設(shè)B1)、B2)成立, 且

B4) 存在函數(shù)V∈Λ(R+,Kc(Rn))使得

②V(t,φk(t,X))≤V(sk-0,X),t∈(sk,tk+1],X∈S(ρ),k=0,1,2,…;

③b(D[X,θ])≤V(t,X)≤a(D[X,θ]),t∈R+,X∈Kc(Rn),其中a,b∈K,

則NISDE(4) 的平凡解是一致穩(wěn)定的.

D[X(t),θ]<ε,t≥t0.

(7)

假設(shè)式(7)不成立,則存在t*>t0,使得D[X(t*),θ]=ε,并且當(dāng)t∈[t0,t*)時(shí),D[X(t),θ]<ε,當(dāng)t∈(t*,t*+δ)時(shí),D[X(t),θ]≥ε,其中δ>0充分小.下面分2種情況進(jìn)行證明.

情況Ⅰt*≠sk,k=0,1,2,….則當(dāng)t∈[t0,t*]時(shí),有X(t)∈S(ρ).根據(jù)條件B4)及引理2,由T=t*,Δ=S(ρ),得到當(dāng)t∈[t0,t*]時(shí),有V(t,X(t))≤V(t0,X0).由條件B4)中③和X0的選擇,可得

b(D[X(t*),θ])≤V(t*,X(t*))≤V(t0,X0)≤a(D[X0,θ])

因此,有D[X(t*),θ]

情況Ⅱ 存在自然數(shù)p<∞,使得t*=sp.對(duì)于t∈[t0,t*],有X(t)∈S(ρ),根據(jù)引理2,由T=sp,Δ=S(ρ),得到當(dāng)t∈[t0,sp]時(shí),有V(t,X(t))≤V(t0,X0).由條件B4)中②,可得當(dāng)t∈(sp,tp+1]時(shí),V(t,X(t))=V(t,φp(t,X(sp-0)))≤V(sp-0,X(sp-0)).

因此,由條件B4)中③和X0的選擇,得到當(dāng)t∈(sp,tp+1]時(shí),

b(D[X(t),θ])≤V(t,X(t))≤V(sp-0,X(sp-0))≤V(t0,X0)≤a(D[X0,θ])<δ1.

又由δ1的選擇,當(dāng)t∈(sp,tp+1]時(shí),D[X(t),θ]

定理4假設(shè)B1)、B2)成立,且

B6)存在函數(shù)V∈Λ(R+,Kc(Rn))使得

②V(t,φk(t,X))≤V(sk-0,X),t∈(sk,tk+1],X∈S(ρ),k=0,1,2,…;

③b(D[X,θ])≤V(t,X)≤a(D[X,θ]),t∈R+,X∈Kc(Rn),其中a,b∈K.

則NISDE(4) 的平凡解是一致漸近穩(wěn)定的.

(8)

下證NISDE(4) 的平凡解是一致吸引的.考慮常數(shù)β∈(0,α],使得a(β)≤b(α).令X0∈Kc(Rn)并且D[X0,θ]<β,X*(t)=X(t,t0,X0)是NISDE(4) 的解,則b(D[X0,θ])≤a(D[X0,θ])

D[X*(t),θ]<ρ,t≥t0,

(9)

即當(dāng)t∈[t0,∞)時(shí),解X*(t)∈S(ρ).

D[X*(t),θ]<ε,t≥t0+Θ.

(10)

假設(shè)對(duì)于任意t∈[t0,t0+Θ],有

D[X*(t),θ]≥γ.

(11)

當(dāng)t∈(sk,tk+1]時(shí),令X=X(sk-0),φk(t,X(sk-0))=X(t),即滿足定理1的條件A3).則由定理1(當(dāng)T=t0+Θ,Δ=S(ρ)時(shí),解為X*(t)),條件B5)、B6)中③和Θ的選擇,得到

上述矛盾表明,存在t*∈[t0,t0+Θ],使得

D[X*(t*),θ]<γ.

(12)

V(t,X*(t))≤V(t*,X*(t*)).

(13)

則對(duì)于任意t≥t*,由條件B6)中③、式 (12)、式 (13)和γ的選擇,有

b(D[X*(t),θ])≤V(t,X*(t))≤V(t*,X*(t*))≤a(D[X*(t*),θ])

因此,對(duì)于所有的t≥t*,即當(dāng)t≥t0+Θ時(shí),式 (10) 成立.故 NISDE (4)的平凡解是一致漸近穩(wěn)定的.